III
La résistance que le mouvement électrique éprouve de la part de ses conducteurs croît proportionnellement à la vitesse du mouvement ou à l'intensité du courant^ toutes autres choses égales d'ailleurs.
Toutes les fois que Ton parle des conductibilités ou des résistances des conducteurs, on entend leurs conductibilités ou résistances relatives. Tous les procédés employés pour les évaluer ne peuvent conduire qu'à Texpression de ces. rapports. Les résistances relatives sont indépendantes de l'intensité des courants, c'est un fait d'expérience. Il n'en est plus de même des résistances absolues ; elles varient pour chaque conducteur avec l'intensité du courant. C'est ce qu'admet implicitement la théorie de Ohm, puisqu'elle pose en principe que la différence de charge qui détermine le passage d'un flux constant d'électricité entre deux sections d'un même conducteur situées à une distance constante Tune de l'autre varie en raison inverse de ces sections. C'est ce qui ressort d'ailleurs d'une manière directe des lois de la conductibilité des circuits métalliques ou liquides. Soient en effet s et s' les sections de deux parties successives d'un circuit formé par une substance homogène; r et r' les résistances de ces deux sections, résistances qui sont les mêmes sur toute l'étendue de chaque section ; désignons de plus par i et i* les quantités d'électricité qui traversent chaque unité des deux sections pendant l'unité de temps. Nous au-
rons d'une part — = — , et de l'autre -7 = — , d'où — =- ^ t s r s r i
Si donc j'ai deux sections égales d'un même conducteur traversées, l'une par une quantité i d'électricité, l'autre par
une quantité i' du même agent, les résistances au mouvé* ment du fluide seront proportionnelles à i et i\ et par suite à V et •/, la densité du fluide restant constante. Au lieu de quantités (T électricité^ je dirai quantités de mouvement électrique y et comme, dans des conducteurs identiques la masse électrique est la même, je puis énotieer encore que la résistance d'un même conducteur est proportionnelle à la vitesse du mouvement qui s'y est établi.
Un mouvement électrique donné rencontre de la part de son conducteur supposé homogène une résistance proportionnelle à la longueur de ce conducteur.
Ce fait est une conséquence si directe des lois de la conductibilité des circuits, que je crois inutile d'insister.
Ces divers points établis, si je considère un élément quelconque c?p du circuit supposé homogène, que j'appelle y l'accélération en ce point, et v' la vitesse du mouvement électrique au même point au bout d'un temps t compté à partir du moment où nait le mouvement, j'aurai
dv'
y sera elle-même une fonction du temps /, de la dislance X du point c?p à l'origine de la force électromotrice et de la vitesse de transmission des pressions électriques dans^ le circuit, en sorte que mon équçition diff'érentielle sera en général assez compliquée ; mais comme la vitesse de transmission de l'électricité est excessivement grande, si mon conducteur n'a que quelques mètres de longueur, je puis y considérer dans' une première approximation la vitesse
6(V RËGIIËUCHES SUR L'iLBGTRlGlTÉ.
comme infinie : Terreur ne sera pas d'un millionième de seconde. Alors la masse électrique de mon conducteur commencera à se mouvoir simultanément dans toute son éten* due, ou du moins la force accélératrice se répartira instantanément sur toute la longueur de la masse électrique à mouvoir. Si donc je désigné par m la masse électrique de l'unité de longueur de mon circuit supposé homogène, par p sa longueur totale, et par A la force électromotrice, Taccé-
lération sera — ; la force résistante V' donnera pour Tac-
céléralion due à la résistance — = •/.
mp m
Mon équation différentielle devient donc
ui tnp m
d'où, en intégrant de jusqu'à tj et par suite
(3) t' = knw' = ^ (4 -^ c~ « ' ).
bp
Pour / = Qo
mk A
d'où
L'équation (A) montre que l'hypothèse de Ohm n'est en aucune façon nécessaire pour arriver aux lois de la pile telles que M. Pouillet les a démontrées par l'expérience.
Je ferai remarquer même que si Ton considère, ainsi que
je le fais, la pile fermée comme une machine en équilibre, il doit y avoir égalité entre la force motrice A et la force résistante a^iy ce qui donne immédiatement :
«5 = -T^ dépendant des unités adoptées pour iy p et A.
Pour vérifier directement les lois de l'état variable, il faudrait pouvoir mesurer i' pour les divei'ses valeurs de t. Or e' a déjà atteint sa valeur permanente quand t atteint quelque dix-millième de seconde. Il m'a donc fallu chercher quelque détour.
Voici le principe de la méthode que j'ai suivie. Au heu d'un seul courant, imaginons qu'au moyen d'une roue dentée formant interrupteur, je lance dans le circuit une série de courants de durée /, se succédant à des intervalles extrêmement rapprochés / 4- /', et que dans le circuit soit compris un galvanomètre. La déviation de l'aiguille aimantée pourra devenir permanente, et cette déviation donnera la valeur du courant continu qui à lui seul produirait le même effet magnétique que la réunion des courants successifs. J'aurai donc la valeur moyenne de ceux-ci. Or de cette valeur moyenne je puis aussi avoir une expression algébrique.
En effet, si je multiplie les deux membres de l'équation (3) par dty que j'intègre de jusqu'à t et que je divise le produit de l'intégral ion par t + t\ le résultat obtenu représentera la valeur moyenne i„ du courant variable pendant le temps i -h f.
Cette opération me donne
Plusieurs difficultés se présentent ici.
1** Au moment où commence chaque interruption, le circuit renferme une certaine quantité de mouvement ou de puissance vive. Que devient-elle pendant la durée de cette interruption ? Persiste-t-elle en entier jusqu'au retour du courant suivant, ou s'épuise-t-elle en totalité sous l'effort des résistances pendant la durée de cette interruption ? J'ai fait successivement ces deux hypothèses extrêmes. Nous verrons que la dernière est seule admissible dans mes expériences. - L'une et l'autre d'ailleurs me conduisent aux mêmes conclusions générales; la valeur numérique de — est seulement
double dans l'un des cas que dans l'autre.
2° Lorsque la pile est forte, et surtout lorsque le circuit est replié sur lui-même, on voit apparaître une petite étincelle au moment de la rupture du circuit ; le courant se continue donc un instant après l'interruption de la continuité métallique. L'accroissement notable de résistance qui résulte du passage du courant au travers de l'air affaiblit dans une proportion correspondante l'intensité de ce courant par continuation ; mais il n'en résulte pas moins une complicacation qu'il faut écarter en évitant la production de cette étincelle.
3° Ma formule (6) contient quatre inconnues, dont deux sont faciles à déterminer : I est l'intensité du . courant permanent que l'on mesure à la boussole en arrêtant l'interrupteur ; t -{- f/ est la durée d'un contact et d'une interruption réunis : cette valeur se déduit de la vitesse de rotation de l'interrupteur. L'évaluation de ces deux quantités ne présente donc aucune âifficulté sérieuse. Il n'en est plus de même de t. On peut bien, il est vrai, mesurer exactement sur l'interrupteur le rapport du plein au vide, mais ce rapport est changé dans la pratique par la forme, variable par l'usure, du ressort qui appuie sur les dents de la roue dentée.
/ doit donc être déterminé par les données mêmes de l'exr périence en même temps que — , et par conséquent il me
faut deux équations.
Voici donc comment j'ai opéré.
L'interrupteur dont je me suis servi est semblable à celui dont M. Pouillet a fait usage dans son travail sur la mesure des quantités d'électricité dont il donne un résumé, tome I, page 644, de son Traité de physique (6*^ édit.). Pour éviter les vibrations du ressort, le pourtour de ma roue était lisse, les intervalles des dents ayant été remplis par de l'ivoire, et ultérieurement par du buis ; de plus le ressort était pressé légèrement sur presque toute sa longueur par une lame de feutre épais. En modifiant la forme du ressort et sans rien changer à la roue, je pouvais faire varier le rapport des durées des contacts et des interruptions. L'usure du ressort altérait du reste assez rapidement ce rapport, ainsi que je l'ai déjà dit plus haut.
Cet interrupteur était mis en mouvement par un électromoteur qu'animait une pile à part dont je modifiais à mon gré l'intensité. La vitesse de ma roue pouvait ainsi être maintenue constante pendant très longtemps ou être changée à volonté dans des limites assez étendues. Cette vitesse était mesurée au moyen d'un chronomètre et d'une vis sans fin taillée dans l'arbre de la roue et engrenant avec une roue dentée munie d'une aiguille.
Le pôle positif d'une pile constante communiquait avec l'un des bouts du fil de ma boussole, dont l'autre bout était lié au ressort de l'interrupteur ; le pôle négatif de la pile aboutissait à l'axe de l'interrupteur. Par cette disposition, chaque fois que le ressort appuyait sur une dent métallique, le circuit se trouvait fermé; il était ouvert, au contraire, chaque fois que le ressort passait sur une dent de bois ou
70 REGHEI^GHES SUR L'ÉLEGTRIGITÉ.
d'ivoire. C'est à cette disposition de Tappareil que se rat* tache réquation (6). Le circuit dans le premier état était toujours très court et sans replis, pour éviter l'apparition des étincelles à la rupture. J'appelle p sa résistance totale ra« menée à Tunité.
Pour obtenir une seconde relation entre les données à déterminer, je reliais le ressort à Taxe de la roue au moyen d'une résistance additionnelle J dont je faisais varier la nature à mon gré. Lorsque le ressort appuyait sur une dent métallique, le courant se partageait entre la roue elle-même et la résistance p'; mais comme cette dernière était toujours incomparablement plus forte que l'autre , il n'en résultait aucun accroissement sensible dans l'intensité du courant produit et accusé par la boussole. Au contraire, lorsque le ressort passait sur une dent de bois, le circuit, au lieu d'être interrompu, se trouvait seulement accru dans le rapport de
^-ï-^. A chaque changement dans la nature des contacts,
l'intensité du courant permanent passait donc de I = -r—
à r = ^ , et réciproquement; tandis que dans la résistance
additionnelle p' qui se trouvait former un circuit fermé en dehors de la pile et de la boussole, à chaque contact métallique l'intensité du courant permanent variait de à
V = , , ou réciproquement. Je vais appliquer le calcul
à cette seconde disposition des expériences.
Premier temps.— Le contact ayant lieu sur une dent mé- ^ tallique, je reprends mon équation (1).
dv' __ A b , dt tnp m
Seulement, au lieu de faire •/ = à l'origine du contact
pour déterminer h constante arbitraire de riûtégraliôn, je ferai à ce moment >' = /\ v'^ étant ia vitesse acquise à la fin du contact sur bois et au commencement du contact sur métal. Il vient alors :
km/ = t" c= (1 — e »» ) + kmv"e »» .
W t' = I(i|— 6"'^^) + t"tf
La valeur moyenne de ce courant variable pendant la durée de temps t + ^ s'obtiendra comme précédemment, et a pour expression :
A la fin de ce temps ty la quantité de mouvement contenue dans la longueur p du circuit est
Deuxième temps. — Pendant la deuxième phase, le mouvement est produit par la force électromotrice A, à laquelle s'ajoute la quantité de mouvement électrique mpv existant déjà dans la portion p du nouveau circuit p+p', et dont il faut retrancher la résistance au mouvement électrique. La force motrice est donc :
(H) A + mp(v'-v'')-6(p + p')v".
L'accélération devient :
^'""i di' m(p+p') p+r ' "»
D'où je déduis :
et en mettant pour •/ sa valeur :
M) Ah +-(1— e"«i)| + mpv"e''m' ,
. ''■(p + p') + ff»p (
mp+fc(p4- p)^ w(P+P')
L'usage de cette dernière formule est assez compliqué ; mais nous savons à l'avance que la durée de la période variable d'un courant est excessivement courte ; je pouvais donc
dans une première approximation, supposera ^ =0, tirer de mes formules une première valeur approchée
de — , substituer cette valeur dans l'expression e "" "i^S et,
par seconde approximation , calculer la nouvelle valeur
de — , et continuer ainsi jusqu'à ce que la dernière ne
diffère pas d'une manière sensible de la précédente.
Je suppose donc e »» = 0, et par suite mp négligeable devant b (p H- f/), ainsi que — devant l'unité. J'ai alors :
(16) t" = itmv" = -^^— , (1 — e w')=|'(4— e »» * )
et enfin pour la valeur moyenne de ce courant pendant la durée / + /' :
(»7. IV=— ,-■ r
TROTSTÈME MÉMOIRE. 7S
Vl' m V
et d'autre part (10) :
La succession des deux courants moyens h et IV donnera donc en définitive un courant résultant moyen :
Par les mêmes abréviations l'équation (6) devient :
(20) io =
I, r, i«, loCt t + 1' étant fournis par Texpérience, les deux équations (19) et (20) me donneront /, f et — . J'en déduis :
(21) — = pp y
"* (e + OJj(I-to)+to-Ioj
Toute mon attention s'est donc portée sur l'évaluation numérique de ces cinq données : t + f, F, I, i^ et lo.
Les plus grandes difficultés dans ces déterminations ont pris leur source dans les variations quelquefois incessantes de la déclinaison ; un grand nombre même ont dû être rejetées pour cette cause : je n'ai conservé que celles pendant lesquelles la boussole a gardé un peu de calme. Je remarquerai d'ailleurs que dans des expériences où, quoi qu'on fasse, tout est mobile, le zéro de la boussole, l'intensité de la pile, le rapport de ^ à ^, on ne peut guère compter sur des moyennes entre des résultats obtenus dans des conditions nécessairement différentes et soumises cha-
cune à sa loi. Chaque série d'expériences, au contraire, doit durer le moins de temps possible, et ne doit être faite qu'au moment où la variation des quantités inconstantes est la plus faible. Tout résultat obtenu dans des conditions autres est nécessairement entaché d'erreur.
Voici l'ordre que j'ai suivi dans chaque série :
1* Je déterminais le zéro de la boussole.
2** La résistance p' étant en place, je mesurais I, puis F, en appuyant le ressort d'abord sur métal, puis sur bois.
3° J'enlevais alors le fil p' qui réunissait la rdue dentée avec son ressort, je mettais l'interrupteur en mouvement, et je mesurais l'intensité moyenne i^ du courant obtenu.
4° Je rétablissais la résistance additionnelle p', et je mesurais l'intensité moyenne !„ du courant obtenu.
5* J'arrêtais l'interrupteur, je mesurais F, puis I.
&" Enfin je vérifiais mon zéro, qui ne devait pas avoir changé, non plus que I et F.
Voici maintenant les résultats auxquels je suis arrivé.
Première série, — Cuivre.
A Fexception de la pile, le circuit jusqu'à l'interrupteur est formée par des fils de cuivre étalés sur les murs ou sur le sol, de manière qu'aucune de ses parties ne puisse agir par induction sur les autres. La résistance /, qui est restée la même dans les dix expérieptes qui suivent, était formée par un fil de platine de 0'%80 de long.
Longueur du fil de cuivre, 42 mètres.
Température, G =; U^ < + «' s» --~-.
TMISIËME MÉMfOffti:. 75
Si je transporte celle valeur de — dans l'expression
e^ m , et que je mette pour i sa valeur déduite de Téqualion (20),
il vient
t t'o jn I
L'erreur commise en négligeant ce terme exponentiel est donc égale k-j^r^-rr = 0,01098, Les erreurs commises en
négligeant — devant l'unité et mp devant ô (p + p') sont au
plus du même ordre, et comme je ne puis pas répondre des valeurs de I, P, «** et lo à un dixième près, les quantités négligées sont dix fois plus faibles que les erreurs inévitables
de l'expérience. En appliquant la même discussion à — , je
trouve que je ne puis qu'exceptionnellement répondre des deux premiers chiffres. J'ai cependant poussé le calcul jusqu'au troisième.
Deuxième série. — Cuivre.
Même fil de cuivre.
i La 9 } —=«0600.
lo = 46,2 J ^
Troisième série. — Plomb.
Le fil de cuivre est remplacé par un fil de plomb nu étalé sur le parquet.
Longueur du fil, 6 mètres.
V =443,4 lo = 80.8 lo =464,9
Quatrième série. — Fer.
Le fil de plomb est remplacé par un fil de fer fin nu, soutenu en l'air par des supports isolants.
Longueur du fil. 4 nnètres.
Cinquième série. — Dissolution de sulfate de cuivre.
Le fil de fer a été remplacé par une dissolution étendue de sulfate de cuivre dans Teau, et dans laquelle plongeaient deux lames de cuivre.
Écart des lames, O'^jOS.
lo = 172,0 ;
Les résultats suivants feront apprécier la limite d'exacti • tude que comportent ces expériences.
Sixième série. — Fil de platine.
La dissolution du sulfate de cuivre a été remplacée par un iîl de platine fin tendu lâchement dans un tube rempli d'eau, sans être revêtu d'une couche isolante.
Longueur du 61, 4*", 8.
Septième série. — Même fily même disposition.
lo — 458.4
b Moyenne de ces deux expériences : — =4 7800.
Huitième série. — Platine.
Le fil de platine a été remplacé par un bout de même grosseur, mais long de 6 mètres, également plongé nu dans de l'eau.
»Ji,
REClliiiRGllKS SUU L ELËGTUIGITE.
Neuvième série. — Même fil^ 7nême disposition que dam
la huitième.
zz^
Moyenne des expériences VIII el IX : — = 4 8200.
Les deux dernières expériences sont surtout intéressantes en ce qu'une différence de 0,2, presque la limite de précision dans l'évaluation de i^ , fait monter la valeur de
— de 17 600 à 18 800. Je ferai remarquer toutefois que
la valeur de i^ étant plus élevée dans les expériences précédentes, un semblable écart y a moins d'importance. Quoi qu'il en soit, le second chiffre est le seul dans lequel on puisse avoir quelque confiance.
Ces résultats sont réunis dans les tableaux suivants :
