II. — Pouvoir de résolution et pureté du spectre
On sait que les sources lumineuses émettent en général une lumière qui est loin d'être monochroinatique; on a donc affaire, dans la majorité des cas, à une superposition de radiations homogènes de longueurs d'onde différentes. Considérons une source de lumière émettant des radiations dont les longueurs d'onde a, etX2 sont très voisines, et suivons pas à pas les rayons qui, partis de cette source, traversent un appareil spectral classique.
Deux cas peuvent se présenter.
a. Le corps dispersif est constitué par un réseau. — Les rayons traverseront d'abord la fente du collimateur et tomberont ensuite, après avoir été rendus parallèles par la lentille coUimatrice, sur le réseau ; là il se produira des phénomènes de réflexion et de diffraction et finalement toute la lumière provenant du réseau, cueillie et totalisée au moyen d'une lentille, donnera deux images au foyer de cette dernière.
Comme les deux longueurs d'onde Xi et A2 sont très voisines, les deux images de diffraction empiéteront l'une sur l'autre d'une manière appréciable, de sorte que Vœ\\ ne percevra qu'une intensité
4t CONSTITUTION DES SPECTRES D'ÉTINCELLES OSCILLANTES
Interprétons cela analytiquement.
II faut donc exprimer que le maximum maximorum de Timage de diltraction de >2 coïncide avec le premier minimum de Xf Ceci arrivera lorsque
Nn(X, — XO = ±X,
N désignant le nombre de traits du réseau et n Tordre du spectre de diffraction.
Les longueurs d'onde X, et Xj étant supposées très voisines, la condition précédente peut s'écrire
rfx
Or -^ est, par définition, le pouvoir de définition ou de résolution. aX
Nous aurons donc, en désignant par r ce pouvoir de définition des
réseaux Q.
r = Nn.
en considération, malgré les confusions qui pourraient se produire, surtout au début de Fapplication de cette déBnition généralisée du pouvoir de résolution.
(*) Cette expression de pouvoir de définition d'un réseau peut (^Ire mise sous une autre forme, ayant l'avantage d'expliquer le fait suivant, qui n'est pas toujours mis en évidence dans la théorie des réseaux, à savoir que, pour une position donnée du réseau, son pouvoir de résolution est indépendant du nombre N des traits, mais dépend uniquement de son ouverture linéaire 6.
Prenons, en effet, l'équation fondamentale de diffraction (p. 36, éq. lo),
(i) s (sin i -h sin 0) = nX,
et multiplions ces deux nombres par N, nombre de traits du réseau. Il vient,
Ns (sin i -h sin 6) = NnX j or, nous venons de voir que
Nn = r d'autre part
Ns ^= 6 = ouverture linéaire du réseau.
Donc,
(2) r = — (sin i •+- sin 6),
expression qui ne dépend que de l'ouverture linéaire b du réseau et de la position du réseau (déterminé par les angles i et 0).
Celte relation passe par un maximum pour i = = 90^ et l'on obtient,
Mais cette condition théorique ne peut jamais ôtre réalisée en pratique, parce que les grands angles d'incidence et de di^raclion entraînent comme conséquence une très faible ouverture angulaire du réseau : la lumière diffractée est par suite excessivement affaiblie. Pratiquement i
Le pouvoir de résolution d'un appareil spectral à réseau est donc
n'excède jamais 60® pour an an^Ie de diffraction = o, et lorsque les angles d'incidence et de diffipaction sont égaux i = 6 ^ 45° à 50*».
Le pouvoir de résolution maximum, pratique, est donc
de rn,ax.p = ^ — = 0,875— à rniax.p = — — = i,5 --•
En prenant la limite supérieure, l'on trouve que le pouvoir de résolution des plus grands
réseaux connus (5 — inches= i4 centimètres d'ouverture linéaire) pour la partie moyenne du
spectre (X = o^^yOOobb), environ r = 375 000 unités, est suffis» nt pour résoudre une raie double dont les composantes sont distantes de 0,016 unités d'Angstrom (16 milliardièmes de millimètres). MiCHELSON a trouvé, au moyen de son interféromètre et de son comparateur d'ondes, qu'il y a des raies dont les composantes ne sont pas distantes de plus de 0,006 unité d'Angstrom (6 milliardièmes de millimètres).
Il convient de faire encore une petite remarque. D'après (a), le pouvoir de résolution d'un réseau est indépendant de la finesse de sa division et dépend, pour une position donnée de ce dernier, de son ouverture linéaire. Or, l'obtention d'une grande finesse de division est une énorme difficulté dans la fabrication des réseaux ; il faut ajouter également l'erreur provenant de la vis miorométrique, la qualité des traits, etc. Il y aurait donc avantage à employer des réseaux de grande ouverture linéaire divisés à la manière courante, et utiliser les spectres d'ordres élevés (on trouve, en effet, parmi les réseaux travaillés dans des conditions identiques, des réseaux dont les spectres d'ordre élevé sont particulièrement brillants : c'est là une question de triage et l'on peut dire de chance (Cornu). Mais ici deux objections se présentent: i^ les spectres d'ordres élevés empiètent les uns sur les autres. M. Wadsworth a levé cette objection au moyen d'un très ingénieux dispositif optique (^Astrophys. Journ.t t. III, p. 169, mars i8g6); a» l'erreur toujours croissante introduite par la vis micrOmétrique, lorsque l'on veut diviser de grandes surfaces. Or,
Lord Rayleigh a montré que cette erreur dans l'espacement s des traits est de — lorsqu'il s'agit
du speclre du i*' ordre; de — pour le spectre du a« ordre, de — pour le spectre du 3® ordre, et
o la
en général — , n étant l'ordre du spectre.
D'autre part, pour une ouverture donnée et une position donnée du réseau, c'est-à-dire pour un pouvoir de résolution donné, la relation (i) nous donne
— = ; ; = COnSt.
n sin i -h sin 6
Par suite, pour deux réseaux de même ouverture 6, mais dont l'espacement des traits est différent, nous aurons
l'erreur absolue provenant de la division sera la même dans les deux cas.
L'on aura donc la même définition des raies en employant un réseau possédant ao 000 traits par inch (787 traits par millimètre) et en utilisant le spectre du premier ordre qu'en employant un réseau de 4 000 trait» par inch (i58 par millimètre) et en utilisant le spectre au 5*^ ordre.
indépendant de la longueur d'onde pour chaque ordre du spectre; il ne dépend que de cette dernière quantité.
Remarque. — Nous avons vu que la dispersion a pour valeur -r-; or
—- = Nn, D'autre pari rfô = — , angle correspondant à la limite de réso-
oX a
lution.
Donc $ = ^.
La dispersion produite par un réseau situé dans une position donnée est donc inférieure à son pouvoir de résolution.
b. Le CORPS DisPERSiF EST CONSTITUÉ PAR UN PRISME. — Le faisccau traversant le prisme ayant une section droite rectangulaire, Tangle sous-tendu au centre de la lentille qui sert à faire converger les rayons par la moitié de la largeur de la bande centrale de diffraction
provenant de la fente du collimateur, a pour valeur a = — . Par con-
séquent, en tenant compte de la défînition du pouvoir de résolution dont nous nous sommes occupés au début de ce paragraphe, nous aurons, pour les deux longueurs d'onde, au point de séparation
a et, en tenant compte de la formule de Rayleigh, p. 36, éq. (9),
d'où O,
(*) Cette formule permet de calculer la largeur de la base d'un prisme nécessaire pour sépaparer deux raies très voisines ; nous allons calculer, à litre d'exemple, la largeur de la base d'un prisme en flint « extra-dense » de Chance, nécessaire pour séparer les deux raies D du sodium. Nous prenons le flint « extra-dense » pour utiliser les données numériques de Hopkinsom (JProc. Roy. Soc, juin 1877, voir également A. Schuster, Theory of Oplics, London).
De la formule ci-dessus, nous tirons
{Xj — fX4 Ô{x
Le pouvoir de résolution r = — aura donc pour valeur:
Cette relation fondamentale est due à Lord Rayleigh. Elle montre que le pouvoir de résolution d'un appareil spectral à prismes est proportionnel à la plus forte épaisseur du corps dispersif traversé par les rayons lumineux provenant du collimateur (les bases des prismes étant disposées suivant le chemin parcouru par un des rayons extrêmes limitant le faisceau lumineux).
A' En outre, d'après la formule de dispersion de Cauchy, ji. = Ah — -;
par» suite
r = — 2AB — >
expression qui montre que le pouvoir de résolution d'un appareil spectral à prismes est en raison inverse de la 3* puissance de X. De sorte quHl sera environ 8 fois plus fort dans le violet que dans le rouge.
Pour calculer 8{i Pon peut se servir avec suffisamment d'approximation de la formule de dispersion de Gaughy,
d'où Pon tire
(a) 8,1 = - îA.' i 8^ ;
la constante A', a pour valeur, dans le cas du flint « extra*dense » (Lord Raylei|^h, PhiL Mag., t. III, p. 378; 1879), A' = o,984Xio-»o.
Donc d'après (i) et (2),
^ ^ aA'SX 1.968 8X
Or, dans le cas des raies D, l'on a
X = 5,889Xio-8 et 8X = 0,006 X 10-5.
Avec ces ordonnées, (3) donne
B = i,oa centimètres.
1 suffit donc d'avoir un prisme ayant i centimètre de laideur de base.
Remarque. — Il est utile d'insister un peu sur la distinction qui existe entre le pouvoir de résolution et la dispersion d'un prisme. La
dispersion — - — a pour valeur, d'après la relation fondamentale (6) de Lord Rayleigh
elle varie donc en raison inverse de la section droite du faisceau émergent. Ainsi, pour deux positions (i) et (a) du prisme (fig. i6), la position (i) donne une dispersion plus grande que (2). Leur rapport est
D2 Ô2 Ô2 fli
tandis que le pouvoir de résolution variera, pour les deux positions (i) et (2), dans le rapport
La plus grande dispersion n'entraînera pas par suite un pouvoir de
résolution plus grand : la raison en est que dans la position (i) quoique la dispersion soit plus forte que dans la position (2), rimage de diffraction sera (i) Fig. 16. (2) pins large. On aura pour ainsi dire un
grossissement plus fort sans accroissement de définition. Considérons un prisme en flint ordinaire.
D'après M. A. Schusler — ^ est égal à i 000, approximativement, au
voisinage de la raie jaune du sodium. La différence des longueurs d'onde des deux raies jaunes D, el 1)2 étant un millième de la longueur d'onde d'une de ces raies, il en résulte, d'après (i), qu'un prisme de flint ayant un centimètre de largeur de base sera suffisant pour séparer les deux raies DQ.
Il est intéressant de comparer le pouvoir de résolution d'un réseau avec celui d'un prisme. D'après M. A. Schuster, les réseaux commu-
(*) Voir note de la page précédente. — Le prisme est supposé au minimum de déviation.
nément employés possèdent environ 5 600 traits par centimètre et ils ont 5 centimètres de largeur. Le nombre total de traits est donc de 28000. Or, le pouvoir de résolution d'un réseau possédant N traits est pour le spectre du n' ordre (p. 42)
ce qui donne pour notre réseau et pour le spectre du premier ordre
r = 28ooo.
Pour avoir le même pouvoir de résolution avec un spectroscope à prismes en flint il faudrait donc, d'après (i), une épaisseur de verre
dk d\
or -t!^ = 1 000 dans le cas d'un prisme en flint pour le X jaune ; donc aX
B = 28 centimètres, ce qui fait 7 prismes de 4 centimètres de largeur de base, par exemple.
Il convient encore d'ajouter que le pouvoir de résolution dépend de l'épaisseur totale du corps dispersif traversé par les rayons et non du nombre des prismes ; un gros /\
prisme vaut autant — au point de vue du pouvoir de résolution — que plusieurs petits prismes. C'est ainsi que tous les prismes figurés ci-contre (fig. 17) ont, dans leur ensemble, même pouvoir de résolution, alors que leurs dispersions présentent des Fig. 17; difl*érences considérables (voir plus loin, p. io5).
Unité de pouvoir de résolution. — M. A. Schuster propose (*) de prendre comme unité de pouvoir de résolution celui qui permet de
séparer deux raies dont les X difl*èrent de ; c'est le cas des deux
raies jaunes Dj et Dj.
Pureté du spectre, d'après M. Scbuster. — La définition du pouvoir de résolution de Lord Rayleigh ne tient compte, ainsi que nous l'avons
(') Encycl. Britannica, 9* édit., vol. WÎI, article Spcctroscopy, pp. 373-38 1 ; Phihsophieal Transactions, 180, A., pp. 291-350(1889).
f» C05STITrn05 DES SPECTRES D-feTOKCELLES OSaLUk^TTES
TU, que de la largeur des images de diffraction des lignes, supposant ainsi que la fenie e$i infinimmt fine : une ligne mathématique. M. A. Schuster se rapproche plus des conditions réelles en tenant compte de la largeur de la fenie et il arrive à l'expression suivante de la pureté du spectre, c'est-à-dire la plus faible différence relative des X de deux raies qui, dans le spectre que Ton étudie, peuvent encore être regardées comme séparées.
où. $ = largeur linéaire de la fente,
6 = largeur angulaire de Tobjectif du collimateur (comptée à partir de la fente), r = pouvoir de résolution.
Cette formule nous montre que la pureté ne dépend pas exclusivement du corps dispersif, mais encore des autres parties de Pappareil spectral ou, plus précisément, de son collimateur.
M. Schuster n'a jamais publié de démonstration de cette formule. La démonstration qui suit a été communiquée amicalement à M. H. Kayser. qui Ta reproduite dans son très important Handbuch der Spectroscopie.
D'après Lord Rayleigh (Investigations in Optics, with spécial références to the Speclroscope, Philosophical Magazine (5), p. 265, 1879), dans rimage de diffraction d'une ligne infiniment mince dans le plan focal d'une lunette, le maximum principal est à une distance e du premier minimum, telle que
at
N d'où
où, âr = largeur du faisceau entré dans la lunette, /■= distance focale de la lunette.
D'après la convention de Lord Rayleigh, deux lignes seront considérées comme séparées lorsque le maximum principal de Tune tombera dans le premier minimum de l'autre ; c'est-à-dire lorsque leur distance vaut z. Mais la largeur de l'image dépend encore de la largeur de la fente.
Soit $ la largeur de la l'ente dans le plan local de la liinelte, largeur calculée d'après les principes de Toptique géométrique. Les deux lignes seront considérées comme résolues lorsque leur distance sera
Il résulte de là que le rapport du pouvoir de résolution à la pureté est
d'où
Fig. i8.
pour avoir p il faut donc calculer le rapport -
En ce qui concerne S, la largeur de la fente dans le plan focal de la lunette, on l'obtient très facilement en invoquant le principe de Fermât.
Soit AE (fig. i8) le front de l'onde des rayons provenant d'un bord de la fente, après avoir été rendus parallèles par le collimateur ; soit A la largeur AE du faisceau de ces rayons. Soient encore DH le front de l'onde réfractée du même faisceau et a sa largeur. Considérons ensuite les fronts de l'onde des rayons incidents et réfractés provenant de l'autre bord de la fente.
D'après le principe de Fermât, les longueurs optiques des chemins ABCD, EFGH et KEFGI sont identiques, à un infiniment petit du second ordre près, tant que l'angle des deux fronts d'onde AE et AK est petit ; et c'est bien le cas, ayant considéré une fente de très faibles dimensions transversales.
Nous avons donc, au point de vue optique,
ABCD = EFGH et ABCD = KEFGI.
D'où, EFGH = KEFGI et par suite KE = HI.
Désignons maintenant par :
F, la longueur focale du collimateur,
/, la longueur focale de la lunette.
S, la largeur de la fente,
S, la largeur de Timage géométrique de la feirie,
