EK = HI

Les angles |CAE et IDH étant très petits, Ton peut écrire,

s t et

/ « d'où

^ ^ aF

mais nous avons à évaluer — ; or, e = -^, ainsi qu'il a déjà été dit; il s'ensuit donc que,

et en posant — = i|; (largeur angulaire de l'objectif du collimateur,

F évaluée à partir de la fente),

Nous avons ainsi tous les éléments nécessaires pour évaluer la pureté p.

En substituant cette valeur de — dans

il vient finalement,

X + 5^ C'est l'expression de la pureté du spectre trouvée par M. A, Schuster.

Variation de la pureté du spectre avec la largeur de la fente. — Partons d'une fente infiniment fine et élargissons la peu à peu. L'expression (4), qui peut s'écrire

nous montre, en tenant compte des significations des quantités ^, s et X, que la clarté du spectre sera maxima lorsque 5'^ = X, ce qui aura lieu d'après (3), si B = 6. Dans ce cas

Remarquons encore que la condition s*^-=\ entraîne 5 = — ; or, A *

XF '~ A' c'est-à-dire,

ce qui veut dire que la largeur angulaire -— de la fente peut, dans

ce cas, être regardée comme égale à la largeur angulaire --- d'une

longueur d'onde X à la distance du diamètre (A) de l'objectif. Mais, dans ce cas, la pureté n'est que la moitié du pouvoir de résolution (éq.5). En élargissant davantage la fente, la largeur de son image dans la lunette d'observation croîtra avec la fente, mais la clarté des raies n'augmentera plus.

Pureté du spectre d'après Wadsworth. — Dans tout ce qui précède l'on a supposé tacitement que la source lumineuse émet des radiations monochromatiques. La formule de Schuster a, en outre, été établie en se basant sur l'hypothèse que, pour une résolution distincte des lignes (raies) larges, la distance angulaire des bords contigus des deux lignes doit être égale au pouvoir de résolution de l'ouverture à travers laquelle ces lignes sont observées. D'après cela, la distance des centres de deux lignes de largeurs, qui seront exactement résolues par l'appareil, a pour valeur

B-he = ?4F + ^=/-(5.>-hX), av a a

et, par suite, leur distance angulaire sera,

OÙ ({; est la grandeur angulaire de Touverture a, vue de la ligne $,et /la distance de la raie 5 à la lentille.

F.-L.-O. Wadsworth a montré {Astrophys. Joum., t. III (1896) et t. VI (1897) et par la théorie et par Texpérience que cette supposition n'est pas correcte, car à cette distance 8 + e il peut y avoir des lignes plus larges qui soient encore résolues ; ou de la largeur considérée mais plus rapprochées.

Considérons, en effet, une raie de largeur 5^ ou de largeur angulaire

a= -, et cherchons la distribution de Tintensité dans son image par

diffraction.

L'on sait que la courbe de diffraction s'obtiendra en intégrant Teffet dû à chaque élément linéaire de la raie et en étendant cette intégrale à toute la largeur de cette dernière.

Dans le cas d'une ouverture rectangulaire, la courbe de diffraction due à chaque élément linéaire est représentée, comme on le sait, par l'équation (*).

(7) J = C^-JL

où <ï> est la distance angulaire, à partir du centre, de l'image de diffraction et

L'intensité en un point situé à une distance y du centre delà frange centrale brillante, due à l'action de tous les éléments d'une ligne d'éclat uniforme sera, par conséquent,

a sin' — (y — <ï>)

r=c I TT-^ =-,rf*;

et en posant

(*) Lorsque la fente est uaifbrménieut éclairée.

maxima et de minima dont les positions sont déterminées par(')

{^ ) Ce calcal est extirmement simple. Diffère atioas. en effet (8) par rapport i y ; cela bous donnera les Taleurs de 7 pour lesquelles J esl maximum ou minimum : l'on a

— = ct^nst.

d'où

"o — ( T -»- - ) sin — ( 7 — ~ )

sin

que l'on peut fcrire

L'on Toit que lorsque — '-Ci les deux membres de celte équation sont de n^es opposés, puisque

nous aun>ns donc,

«n — { T I sin —

d'où finalement

dont les minimj, S4.*at donnée par.

- tjn^ - V = t^nç -

Mj-2tf3IBt. l.'»r>qu*

le* «^i-e* j** d*a\ acembre-s de ^^T' ^oui .li^niiques. ^vir <-i'.it :

OyS OU — de celle des inaxima principaux des images de diffraction

correspondant à ces raies. En somme cette hypothèse est identique à celle de Lord Rayleigh que nous avons déjà considérée.

rA-^

Fi g. 30.

Fig. 31.

Fig. 33.

D'après cette hypothèse, la distance enlre les centres des images de diffraction correspondant à chacune des raies composantes doit être, dans les trois cas considérés :

pour s = a distance entre les centres = i ,271 = ^-1-0, 371

— azz: 2a

— az= 3a

et en général :

==2,2ia = ff-+-o,2ia

= 3 , 20a = ff + o , 20a

2 = aH-8.

Ceci nous permet de tracer la courbe donnant la distance angulaire 8 entre les bords contigus de deux lignes voisines, nécessaire pour leur résolution, en fonction de la largeur angulaire a de ces lignes. Cette courbe est représentée par la figure 23.

Wadsworth s'est attaché à vérifier expérimentalement ces conclusions théoriques, et il a constaté un accord parfait avec la théorie (')

(^) Voici en peu de mots le dispositiF expérimental imaginé par Wadsworth : Lne fente à double mouvement est divisée dans le sens longitudinal par un fil noir, de manière h former deux fentes parallèles à bords latéraux mobiles. Cette double fente est éclairée au moyen d'une lampe à arc dont la lumière est tamisée à travers un ou plusieurs écrans en papier. Ce sont ces deux fentes, éclairées comme il vient d'rtre dit, qui constituent les deux raies lumineuses voisines mais de lar^^cur variable que Pnn se propose de résoudre. Ces deux raies sont obserrées dans une lunette dont l'objectif est couvert par un écran percé d'une fente dont la lar^ur peut être variée à volonté. En élargissant plus ou moins cette dernière on obtient la résolution des deux lignes considérées. La largeur de cette fente, lorsque les deux premières fentes sont infiniment fines, est évidemment donnée par

pour des valeurs de a inférieures à a (d <a) ; pour des valeurs de œ supérieures à a, la séparation des raies n'est nettement effectuée que si la différence des intensités au centre et aux deux maxima de la courbe de diffraction de la source double est inférieure à 20 pour 100. Cela n'a d'ailleurs rien qui doive surprendre : Ton sait, en effet, que sur une surface lumineuse étendue (la surface d'une planète par ex.) Ton peut distinguer des plages de faibles dimensions dont la différence d'intensité par rapport à la large surface ne dépasse pas 2 à 5 pour 100.

La courbe théorique est donc confirmée expérimentalement.

Quant à la valeur de S, la résolution angulaire de la lunette pour les raies larges, elle ne change pas beaucoup lorsqu'on tient compte

a étant le diamètre angulaire du fil noir (tu de la lunette d'observation) qui sépare la première

Pente.

Lorsque les deux premières fentes ont une largeur angulaire finie a, l'ouverture A' nécessaire

pour les résoudre sera plus petite, A' = — , et le rapport — , aura pour valeur

Gomme le fil utilisé par Wadsivorth pour séparer la première fente en deux avait dans ce expériences un diamètre angulaire (vu de la lunette) 0^000018, il en résulte que

A = — =33 millimètres environ, a

Le tableau ci-dessous donne les résultats des observations.

a5 à a8 mm.

o,io(?)

de la courbe théorique au lieu de suivre minutieusement la courbe basée sur les données de rexpériencc ; cela tient à ce que, pour les valeurs de o- contenues dans les données de la courbe (tracée entre les limites (i = o et a = 3a), 8 est très faible. En effet, pour le point de la courbe où la différence entre les valeurs théoriques et expérimentales est la plus considérable, pour le point 7=i;5a (voir fig. 23), les valeurs de S = aH-§ ne diffèrent que d'environ 4 pour loo. Pour le point (7 = 3a, la différence ne dépasse pas 2 pouf loo.

Nous pouvons donc adopter la courbe théorique. Cette courbe (fig. 23, trait plein), peut, jusqu'au point (7= 3a, être assez exactement représentée par une hyperbole de la forme (fig. 23, en pointillé).

De là,

nous

tirons la

valeur de

qui peut s'écrire, en y remplaçant c et a par leurs valeurs ff= -- et

(lO)

Maintenant que nous avons les valeurs de q et de 8, nous avons par là même la distance angulaire 2 = 7-f-S de deux raies voisines de largeur (T qui peuvent encore être nettement résolues par notre appareil ; cette valeur peut, en effet, s'écrire

.s .1 X^ as , \ X*

/ a 25'!/ + X af a 25»^ + X

et finalement, puisque --- = ^,

au lieu de (.v^ + X), éq. (6), précédemment trouvée.

La différence entre les valeurs numériques fournies par ces deux expressions peut, pour des faibles valeurs de .v6, atteindre et même dépasser 5o pour loo.