V. sin a = Il sin (a

Cette relation peut s'écrire

sin (a -f- 0) v

sin a u

et l'inégalité sin (a -j- 0) ]> sin a entraîne v ^ ii.

Pour prendre un exemple, supposons la voile fixe, c'^est-à-dire

l'angle a constant, alors v est. maximum pour 0 + a = ~,

Dans ce cas, 0 est le complément de a, a = v cos a, et par suite, u est moindre que v, c'est-à-dire cpie la vitesse du navire.

Ainsi, lorsque la direction du vent fait, avec la direction des baux et du côté de l'arrière, un angle égal à celui que la voile fait avec la quille, ou, ce qui revient au même, lorsque les angles que la direction du vent et que la voile forment avec la cjuille du navire sont complémentaires, la vitesse du navire est plus grande que celle du vent.

Supposons actuellement c[ue le navire se déplace vent debout, c'est-à-dire que le vent souffle dans une direction WA en avant des baux comme le représente la figure 4ï (*).

On trouverait, comme précédemment, que l'on a

V sin 0. = u sin (a -j- 0) ou v sin a. =ii sin cp

Cj Les voiles sont soutenues verticalement par les vergues contre les mâts, et on les oriente avec des cordes appelées amures, qui sont fixées aux angles des toiles et que l'on attache aux murs du navire du côté d'oi!i vient le vent; on dit que le navire vogue tribord amures, bâbord amures ou amures arrière suivant que les amures sont attachées à tribord (droite), à bâbord (gauche) ou à l'arrière.

€n posant o rr= tt — (a -i- 0), la résultante des deux forces BA, WA agit suivant SAL.

T^ sin o

Dans ce cas v = u —. — -

sin ce

Or, si nous représentons par iv la composante de la vitesse du navire contre le vent, c'est-à-dire dans la direction AW, on a :

w = V cos BAW =^ V cos (a -j- cp) = u

sin cp cos (a -}- o)

sni a

Supposons, comme plus haut, l'angle a constant, alors w est maxi

pour o =

et, pour cette valeur de cp

w = - u (cosec. a — i).

Cette formule montre que w est plus grand que u lorsque Ton a

sm a <^

Fig. lii.

opposée à celle du vent est supérieure à la vitesse du vent.

Ainsi, dans le cas du vent soufflant d'avant en arrière, si les voiles peuvent être établies de façon à faire avec la quille un angle dont le sinus soit moindre

R que |, c'est-à-dire

un angle un peu plus petit que ig^ag^, la composante de la vitesse du navire suivant une direction

QUESTIOJN'S DE MÉGAlNIQCE qS

Celle théorie est curieuse, mais il ne faut pas oublier que dans la pratique une foule de circonstances et de conditions interviennent dont nous ne pouvons tenir compte ici et qui sont des conséquences de ce fait, qu'il n'est pas possible de construire un navire, aussi parfait soit-il, n'éprouvant pas de la |3art de l'eau une résistance plus ou moins grande à son déplacement en avant ou n'allant pas, môme faiblement, à la dérive, sous l'influence du vent debout. Cependant, ces conditions accessoires ne modifient pas nos résultats autant qu'une personne étrangère à la navigation pourrait le supposer.

Dans le cas d'un bateau glissant sur une couche de glace unie, les suppositions qui ont été faites sont suffisamment exactes et les résultats pratiques obtenus concordent sensiblement avec ceux donnés par la théorie.

Bateau mis en mouvement au moyen d'une corde. — On trouve des bateaux de course d'une forme spéciale, dont on se sert principalement dans les régates, et offrant une application vraiment curieuse de certains principes mécaniques. Au lieu d'avirons, l'équipage €St muni seulement d'une corde qui doit être amenée le plus rapidement possible (mais sans sortir du bateau) d'un point à un autre.

Expliquons-nous : l'une des extrémités de la corde est attachée au dernier ban de rameurs, et en tirant sur l'autre extrémité, on donne une série de violentes impulsions parallèlement à la quille. Le bateau est mis ainsi en mouvement et il nous a été affirmé que sur une eau tranquille on pouvait parcourir, par ce moyen, deux ou trois nœuds à l'heure.

La principale cause du mouvement paraîtrait être la suivante : le frottement entre le bateau et l'eau est un obstacle à tout mouvement relatif, mais il n'est pas encore assez grynd pour arrêter d'une façon absolue le mouvement provoqué par une impulsion vigoureuse. Habituellement, l'équipe du bateau, en manœuvrant, ne déplace pas sensiblement le centre de gravité de l'ensemble de sa ma^se et

gÔ RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES

celui du bateau, mais ce n'est pas le cas pour un mouvement d'impulsion, et si l'équipe, en donnant une série de coups saccadés, déplace en avant son centre de gravité n fois plus rapidement qu'en revenant à la position normale, chaque coup une fois donné, l'impulsion en avant communiquée au bateau est au moins n fois plus grande que celle en arrière, d'où résulte un mouvement en avant (*).

Mouvement des fluides et mouvement dans les fluides. —

La théorie du mouvement des fluides et du mouvement dans les fluides présente de grandes difficultés. Nous ne mentionnerons ici que deux ou trois applications de la loi d'Hauksbee.

Loi d'Hauksbee. — Lorsqu'un fluide est animé d'un mouvement rapide la pression qu'il exerce est moindre que lorsqu'il est à l'état de repos (^). Ainsi, lorsqu'un courant d'air se produit dans un tube, la pression sur les parois est plus petite que lorsque la colonne d'air est au repos, et cette pression varie en raison inverse de la vitesse.

Ce fait a été signalé par Hauksbee il y a près de deux siècles.

Dans un fluide d'une élasticité parfaite dans lequel la pression est proportionnelle à la densité, la loi reliant la pression p h. la. vitesse constante v, est représentée par l'équation p = tzcl"^^ dans laquelle tc et a sont des quantités constantes.

Les formules correspondantes pour les gaz où la pression est pro-

(^) On peut encore faire remarquer qu'il est possible de mettre un bateau en mouvement sur une eau tranquille en lui imprimant un balancement régulier d'avant en arrière, mais un peu plus accentué sur l'arrière. C'est une application du principe de la réaction égale et opposée à l'action.

(2) Besant. — Hydromechanics, Cambridge, 1867, art. 149; dans cet ouvrage le principe de la proportionnalité de la pression à la densité est énoncée. Hauksbee est l'auteur le plus ancien qui appela l'attention sur le problème, mais nous ne savons pas quel est celui qui le premier donna une explication du phénomène. Willis en dit quelques mots dans Cambridge Philosophical Transactions ^ i83o, vol. III, pp. 129-140.

QUESTIONS DE MECANIQUE Qy

porlionnelle h une certaine puissance de la densilc, s'établissent sans difficulté.

L'expérience dite a du mystère pneumatique » s'explique au moyen du principe précédent. C'est un instrument que l'on trouve chez presque tous les marchands de jouets et qui consiste en un tube muni d'une embouchure à l'une de ses extrémités et terminé à l'autre par une coupe évasée en forme de calice contenant une petite boule en bois. Ce tube étant tenu dans une position verticale avec la coupe en bas, on souffle fortement par l'embouchure en plaçant la boule à l'ouverture de la coupe, on constate alors que la boule se maintient suspendue dans la coupe. L'explication est très simple : la pression de l'air sous la boule est bien supérieure à celle de l'air dans le tube et la différence de ces deux pressions est assez grande pour soulever la bouJe.

On produit le même effet en fixant à l'ouverture inférieure d'un tube un petit morceau de carton percé d'un trou central et sous lequel on place une rondelle de papier, en soufflant par l'autre extrémité dans le tube, la rondelle de papier ne se détache pas du carton, mais elle se plie pour permettre la sortie du courant d'air.

Une autre expérience exactement du même genre se trouve décrite dans la plupart des ouvrages surl'hydrodynamique des gaz. On place à l'une des extrémités d'un tube droit un disque plan pouvant glisser sur de petits fils de fer fixés dans le prolongement rectiligne du tube. Le disque étant à une petite distance de l'extrémité, on souffle avec force, mais d'une façon continue, dans le tube et on constate que le disque n'est pas projeté hors des fils, mais est attiré vers l'ouverture en oscillant autour d'une position voisine de cette extrémité.

Voici la même expérience sous une autre forme ; on place à plat sur une table deux livres dont les dos sont parallèles et espacés de 2 à 3 centimètres ; ce vide est couvert par une feuille de papier ou un morceau de journal, et en soufflant vigoureusement dans le petit tunnel ainsi formé, on constate que le papier est aspiré au lieu d'être projeté en l'air.

Récréations mathématiques, II. m

98 RÉGRÉA.TIONS MITHÉMATIQUES

La dernière expérience qui suit s'explique d'une façon identique : Sur la pointe d'un axe vertical on fixe une petite tige très légère pouvant pivoter dans un plan horizontal et dont chacune des extrémités porte un petit carré vertical ou une sorte de petite voile en carton mince ; les deux voiles sont d'ailleurs dans un môme plan. Si maintenant on provoque un courant d'air en soufflant dans le voisinage de l'un de ces carres, mais dans une direction parallèle à leur plan, on constate que ce carre se déplace vers le côté où le courant d'air se produit, et la tige avec ses deux petites ailes prend un mouvement de rotation.

Les expériences que nous venons de décrire peuvent être réalisées de façon à justifier la loi d'Hauksbee en prenant certaines précautions, car d'autres causes étrangères interviennent, qui peuvent modifier les phénomènes, mais il est inutile d'entrer ici dans tous ces détails.

La balle du Tennis. — Tous les joueurs de tennis et de raquette connaissent l'effet que nous allons signaler : une balle frappée vigoureusement peut aller rebondir sur un mur, puis (sans toucher le sol ou un autre mur), revenir sur elle-même et heurter une seconde fois le mur.

C'est une nouvelle application de la loi d'Hauksbee. En voici l'explication (*) : le coup donné sur la balle lui imprime un mouvement de rotation rapide autour d'un axe passant par son centre de figure en même temps qu'un mouvement de propulsion, et le frottement de la surface de la balle contre l'air ambiant produit une sorte de tourbillon.

Considérons, par exemple, une balle sphérique animée d'un mouvement de rotations dans le sens de la flèche autour d'un axe passant par son centre et perpendiculaire au plan de la figure, elle

(^) Voir Magnus sur Die Abweichung der Geschœsse dans le Abhandlungen der Akademie der Wissenschaften, Berlin, i852, pp. i-23. Lord Rayleigh. — On the irregular jlight of a tennis bail, Messenger of Matheniatics, Cambridge, 1878, vol. VII, pp. 14-16.

QUESTIO^ïS DE MECANIQUE QQ

se déplace en même temps de gauche à droite parallèlement a la direction PQ dans un milieu en repos. Tout déplacement de la balle dans un sens perpendiculaire à PQ est produit par la pression de l'air sur la surface, et, d'après la loi d'Hauksbee, cette pression est d'autant plus grande "^

que la vitesse de l'air est faible par rapport à celle de la balle, et vice versa. Pour déterminer la vitesse de l'air relativement à celle de la balle, nous pouvons considérer le

centre de cette dernière comme fixe, et sup- p q

poser un courant d'air venant frapper la p.^ ,

surface de la balle avec une vitesse égale et

contraire à celle que possède son centre. Or, les couches d'air en contact avec la surface de la balle sont entraînées dans le mouvement de rotation de celle-ci en formant un tourbillon tournant dans le sens de la flèche. Examinons comment le mouvement provoqué par le tourbillon est affecté par le mouvement du courant dans le sens QP. En A, l'air dans le tourbillon se déplace contre le courant et, par suite, sa vitesse est retardée ; en B, l'air dans le tourbillon se déplace dans le même sens que le courant et, par suite, la vitesse est augmentée. Dès lors, la vitesse relative de l'air est moindre en A qu'en B et par suite, la pression de l'air sur la surface de la balle est plus grande en A qu'en B. Ainsi, la balle est poussée par cette pression dans une direction l'éloignant de la ligne PQ qui peut être considérée comme représentant la sectioo d'un mur vertical limitant l'espace réservé au jeu. En d'autres termes, la balle tend à se mouvoir transversalement à la ligne que décrit son centre et dans la direction suivant laquelle elle tourne.

Dans le cas d'une balle de tennis, la forme de la balle étant modifiée par un coup vigoureux, il en résulte quelques compHcations dont il y a lieu de tenir compte dans l'explication du phénomène. Les questions traitées comme des applications de la loi d'Hauksbec sont simples comparativement à plusieurs autres problèmes sur le mouvement des corps dans les milieux fluides. L'étude de beaucoup

100 REGREA.TIONS MATHEMATIQUES

de ces questions conduit à des calculs d'analyse algébrique qui ne peuvent figurer dans un pareil livre ; nous consacrerons cependant quelques lignes à l'une d'elles qui n'a pas encore été complètement élucidée.

Théorie du vol des oiseaux. — Un problème de mécanique qui présente un grand intérêt est celui qui consiste à expliquer comment il se fait que les oiseaux peuvent parcourir des distances considérables dans les airs sans que leurs ailes fassent le moindre mouvement (tout au moins apparent). Pour ne citer qu'un exemple, particulièrement remarquable, on a vu des albatros suivre pendant plusieurs jours des vaisseaux marchant à neuf et dix nœuds à l'heure, et souvent, pendant un temps considérable, et on n'observe aucun mouvement, soit des ailes, soit du corps. D'ailleurs, lors même que l'oiseau remuerait ses ailes, on comprend difficilement comment il peut développer une énergie musculaire assez grande pour se déplacer dans les airs si rapidement et si longtemps.

On a présenté plusieurs explications du phénomène (^) parmi lesquelles les plus plausibles sont : celle des courants supérieurs de M. Maxim, celle présentée par Lord Rayleigh relativement aux variations de la vitesse du vent suivant l'altitude, celle du D*" S. P. Langley supposant l'existence d'une série non interrompue de ra fales et d'accalmies alternées, et enfin la théorie des tourbillons atmosphériques du D"" Bryan.

Il paraît aujourd'hui raisonnable d'admettre que la seconde et la troisième de ces sources d'énergie contribuent, en partie tout au moins, au phénomène observé. L'effet de la troisième cause se comprend en partie en remarquant que le centre de gravité de l'oiseau ayant ses ailes déployées est un peu au-dessous de son plan de vol, c'est-à-dire du plan de ses ailes, de telle sorte que l'ensemble constitue une sorte de parachute. Un brusque coup de

(*) Voir G. -H. Brya.n dans The Transactions of the British association pour 1896. Vol. LXVI, pp. 726-728.

QUESTIONS DE MECANIQUE lOl

vent sur un Ici corps a pour effet d'imprimer à la couche d'air dans laquelle plane l'oiseau une vitesse plus grande que celle de la masse en suspension qui forcée de s'élever, reçoit ainsi le vent de l'autre côté, de sorte que la force ascensionnelle de l'oiseau est augmentée. Quant le vent tombe, la masse plus considérable du corps de l'oiseau continue son mouvement en vertu du principe de l'inertie, de telle sorte que le plan des ailes est encore en contact par sa face inférieure avec la couche d'air calme; et si, pendant que le parachute est dans cette position, une nouvelle saute de vent vient à se produire, la masse en suspension est encore entraînée de bas en haut ; ainsi plus l'oiseau s'avance et plus il s'élève dans les airs. Il résulterait de cette théorie que les oiseaux dans leur vol sont entraînés par de subits coups de vent. Par le fait même que l'oiseau est en mouvement il tend à se maintenir en l'air ; car on a récemment montré qu'une surface plane tombe plus lentement sous l'action de la gravité lorsqu'elle est lancée horizontalement à travers l'espace avec une certaine force, que lorsque la chute s'effectue directement suivant la verticale. Par suite, entre deux coups de vent successifs, les oiseaux en mouvement dans les airs descendent verticalement d'une quantité plus petite que celle dont ils tomberaient dans le cas d'un vent calme. Bien plus, des expériences récentes ont montré que le travail mécanique nécessaire pour supporter, au moyen d'un aéro-plan un corps se déplaçant horizontalement diminuait avec l'altitude ; par conséquent, lorsque l'oiseau reçoit du vent une impulsion transversale (c'est-à-dire faisant un angle droit avec sa direction première) sa force ascensionnelle est augmentée en proportion de sa vitesse propulsive initiale.

Curiosités physiques. — Lors de la préparation de la première édition de cet ouvrage nous avions réservé un chapitre faisant suite à celui-ci et consacré à quelques questions du ressort de la physique.

Par exemple, dans la théorie de l'acoustique, nous donnions l'explication d'un phénomène observé par le capitaine Parry et relatif

102 REGI\EATIO?tS MA.THEMATIQIJES

à la vitesse dans l'air du bruit produit par un coup de canon et du son de la voix humaine, le premier était perçu avant que le commandement de faire feu parvint à l'oreille de l'observateur (*). Dans la théorie cinétique des gaz nous signalions les perturbations que pourrait produire dans l'univers « l'esprit de Maxwell )) (^). Comme questions d'optique, nous donnions l'explication « des miroirs magiques » japonais (^) réfléchissant l'image sur la face arrière (qui n'est pas éclairée). Nous aurions pu y ajouter la curieuse expérience de la c( Toupie spectre » avec laquelle une sm*face blanche sur laquelle on a tracé quelques traits en noir peut être mise en mouvement de façon à donner l'impression de lignes coloriées en rouge, vert, bleu, gris, brun (*) en citant ce fait, non moins curieux, que la couleur change suivant le sens de la rotation. On a également montré tout récemment (ce qui peut-être avait déjà été remarqué un peu partout) que si deux séries d'ondes, dont les longueurs sont dans le rapport de m — i à m 4- i se superposent, la mieme onde de chaque système est la plus grande. L'opinion généralement répandue que chaque neuvième vague daps la mer est plus forte que les autres, serait donc ainsi vérifiée scientifiquement.

Les phénomènes curieux et intéressants ne manquent pas en physique ; l'électricité et le magnétisme, en particulicer, en sont des

(*) Le fait est absolument authentique. M. Earnshaw (Philosophlcal Transactions. Londres, i86o. pp. i33-i48) l'a expliqué par l'accélération de Tonde provoquée par la formation d'une sorte de trou dans l'air ; cette explication a été acceptée par Clérk Maxwell et plusieurs autres physiciens, mais Sir George Airy pensait que le phénomène dépendait de la physiologie ; voir Le Son d'AiRY, seconde édition, Londres, 1871, pp. i/\i-i^2.

(^) J. Glerk Maxwel. — Théorie de la chaleur, seconde édition, Londres, 1872, p. 3o8.

(^) Voir un mémoire de W.-E. Ayrton et J. Perry. — Proccedings of the Royal Society of London, partie I, 1879, vol. XXVIII, pp. 127-148.

(*) Voir les lettres de M. G.-E. Be>'ham et autres dans le journal Nature, 1894-5; et un mémoire du Prof. Liveiwg, Cambridge Philosophlcal Society, 26 novembre i8c)4«

QUESTIONS DE MECANIQUE Io3

sources inépuisables ; la difficulté est d'en faire un choix judicieux. Nous avons pensé que le sujet était en dehors de notre programme et trop technique pour être traité dans un ouvrage spécialement consacré à des récréations mathématiques. En conséquence, nous avons préféré laisser de côté le chapitre dans lequel nous avions réuni toutes ces cjuestions. Si nous mentionnons le fait, c'est d'abord parce que nous avons l'espoir qu'un physicien publiera un jour un ouvrage dans lequel toutes les questions de celte nature seront traitées et ensuite, pour les rappeler à ceux que les études de ce genre intéresseraient.