CHAPITRE VII

QUESTIONS DIVERSES

Nous nous proposons dans ce chapitre de discuter la théorie mathématique d'un certain nombre de jeux et amusements choisis parmi les plus connus. Nous aurions pu traiter quelques-uns d'entre eux dans les chapitres précédents, mais comme nous faisons intervenir, pour plusieurs, soit alternativement, soit à la fois la géométrie et l'algèbre, nous avons pensé qu'il serait plus convenable pour notre exposition de les grouper à part. Cette division d'ailleurs est absolument conventionnelle et n'a rien d'absolu ; en l'adoptant nous avons été guidé par notre simple convenance plutôt que par la logique.

La majeure partie des questions énumérées ci-après n'ont aucune connexité, elles sont présentées un peu au hasard.

Nous traiterons successivement le Jeu des quinze, la Tour d'Hanoï, Les anneaux chinois, le Problème des huit reines, le Problème des quinze écolières, et enfin quelques récréations ou problèmes pouvant se faire avec un jeu de cartes.

Le jeux des quinze (^). — H y ^ dix ou douze ans, on trouvait communément chez tous les marchands de jouets un jeu connu sous le nom de u jeu des quinze ». Il consistait en une boîte carrée

(') On trouvera deux articles sur ce sujet dans V American Journal of Malhemalics, 1879, vol. JI, par les Prof. Woolsey Johnson et Stouy ; mais la théorie du jeu se déduit immédiatement de la proposition donnée plus loin dans le texte.

QUESTIONS DIVERSES

io5

cil bois, peu profonde (dont le haut était marque d'une certaine façon) renfermant quinze cubes ou quinze jetons carrés numérotés de un à quinze. La boîte pouvait contenir exactement seize de ces cubes ou jetons, et, par suite, les quinze qui s'y trouvaient étaient susceptibles d'être déplacés successivement dans la boite en utilisant le vide.

Au début les quinze numéros sont disposés dans un ordre cjuelconque avec la seizième et dernière case vide, le jeu consiste à les déplacer de façon à leur faire prendre finalement la position indiquée dans la figure 4 3.

Nous pouvons suivre les diverses phases du jeu en supposant que l'espace libre, formant la seizième case, soit déplacé sur le tableau pour revenir à la case d'où on est parti.

Fig. kh.

La route suivie par l'espace libre, ainsi matérialisé, consiste : i° en pas, allé et retour (qui n'ont aucune influence sur l'arrangement cherché), et 2° en chemins fermés parcourus en rond (qui représentent nécessairement des permutations circulaires d'un nombre impair de jetons). Aucun autre mouvement n'est possible.

Mais une permutation circulaire de n lettres est équivalente à a — I inversions simples ; par suite une permutation circulaire

J06 nÉGUÉA.TIONS MATHEMATIQUES

impaire équivaut à un nombre pair d'inversions simples. Dès lors, en déplaçant les jetons de façon à ramener rcspace libre sur la seizième case, le nouvel ordre des numéros diffère de l'ordre primitif par un nombre pair d'inversions simples. Il en résulte que si la disposition demandée ne peut se déduire de la disposition primitive qu'en effectuant un nombre impair d'inversions, le problème n'est pas possible ; il est possible au contraire lorsqu'on passe d'une disposition à l'autre par un nombre pair d'inversions.

Ainsi, dans la figure /j4 de la page io5 l'ordre des jetons se déduit de celui de la figure 43 en opérant six inversions, à savoir, en intervertissant l'ordre de i et 2, de 3 et 4, de 5 et 6, de 7 et 8, de 9 et 10, et de 11 et 12. Dès lors, on peut passer de l'une à l'autre disposition en manœuvrant les jetons dans la boîte.

Si cependant, dans le second diagramme, l'ordre des trois derniers jetons était i3, i5, i4 au lieu de i3, i4, i5, nous aurions à opérer sept inversions de jetons pour passer d'un ordre à l'autre et, dans ce cas, le problème n'est pas susceptible de solution.

La façon la plus commode de trouver le nombre d'inversions simples nécessaires pour déduire un arrangement donné d'un autre est d'opérer la transformation par une série de cycles. Supposons, par exemple, que les jetons soient mis dans la boite dans un ordre quelconque (les jetons étant pris de gauche à droite dans les lignes horizontales successives) et que l'ordre primitif et l'ordre final soient respectivement.

I, i3, 2, 3, 5, 7, 12, II, 2, 3, 4. 5, 6, 7,

La seconde disposition peut se déduire de la première au moyen de douze inversions. La façon la plus simple de le voir est de disposer l'opération en trois cycles séparés, comme il suit :

II