I, II

QUESTIONS DIVERSES IO7

Ainsi, si dans la première des figures on substitue ii à i, puis 8 à II, puis I à 8, nous faisons une inversion cyclique de trois nombres, opération équivalente à deux inversions simples (inversion de I et II, et de I et 8). En r^umé, l'opération revient a effectuer trois inversions cycliques, la première de trois nombres, la seconde de onze nombres et la troisième de un nombre ; par suite, elle est équivalente à (2 4- 10 + o) ou à douze inversions simples. Ce nombre étant pair, on peut déduire l'une des dispositions de l'autre en déplaçant les jetons de la boîte.

11 est évident que si la diposition initiale était la môme que celle demandée, à l'exception des trois derniers jetons, que nous prendrons dans l'ordre i5, i/|, i3, il nous faudrait effectuer une inversion pour les amener dans l'ordre i3, i/j, i5 ; le problème dans ce cas ne serait pas possible.

Cependant en faisant tourner la boîte d'un angle droit de façon à amener le côté AD à la partie supérieure du jeu, cette rotation serait équivalente à treize inversions simples. Car si nous conservons toujours la seizième case libre, la rotation aurait pour effet de clianger une disposition quelconque, telle que la suivante :

en

I, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, II, 12, i3, il\, i5, [3, 9, 5, I, i4, 10, 6, 2, i5, II, 7, 3,12, 8, 4.

Ce qui revient à effectuer treize inversions simples. Par suite, une disposition pour laquelle le problème n'est pas possible, pourrait être ainsi remplacée par une autre conduisant à une solution, et vice versa.

De plus, même si la disposition primitive était une de celles conduisant à l'impossibilité du problème, en laissant la première case vide, au lieu de la dernière, il serait possible de disposer les quinze jetons suivant leur ordre naturel. Car, en représentant la case blanche par 6, le problème reviendrait à changer l'ordre.

I, 2, 3, 4, 5, 6. 7, 8, 9, 10, II, 12, i3, lA, i5, b,