I -h 4 + 4' -H 4' + ... + 4'^ ou g (22»+2 i

Le raisonnement est semblable pour déterminer le nombre des pas nécessaires pour enlever un nombre pair d'anneaux.

L'enlèvement des 2 premiers anneaux exige 2 pas ;

L'enlèvement des 4 premiers anneaux demande 2X4 pas additionnels ;

L'enlèvement des 6 premiers anneaux demande 2X4^ pas additionnels ;

Par conséquent, pour enlever les 2 n premiers anneaux, il faudra exécuter un nombre total de pas représenté par

Si nous enlevons ou si nous enfilons les deux premiers anneaux en un seul pas au lieu d'exécuter l'opération en pas séparés, ces résultats deviennent respectivement :

22/1 et 2'^n—i — I, Récréations mathématiques, II. 8

Il4 RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES

Nous avons donné celle analyse parce qu'elle est la solution directe d'un problèiue qui, à une certaine époque, attira l'attention, et dont Cardan s'est occupé en i55o, puis Wallis en 1698, mai§ tous les deux sans succès. Nous allons présenter maintenant une nouvelle solution plus élégante mais moins i-ationnelle.

Cette solution due à M. Gros (^) repose sur une convention d'après laquelle chaque position des anneaux est représentée par un certain nombre écrit dans le système de numération binaire, de telle sorte que chaque pas s'indique en ajoutant ou en retranchant l'unité.

Représentons chaque anneau par un petit cercle : si un anneau est sur la navette le petit cercle est décrit au-dessus d'une barre horizontale figurant la navette, tandis que si l'anneau est sorti de la navette le petit cercle est décrit sous la barre.

Ainsi la figure 46 de la page 11 4 représente une suite de sept anneaux dans laquelle les deux premiers sont sortis de la navette, les trois qui suivent montés sur la navette, le sixième sorti, et le septième engagé sur la navette.

On convient de désigner les anneaux qui sont montés par les chiffres 1 et o alternativement, en allant de gauche à droite, et un anneau sorti de la navette par le chiffre assigné à celui monté sur la navette le plus voisin sur sa gauche, ou par o s'il ne se trouve aucun anneau sur sa gauche.

En appliquant cette convention aux trois positions représentées ci-dessous on obtient respectivement les nombres écrits sous chacune d'elles.

Fig.46. Fig.47. Fig. 48.

La position (2) se déduit de (i) en faisant passer le premier an-

(') L. Gros. — Théorie du Bafjiienaadicr, Lyon, 1872. Nous emprunton cette citation à Lucas, vol. I, partie 7.

QUESTIONS DIVERSES Il5

neau sur la navette, tandis que la position (3) se déduit de (i) en faisant sortir le quatrième anneau,

11 résulte de ce qui précède, comme nous l'avons déjà dit, que chaque position des anneaux est représentée par un nombre écrit dans le système de numération à base 2 ; de plus, puisque en allant de gauche à droite chaque anneau monté sur la navette donne lieu à une variation (c'est-à-dire de i à o ou de o à i) et chaque anneau enlevé donne une continuation ou permanence, l'effet de l'enlèvement d'un anneau se traduira par la soustraction ou l'addition d'une unité. Par exemple, le nombre représentant la position des anneaux de la figure A7 se déduit du nombre représentant la disposition de la figure 46 en ajoutant i à ce dernier nombre. De même le nombre représentant la position des anneaux de la figure 48 se déduit de celui représentant la disposition (i) en retranchant l'unité.

Lorsque tous les sept anneaux sont montés sur la navette, cette disposition est représentée par le nombre loioioi, et lorsqu'ils sont tous sortis, la disposition est figurée 0000000. Dès lors le passage de la première disposition à la seconde exige un nombre de pas égal à la différence entre ces deux nombres écrits dans le système binaire. Or, le premier est égal à 2^ + 51* 4- 2^ -4- i ou à 85 et le second à o, par suite, l'opération nécessite 85 pas.

On ferait voir par un raisonnement semblable que pour enlever une suite de 2n 4- i anneaux, il faut (i H- 2^ H- .... -h 2^") pas,

c'est-à-dire o (2^" + ^ — i) î et que pour enlever une suite de 2n

anneaux, il faut: (2 -h 2^ + .... H- 2^"-^) pas, soit w (2^" + * — 2).

Nous donnons ci-après un tableau indiquant les pas nécessaires pour enlever les quatre premiers anneaux d'une suite de cinq anneaux. Les diagrammes dans la colonne centrale montrent les positions successives des anneaux après chaque opération.

Les nombres qui accompagnent sur la droite chaque diagramme représentent ces positions, chaque nombre se déduisant du précédent par l'addition d'une unité. Les pas accolades peuvent être faits en un seul mouvement, et en les effectuant ainsi, l'opération est ter-

ii6

UEGIIDAÏIONS MATHÉMATIQUES

minée en sept mouvements au lieu de dix ; tout ceci est en concor dance avfc les formules données plus haut, page ii5.

Posi'ion

initiale.

Après

le

ler pas

ae »

Ae »

Lo

lo

IIIIO J

un I \

Fig. 49-

M. Gros prétend qu'il est possible d'effectuer soixante-quatre à quatre-vingts j9as à la minute, ce qui nous semble un peu exagéré. En acceptant comme exact le plus petit de ces nombres, on pourrait enlever dix anneaux en moins de huit minutes ; l'enlèvement de vingt-cinq anneaux exigerait plus de 682 jours de dix heures de travail chacun ; et pour faire sortir soixante anneaux il faudrait au moins 768 Gi43364o456/i 65o pas, opération qui exigerait environ 55 000 000 000 années de travail, en supposant, bien entendu, qu'il n'y ait pas d'erreur commise.

Le problème des huit reines (*). — Le problème consistant

(1) Pour l'historique de la question nous renvoyons à W. Ahrens, Mathematische Untherhaltungen iind Spiele, Leipzig, 1901, chap. ix.

QUESTIONS DIVERSES

à déterminer de combien de manières différentes huit reines (ou huit pions tenant lieu de cette pièce) peuvent être placées sur un échiquier ordinaire — ou d'une façon plus générale de combien de manières différentes, n reines peuvent être disposées sur un échiquier de n~ cases — de telle sorte qu'aucune des reines ne puisse être prise par une autre, a été proposé, à l'origine par Nauck en i85o.

En 1874, D'' Gûnthcr (^) fit paraître une solution basée sur la théorie des déterminants.

Car si chaque symbole représente la case correspondante de l'échiquier, les solutions possibles sur un échiquier de n^ cases seront

données par ceux des termes, déterminant

s'il y en a, du développement du

dans lesquels une même lettre et un indice ne figurent q«'unc fois. La raison en est évidente : chaque terme dans un déterminant contient un élément, et un seul, pris dans chaque ligne horizontale et dans chaque colonne verticale : par conséquent, ces termes indiqueront des positions sur l'échiquier pour lesquelles les reines ne peuvent être prises l'une par l'autre par des mouvements identiques à ceux de la tour. De plus, dans le déterminant qui précède, les lettres et les indices sont disposés de telle sorte que toutes les mêmes leltres et tous les mêmes indices figurent dans les diagonales, c'est-à-dire dans le sens du mouvement du fou ; par suite, en ne conservant que les termes dans lesquels toutes les lettres et tous les

(') Grunert.

pp. 281-292.

Archiv (1er Matheinatik and Physlk, 187/i, vol. LVI,

Il8 RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES

indices sont différents, nous aurons les cases de l'cchiquier sur lesquelles les reines ne pourront être prises entre elles par des mouvements idendiques à ceux du fou. Il est clair qu'il n'y a pas lieu de tenir compte des signes des termes.

Dans le cas de l'échiquier ordinaire, le déterminant est du 8"'^ ordre et contient par conséquent 1.2. 3. ..8 ou 4o320 termes, de sorte que cette méthode ne peut être utilisée pour l'échiquier usuel de 64 cases ou pour un échiquier d'un plus grand nombre de cases, à moins de trouver un moyen rapide de reconnaître les termes à prendre dans le développement.

Le D' J.W. L. Glaisher (*) adonné, en 1874, un moyen de trouver les termes en question et, autant que nous avons pu le vérifier, la théorie du jeu en est restée au point où il l'a laissée. Il a montré que connaissant toutes les solutions pour n reines sur l'échiquier de n^ cases, on peut en déduire toutes les solutions d'un certain type pour 71 -h I reines sur l'échiquier de (n -f- i)^ cases, et que toutes les autres solutions des n -\- i reines sur l'échiquier de (il -f- ï)^ cases peuvent alors s'obtenir sans difficulté.

Sa méthode sera rendue suffisamment compréhensible en l'appliquant à un exemple.

On voit facilement que le problème ne présente aucune solution pour n = 2 et n = 3. Quand n =: 4, on trouve deux termes du déterminant donnant des solutions, à savoir : b^c.j^^^ et Cg^^^jg. Pour trouver les solutions quand n = 5, Glaisher procède comme il suit. Dans ce cas le déterminant de Gûnther est

«i ^2 <^S ^4 ^5 h «3 K ^5 ^6 TS P4 «5 ^6 ^7

K Ï3 Pe «7 ^8

Pour obtenir les solutions (si elles existent) qui comprennent l'é-

(i) Philosophical Magazine, Londres, décembre, 1874, 4® série, série XL VIII, pp. 457-467.

QUESTIONS DIVERSES

lément a^, il suffit d'écrire «g à la suite de celles des solutions relatives à l'échiquier de 16 cases où ne figure pas la lettre a. Comme c'est le cas pour les deux solutions que nous venons de donner, nous déterminons ainsi deux solutions, à savoir ^a^sTsPe^g ^^ ^sPa^eTs^o* Les solutions comprenant cii, e. et e^. peuvent s'obtenir immédiatement par symétrie. Les huit solutions ainsi obtenues sont toutes distinctes et nous pouvons les appeler solutions dii premier type.

Ces solutions sont les seules dans lesquelles figurent les éléments des angles du carré formé par le déterminant. Par suite les autres solutions s'obtiendront au moyen du déterminant

rf,

Ts

Ys

Ps

Si nous formons le mineur de h^ et si nous y reni|)làçohiipgr zéro chaque terme comprenant la lettre h ou l'indice 2, hods déterminons toutes les solutions où] figure h.^. Mais, dans ce cas, le mineur se réduisant immédiatement à d^a.^^,J^^, nous obtenons ainsi une solution, à savoir h.-^d^a„^ij^^. Les solutions dans lesquelles figurent p2'^4>^6»P8'^8'^6 ^^ ^4 peuvcut êtrc obtenues par symétrie.

Il est aisé de voir que parmi ces huit solutions, deux seulement sont distinctes : on pieut les appeler solutions du second type.

Enfin les dernières solutions doivent être obtenues au moyen du déterminant

Tu

Po

Si nous prenons le mineur de c^ et si nous y remplaçons par 0 chaque terme renfermant la lettre c ou l'indice 3, nous obtien-