I20 RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES

drons toutes les solutions où figure c^. Mais, dans ce cas, le mineur s'annule. Par suite aucune solution ne renferme Cg et, comme conséquence, par symétrie, aucune solution ne renferme YsjTt ou c^.

Si la méthode que nous venons d'exposer nous avait fourni quelques solutions renfermant le 3'"^ élément de la première ou de la dernière ligne ou colonne du déterminant, nous les aurions appelées solutions du 3'"nype.

En résumé le cas considéré présente lo solutions et seulement lo, à savoir : huit du premier type, deux du second type, et aucune du troisième type.

Semblablement, pour n = 6, nous obtenons : aucune solution du premier type, quatre solutions du second type, et aucune solution du troisième type ; soit en tout quatre solutions. Pour n = 7, nous obtenons seize solutions du premier type, vingt quatre solutions du second type, aucune solution du troisième type et aucune solution du quatrième type, soit en tout 4o solutions. Pour n = 8, nous avons seize solutions du premier type, cinquante six solutions du deuxième type et vingt solutions du troisième type, c'est-à-dire au total 92 solutions.

Il y a lieu de remarquer que toutes les solutions d'un type ne sont pas toujours distinctes. En général d'une solution quelconque, sept autres peuvent se déduire immédiatement.

De ces huit solutions quatre sont constituées par la solution initiale ou fondamentale et par les trois semblables obtenues en faisant tourner l'échiquier d'un, de deux ou de trois angles droits ; les quatre autres sont les images des quatre premières réfléchies dans un miroir. Mais dans certains cas particuliers il peut arriver que la réflexion reproduise la figure originale, ou qu'une rotation de un ou de deux angles droits conduise à des résultats ne présentant aucune différence. Ainsi, surles échiquiers de 4^. 5^, 6-, 7^, 8-, 9^ et 10^ cases, il y a respectivement i, 2, i, 6, 12, 46, 92 solutions fondamentales ; tandis que le nombre total de solutions est respectivement pour chacun d'eux 2, 10, 4, 4o, 92, 352 et 724.

La collection suivante de solutions fondamentales intéressera cer-

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tainement le lecteur. Les positions des reines sur l'échiquier sont indiquées par des chiffres : le premier chiffre représente le rang de la case occupée par la reine dans la première colonne en comptant à partir d'une des extrémités de la colonne, le second chiffre indique le rang de la case dans la seconde colonne, et ainsi de suite. Ainsi, sur un casier de 4^ cases, la solution représentée par 3 1^2, signifie qu'une reine est sur la troisième case de la première colonne, une autre sur la première case de la seconde colonne, une troisième sur la quatrième case de la troisième colonne, et enfin, la quatrième reine sur la seconde case de la quatrième colonne. Si une solution fondamentale ne donne naissance qu'à quatre solutions, le nombre qui la représente est placé entre deux parenthèses, si elle fournit seulement deux solutions, le nombre qui la symbolise est placé entre deux crochets ; les autres solutions fondamentales donnent naissance chacune à huit solutions.

Sur un échiquier de 4^ cases on trouve i solution fondamentale [3i42];

Sur un échiquier de 5- cases on trouve 2 solutions fondamentales, i4253, [253x4] ;

Sur un échiquier de 6^ cases on trouve i solution fondamentale (246 i35j;

Sur un échiquier de 7^ cases on trouve 7 solutions fondamentales 1357246. 3572461, (5724613), 4613572, 3162574, (2574x36).

L'échiquier de 8* cases donne 12 solutions fondamentales, 25713864, 57x38 642, 7x386 425, 824x7536, 6824x753, 36824175, 647x3528, 368x4752, 368x5724, 72 4i8536, 26 83x475, (64718253).

L'arrangement suivant cet ordre est du à M. Oram.

Il faut remarquer que les solutions xo, xx et X2 sont respectivement à peu près semblables aux solutions 4, 6 et 7. La 6'"" solution est la seule pour laquelle trois reines ne se trouvent pas en ligne droite.

L'échiquier de 9^ cases fournit 46 solutions fondamentales dont l'une d'elles est représentée par le nombre 248 Sç)6 ib']. Sur l'échi-

quier de lo'^ cases on trouve 92 solutions fondamentales ; elles ont été données par le D"" A. Pein (*) ; l'une d'elles s'exprime par le nombre 2 1\(j8 t i3 679, dans lequel t représente 10. Sur l'échiquier de 11^ cases, les solutions fondamentales sont au nombre de 34i ; elles ont été données par le D'' T. B. Sprague (^) : l'une d'elles est 16926 t 37 e 48.

Nous pouvons ajouter que pour un échiquier de n^ cascs^ il existe toujours une solution symétrique delà forme 246... ai i35... [n — i), quand n =:: Q m, ou n z= 6 m ~h 4.

M. Oram a montré également que sur l'échiquier de n^ cases, et

Fig. 5o

quand n représente un nombre premier, on obtient des solutions par des arrangements cycliques des n nombres naturels, autres que

(') Aufstellung von n kÔnigmnen auf einem Schachbrett von n^ Feldcrn, Leipzig, 1889.

(^) Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, vol. XVII, 1898-9, pp. 43-68.

QUESTIONS DIVERSES 123

celui donné par l'ordre naturel ; on peut voir, par exemple la solution citée ci-dessus.

On trouve chez les marchands de jouets un jeu identique sous la forme d'un petit carré en bois comprenant trente six cases et portant les divisions et les traits représentés sur la figure 5o. A chaque point de rencontre des lignes horizontales et verticales, la planchette est percée d'un trou et il s'agit d'y placer six petites chevilles de façon que deux quelconques d'entre elles ne soient pas sur la même ligne.

Autres problèmes avec des reines. — Le capitaine ïurton a signalé à notre attention deux autres problèmes présentant beaucoup d'analogie avec le précédent ; aucun d^eux, croyons-nous, n'est encore connu et n'a été résolu autrement que d'une façon empirique.

Dans le premier il s'agit de placer huit reines sur un échiquier de manière à commander le plus petit nombre possible de cases. Ainsi, en plaçant les reines sur les cases i et 2 de la seconde colonne, sur la case 2 de la sixième colonne, sur les cases i, 3, 7 de la septième colonne et sur les cases 2 et 7 de la huitième colonne, nous aurons sur l'échiquier onze cases qui ne seront pas en échec ; on peut déterminer d'autres arrangements nous donnant ce môme nombre.

Est-il possible de disposer les reines cle façon à avoir plus de onze cases qui ne soient pas en échec ? jusqu'à présent nous n'avons réussi, ni à faire mieux, ni à montrer que cela n'était pas possible.

Dans le second problème, il s'agit de disposer sur un échiquier m reines (m étant plus petit que 5) de façon à commander le plus grand nombre possible de cases. Par exemple, quatre reines peuvent être placées de plusieurs manières sur un échiquier pour commander cinquante-huit cases indépendamment de celles qu'elles occupent, en laissant par conséquent seulement deux cases qui ne soient pas en échec. Ce résultat peut s'obtenir en particulier en plaçant les reines sur la cinquième case de la troisième colonne, sur