CHAPITRE YIII

Etant donné un carre divisé en un certain nombre de petits carrés égaux, on appelle carré magique une suite de nombres entiers inscrits dans toutes les cases et disposés de telle sorte que la somme de tous les nombres compris dans chaque ligne horizontale, dans chaque colonne verticale, et dans chaque diagonale, soit constante.

Le carré constitué avec la suite naturelle des nombres entiers de I à n^ est appelé carré du ii^" ordre et l'on voit aisément que, dans ce cas, la somme des nombres dans chaque rangée, colonne ou diagonale, est égale à - n{n^ + i)-

Nous représenterons cette expression par N.

Nous limiterons notre exposé à la description des carrés magiques formés par la suite naturelle des nombres entiers en partant de i.

Ainsi, les seize premiers nombres, disposés suivant l'une ou

JL-

Fig. 54

Fig. 55

l'autre les deux figures 54, 55, nous donnent le carré magique du quatrième ordre dans lequel la somme des nombres de chaque colonne ou diagonale est égale à 34.

l56 RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES

De même, les figures 56 et 58 de la page 169, la figure 61 de la page i63, les figures 66 et 67 de la page 176 nous oflrent des exemples de carrés magiques du cinquième ordre. La figure 65 de la page 172 est un carré magique du sixième ordre. Les figures 77 et 78 des pages i85 et 187 sont des carrés magiques du 8'"' ordre.

La formation des carrés magiques est un vieil amusement, et à une époque où l'on attribuait à certains nombres particuliers des propriétés cabalistiques, il était assez naturel de supposer de tels arrangements doués de vertus magiques.

Des carrés magiques d'ordre impair furent construits dans les Indes avant l'ère chrétienne suivant une loi de formation qui sera expliquée un peu plus loin. Leur introduction en Europe semblerait due à Moschopoulos qui vivait à Gonstantinople au commencement du xv** siècle, et qui fit connaître deux méthodes pour construire de tels carrés. Là majorité des astrologues et des physiciens du moyen âge étaient intimement convaincus de l'importance de ces arrangements. Le fameux Cornélius Agrippa (i 486-1 535) en particulier, construisit des carrés magiques des ordres 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 qui représentaient symboliquement les sept « planètes » des astrologues de l'époque : Saturne, Jupiter, Mars, le Soleil, Vénus, Mercure et la Lune. Pour lui, le carré ne comprenant qu'une case dans laquelle le nombre i était inscrit symbolisait l'unité et l'éternité de Dieu, et de ce que le carré du second ordre, c'est-à-dire de quatre cases, ne pouvait être construit, il en concluait l'imperfection des quatre éléments, l'air, la terre, le feu et feau ; des écrivains plus récents ont ajouté qu'un tel carré symbolisait le péché originel. Un carré magique gravé sur une tablette d'argent était quelquefois recommandé comme un charme contre la peste. Le carré magique représenté par la figure 54 un peu plus haut, figure sur une gravure sur bois intitulée « Mélancolie » faite vers l'an i5oo par le célèbre peintre de Nuremberg, Albert Dûser. Dans certaines régions de l'Orient on porte encore des amulettes de cette forme.

La théorie des carrés magiques a été principalement étudiée et

développée par les mathématiciens français. Bacliet a donné pour construire un carré magique quelconque, d'ordre impair, une règle qui est, en substance, l'une de celles présentées par Moschopoulos. La formation des carrés magiques, principalement de ceux d'ordre pair, a été traitée par Frénicle et par Fermât, Cette étude fut reprise et continuée par Poignard, De la Hire, Sauveur, D'Onsen-bray, et Des Ourmes. Dans son ouvrage, Ozanam a introduit im essai sur les carrés magiques qui a été complété par Montucla. Les renseignements contenus dans ce chapitre sont, en grande partie, empruntés aux travaux de Montucla et De la Hire. Comme la plupart des problèmes d'algèbre, la construction des carrés magiques occupa Euler, mais il n'apporta aucun perfectionnement à la théorie générale. En 1887, un ouvrage très étudié et très complet fut publié par B. Violle ; il est utile à consulter à cause du grand nombre d'exemples qu'on y trouve. Nous résumons dans une note toutes nos références (*).

Nous nous bornons dans ce qui suit à établir les règles de cons-

(•) Baciiet. — Problèmes plaisans^ Lyon, 1624, problème XXI, p, 161. — Frénicle : Divers ouvrages de Mathématiques par Messieurs de V Académie des Sciences, Paris, 1698, pp. 423-483; avec un appendice (pp. /\8/[-^ioj), contenant les figures de tous les carrés magiques possibles du quatrième ordre, au nombre de 880. — Fermât : Opéra Mathematica, Toulouse, 1679, pp. 173-178; ou Précis de Br\ssinne, Paris, i853, pp. i46-i49- — Poignard : Traité des Quarrés sublimes, Bruxelles, 1704. — De la Hire : Mémoires de V Académie des Sciences pour 1706, Paris, 1706, part, I, pp. 127-171 ; part. Il, pp. 364-382. — Sauveur : Construction des Quarrés marjiques, Paris, 1710. — D'Ons-en-Bray : Mémoire de V Académie des Sciences pour 1760, Paris, 1764. PP- 241-271. - Des Ourmes : Mémoires de mathématique et de physique (Académie française), Paris, 1768, vol. IV, pp. 196-241. — Ozanam et Monïluca : Récréations, part. I chap. xii. — Euler : Commentationes Arilhmeticœ Collectœ, Saint-Pétersbourg, 1849» vol. II, pp. 593-602. — Violle : Traité complet des Quarrés magiques, trois volumes, Paris, 1837-8. Un aperçu historique du sujet est donne dans le chapitre iv de l'ouvrage de Gunther : Geschichte der mathematischen Wissenschaftcn, Leipzig, 1876. Voir aussi Ahrens, Mathematisclie Unterlialtungen und Spiele, Leipzig, 1901, chap. xii.

l58 RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES

truclion des carrés magiques ne remplissant que les seules conrlilions définies plus haut ; ces règles sont extraites des ouvrages déjà mentionnés où nous avons d'ailleurs puisé les éléments de cette petite étude. On trouvera des généralisations de certaines questions avec tous les développements utiles dans les mémoires rappelés dans la note (^).

Nous débutons par la construction des carrés magiques d'ordre impair et nous terminons en donnant des règles pour la construction des carrés d'ordre pair.

Pour nous guider et pour la facilité de notre exposition nous ferons usage des expressions suivantes : nous appellerons cases les petis carrés dans lesquels on inscrit les nombres, la diagonale allant de la case supérieure de gauche à la case inférieure de droite est désignée sous le nom de diagonale principale ou de diagonale de gauche, et la diagonale allant de la case supérieure de droite à la case inférieure de gauche est dite la diagonale de droite.

Carrés magiques d'ordre impair. — Nous allons donner trois méthodes pour construire les carrés magirpies impairs^ mais pour simplifier notre exposition et fixer les idées nous considérerons le cas des carrés du cinquième ordre en faisant remarquer qu'elles s'appliquent également à tout carré d'ordre impair.

(*) En Angleterre le sujet a été étudié par : R. Moon, Cambridge Mathe^ mallcal Journal, j845, vol. IV, pp. 209-214 : H. Holditch. — Quarterly Journal of Mathematics, Londres, 1864, vol. VI, pp. 181-189. — W. H. Thompson : Ibid., 1870, vol. X, pp. 186-202. — J. Horner : Ibid., 1871, vol. XI, pp. 67-65, i23-i32, 213-224. — S. M. Dra.ch : Messenger of Mathematics Cambridge, 1873, vol. II, pp. 169-174, 187. — A. H. Frost. — Quarterly Journal of Mathematics, Londres, 1878, vol. XV, pp. 34-49> 93-123, 366-368, on y trouve les résultats donnés dans plusieurs mémoires antérieurs.

Nous n'avons pas une bibliographie complète de tous les mémoires ou ouvrages sur le sujet publiés récemment sur le continent et plutôt que de faire des omissions fâcheuses nous préférons ne pas en tenter la nomenclature.

Méthode de De la Loubère (*). — En examinant la figure 56 ci-après, le lecteur se rendra facilement compte de la méthode suivie pour construire le carré magique de vingt-cinq cases.

On place le chiffre i dans la case du milieu de la rangée supérieure, puis on écrit les nombres successifs de un à vingt-cinq dans leur ordre naturel en s'élevant diagonalement vers la droite et en ayant soin d'observer les règles suivantes :

1° Lorsqu'on arrive à la première rangée horizontale, le nombre à inscrire est placé dans la dernière rangée horizontale et comme si cette rangée était transportée à la partie supérieure du carré ;

a" Lorsqu'on atteint la dernière colonne de droite, le nombre suivant à inscrire est placé dans la première colonne de gauche, comme si cette colonne suivait immédiatement la dernière à droite ;

3° Enfin lorsqu'on tombe sur une case déjà occupée ou sur la dernière case supérieure de droite on se reporte à la case immédiatement au-dessous de celle qui contient le dernier chiffre inscrit et l'on continue à monter diagonalement vers la droite. L'examen attentif de la figure 56 rendra cette règle très claire et très précise.

Itî

Fig. 56 Fig. 57

Méthode de De La Loubère

Fig. 58 Méthode de Bachet

La façon la plus simple d'expliquer pourquoi le carré ainsi formé est magique consiste à écrire les divers nombres dans le système de

(*) De la Loubère. — Du royaume de Siam (traduction anglaise), Londres 1693, vol. II, pp. 227-247. — De la. Loubèue avait été envoyé par Louis XIV, en 1687-8 auprès du roi de Siam. A son retour en France il fit connaître cette méthode qu'il avait eu l'occasion de voir pratiquer.

l6o RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES

numération a base 5 (ou à base n, dans le cas d'un carré d'ordre n) avec cette restriction que 5 pourra figurer comme chiffre des unités simples, tandis que o ne pourra pas être écrit au rang des unités simples. — La figure 67 nous donne les résultats ainsi obtenus.

L'examen de cette figure nous montre que, d'après le mode de construction employé, on est certain que dans chaque rangée et dans chaque colonne, l'un des cinq chiffres i, 2, 3, Af 5 (dontla somme est i5) entre, comme unités simples, une fois et une seule fois, et que de plus, on y trouve une fois et une seule fois, comme représentant les unités du second ordre, l'un des cinq multiples de la base o, 5, 10, i5, 20 (dont la somme est égale à 5o-, 11 résulte donc de là qu'en ne considérant que les rangées horizontales et les colonnes verticales, le carré est magique. D'ailleurs, si le carré est d'ordre impair, chaque diagonale contient une fois et une seule fois l'un des cinq chiffres i, 2,3, 4, 5 ; la diagonale principale contient aussi une fois et une seule fois o, 5, 10, i5 ou 20 unités du second ordre, et si, comme dans le cas actuel, le nombre 10 est le multiple de la base à ajouter aux chiffres des unités dans la diagonale de droite, le nombre total des unités du second ordre dans cette diagonale est encore 5o. Par conséquent, les deux diagonales possèdent les mêmes propriétés que les rangées et les colonnes.

D'une façon générale, quand un carré magique d'ordre impair n est construit d'après la méthode de De la Loubère, chaque rangée et chaque colonne contiennent une fois, mais une fois seulement, chacun des chiffres des unités 1,2, 3,..,, /i , ainsi qu'une fois et qu'une fois seulement chacun des chiffres représentant les unités du second ordre 0, n, 2 n,..., n [n — 1).

Dès lors, le carré est magique en ne considérant que les rangées et les colonnes.

De plus, les diagonales contiennent un seul seulement des chiffres

des unités ou n chiffres des unités égaux chacun à - (n + i) ; elles contiennent également un seul seulement des chiffres des unités du second ordre ou n de ces chiffres égaux chacun à - n (ai — i). Par

DES CARRÉS MAGIQUES l6l

suite, les diagonales possèdent la propriété fondamentale des carrés magiques et le carré construit est magique.

Il faut remarquer qu'en plaçant le chiffre i dans une autre case quelconque, et en construisant le carré d'après la règle de De la Loubère, on obtient toujours un carré magique par les rangées et les colonnes, mais qui, d'une façon générale, n'est pas magique par les diagonales.

Il est d'ailleurs évident qu'on peut déduire d'autres carrés magiques de celui de la Loubère en permutant les nombres d'une façon convenable. Par exemple, dans la figure 5 plus haut, nous pouvons faire permuter les symboles i, 2, 3, 4, 5 de i. 2. 3. 4* 5 = 120 manières différentes et les symboles o, 5, i5, 20 de i. 2. 3. 4 = 24 manières. Une quelconque des cent-vingt premières permutations combinée avec l'une des vingt-quatre dernières donnera un carré magique. Nous pouvons former ainsi 2880 carrés magiques du cinquième ordre, mais 720 seulement d'entre eux sont réellement distincts.

On peut cependant en déduire d'autre carrés magiques, car il y a lieu de faire observer qu'avec un carré magique quelconque, d'ordre impair ou pair, on peut former un autre carré magique en interchangeant simplement la rangée et la colonne qui se coupent sur une certaine case d'une diagonale avec la rangée et la colonne qui se coupent sur la case complémentaire de la même diagonale.

Méthode de Bachet /). — Cette seconde méthode pour construire les carrés d'ordre impair est à peu près semblable à celle de De la Loubère.

On commence par placer l'unité dans la case immédiatement audessus de la case centrale (c'est-à-dire, en considérant le cas d'un carré du cinquième ordre, dans la case où est le chiffre 7 dans la figure 56 donnée plus haut), puis on écrit les nombres dans leur

(•) Bachet. — Problème XXI, p. 161.

Récréations mathématiques, II. H

l62 RÉCRÊATiONS MAl'nÉMA.tllQtJES

ordre naturel en suivant une ligne se dirigeant diagonalement en montant vers la droite et en s'imposant les conditions suivantes :

1° Lorsque les cas i° et 2° mentionnes dans la méthode de De la Loubère se présentent, les règles à suivre sont les mêmes ;

2° Lorsque le troisième cas se présente, on interrompt la marche et on la reprend en s'clevant verticalement de deux rangs, c'est-àdire que le nombre à écrire est placé dans la case située verticalement au deuxième rang au-dessus de celle contenant le dernier nombre inscrit. Si cette case tombe au-dessus de la première rangée horizontale, on se reporte à la case correspondante dans l'une des deux dernières rangées en appliquant la règle i de De la Loubère d'une façon analogue à ce qui a été expliqué précédemment. La figure 58 ci-dessus, page 169, représente un carré magique ainsi construit.

Par cette méthode on obtient encore 720 carres magiques du cinquième ordre.

Méthode de la Hire {})- — Pour former, au moyen de cette nouvelle méthode, un carré magique d'ordre impair, d'ordre n par exemple, on commence par construire deux carrés auxiliaires, l'un comprenant les chiffres des unités i, 2, 3 n et l'autre, les multiples de la base du système, c'est-à-dire o, n, 211, 3n, , [n — j)n.

Le carré magique cherché s'obtient alors en écrivant, dans chaque case, la somme des nombres inscrits dans les cases correspondantes des carrés auxiliaires.

De la Hire a donné plusieurs manières de construire les carrés auxiliaires. Nous avons choisi la méthode suivante (propositions X et XIV de son mémoire) comme nous paraissant la plus simple et nous l'appliquons à la formation du carré magique du cinquième ordre. Elle conduit, d'ailleurs, aux mêmes résultats que la seconde tègle donnée par Moschopoulos.

(') Mémoires de V Académie des Sciences pour 1706, part. I, pjp. 127-17 1.

DÈS CARRES MAGIOUES

Le premier des carrés auxiliaires (fg.^f), ci-après) se construit

ainsi

On commence par inscrire le chiffre 3 dans la case supérieure de gauche, pui^ dans un ordre quelconque, les chiffres i, 2, "i, 5, dans les quatre autres cases de la première rangée horizontale. Partant alors d'une des cases de cette ligne, on descend diagonalement vers la droite en inscrivant dans chaque case rencontrée le nombre qui se trouve dans la case d'où on est parti et en appliquant, au besoin, la règle 2° de De la Loubère (voir la figure 59). L'ensemble des cases occupées par un même chiffre forme ce qu'on appelle une diagonale brisée. Il résulte de ce qui précède que dans chaque rangée et dans chaque colonne, les chiffres i, 2, 3, 4, 5 se trouvent une fois et une seule fois ; par conséquent, la somme des nombres contenus dans chaque rangée et dans chaque colonne est égale à i5. D'ailleurs, puisque le chiffre 3 (qui est le chiffre moyen de la suite) a été placé dans la case supérieure de gauche, la somme des chiffres inscrits dans la diagonale principale est encore égale à 3 X 5 ou à i5. Enfin, ceci est encore vrai pour la diagonale de droite qui ne contient qu'une fois chacun des chiffres i, 2, 3, 4 et 5.

Le second carré auxiliaire {fig. 60) est construit de la même manière avec les nombres o, 5, 10, i5 et 20, en plaçant le terme moyen, 10, dans la case supérieure de droite ; les diagonales brisées

er carré auxiliaire

Fig. 61 carré magique résultant

^® carré auxiliaire

constituées par le même nombre vont alors en descendant vers la gauche. Il résulte de cette construction que dans chaque rangée et dans chaque colonne, chacun des nombres o, 5, 10, i5 et iio ne

l64 RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES

figure qu'une seule fois et que, par conséquent, la somme de tous les nombres dans chaque ligne horizontale ou verticale est égale à 5o. On se rend facilement compte qu'il en est de même pour les deux diagonales.

Ajoutons maintenant les nombres inscrits dans les cases correspondantes de chaque carré, nous obtenons 25 nombres tels que la somme de tous ceux donnés par les rangées, par les colonnes et par les diagonales est constante et égale à 5o -f- 1 5 ou 65 ; ces nombres forment le carré représenté par la figure 6i.

D'ailleurs, deux cases quelconques dans cette figure ne peuvent contenir le même nombre. Par exemple, les nombres de 21 à 25 ne peuvent figurer que dans les cases correspondant aux cinq qui, dans la figure 60, sont occupées par le nombre 20 ; mais les cases correspondantes, dans le premier carré auxiliaire, contiennent respectivement les chiffres i, 2, 3, 4 ou 5, et, par suite, dans la figure 8 chacun des nombres de 21 à 25 figure bien une fois, mais une seule fois.

En permutant les nombres i, 2, 4,5 dans la figure Sq nous obtenons I. 2. 3. 4 = 24 permutations, dont chacun nous donne, avec le second carré auxiliaire, un nouveau carré magique. De même, en permutant les nombres o, 5, 1 5 et 20 dans le second carré auxiliaire, nous obtenons 24 autres carrés dont chacun peut être pris avec chacun des 24 permutations déduites du premier carré auxiliaire. Nous pouvons donc former ainsi 576 carrés magiques du cinquième ordre.

On connaît une autre méthode pour construire les carrés magiques d'ordre impair, elle est due à Poignard et on en trouve des exemples dans le mémoire de De la Hire déjà cité. Nous ne la décrirons pas, quoiqu'elle soit plus simple, tout au moins pour certaines valeurs de /i, que celles que nous avons données plus haut, parce qu'elle dépend de la forme de n, et, en particulier, du nombre de ses facteurs premiers. Dans le cas d'un carré magique du cinquième ordre, elle fournit un bien plus grand nombre de carrés que les méthodes de De la Loubère, de Bachot et de De la Hire. On

DES CARRÉS MAGIQUES l65

a également démontré que les carrés magiques, dont l'ordre est un nombre premier, peuvent être construits par une méthode semblable à celle de De la Loubère, avec cette modification que le chiffre i est placé dans la case occupant l'angle inférieur de gauche, et que les nombres suivants sont écrits, d'après leur ordre naturel, dans les cases déterminées par la marche d'un cavalier sur le damier et non par celle d'un fou.

La figure 67 delà page 176, représente un carré de cette nature du cinquième ordre. Il y a 2880 carrés magiques du cinquième ordre de cette espèce. De la Hire a montré qu'on pouvait construire, en employant ses méthodes et au moyen de quelques inversions, 57.600 carrés magiques du cinquième ordre, et en tenant compte des résultats fournis par les autres méthodes, il en résulterait que le nombre total des carrés magiques du cinquième ordre est considérable et surpasse peut être 5oo.ooo.

Carrés magiques d'ordre pair. — Les règles précédentes ne s'appliquant pas aux carrés magiques d'un ordre exprimé par un chiffre pair, nous allons exposer deux méthodes pour construire les carrés magiques de cette espèce d'un ordre supérieur à deux.

Pour faciliter notre exposition nous donnerons au préalable quelques définitions : On appelle lignes complémentaires deux lignes équidistantes des rangées supérieure et inférieure du carré, et colonnes complémentaires deux colonnes également équidistantes des colonnes extrêmes de droite et de gauche du carré. Deux cases de la môme ligne, mais dans des colonnes complémentaires sont dites associées horizontalement ; deux cases de la même colonne mais dans les lignes complémentaires sont dites associées verticalement^ et enfin deux cases à la fois dans deux lignes et deux colonnes complémentaires sont associées transversalement. Ainsi, la case 6 étant associée horizontalement avec la case a, et la case d associée verticalement avec a, les deux cases b ei d sont associées transversalement ; dans ce cas, la case c associée verticalement avec 6, sera associée horizontalement avec d, et les deux cases a et c, seront également associées transver-

l6G RÉGflÉATIONS MATHÉMATIQUES

salement : les quatre cases a, b, c, d, constituent un groupe de cases associées cl, si le carré est divisé en quatre parties égales, chaque partie contiendra une case d'un groupe associé quelconque.

Faire une inversion horizontale consiste à permuter les nombres inscrits dans deux cases associées horizontalement, et faire une inversion verticale revient à permuter les nombres inscrits dans deux cases associées verticalement. Une inversion transversale est le résultat de la permutation de deux nombres inscrits dans deux cases associées transversalement. Inverser en croix c'est permuter des nombres inscrits dans une case quelconque et dans la case associée horizontalement avec les deux nombres inscrits dans les deux cases associées transversalement aux premières ; une pareille opération est équivalente à deux inversions verticales et à deux inversions horizontales.

Première méthode (*). — Cette méthode est la plus simple de toutes celles que nous avons vu pratiquer et a été publiée, pensonsnous, (tout au moins en ce qui concerne les carrés simplement pairs), pour la première fois en iSqS.

On commence par inscrire dans les cases du carré les nombres, I, 2, 3,..., n^ dans leur ordre naturel, en commençant, par exemple, par la case formant l'angle supérieur de gauche et en suivant chaque ligne l'une après l'autre, de gauche à droite. Nous allons d'abord montrer qu'en effectuant un certain nombre d'inversions horizontales et verticales, nous transformons le carré en un carré magique, puis nous en déduirons une règle permettant d'assigner à l'avance les cases dont les nombres doivent être inversés.

Faisons remarquer en premier lieu que la somme des

nombres dans chaque diagonale est égale à N = - n (n^ + i) î par suite, ces diagonales sont déjà magiques et demeurent telles à moins que les nombres qui s'y trouvent ne soient altérés,

(*) Voir un article dans le Messenger of Malhemaiics, Cambridge, septenabre 1898, vol. XXIII, pp. 65-6().

Considérons mainlenant les lignes du carré. La somme des nombres inscrits dans la x""^ ligne à partir de la ligne supérieure

est égale à N n"^ {n — 2x -h i).

La somme des nombres compris dans la ligne complémentaire, c'est-à-dire dans la œ™^ ligne à partir de la ligne inférieure, est égale à

Le nombre inscrit dans une case quelconque de la x™' ligne est plus petit que le nombre inscrit dans la case associée verticalement et la différence est égale à n (n — 2x -h i). Par suite, si nous faisons entre ces deux lignes - n inversions de nombres inscrits dans des cases associées verticalement, nous augmentons la somme des nombres de la x^^ ligne de la quantité ~ n X n (n — 2x -\- i), et

nous diminuons de la môme quantité la somme des nombres compris dans la ligne complémentaire ; ces deux lignes sont donc rendues magiques. Il résulte de là que si, dans chaque groupe d'une

ligne et de sa complémentaire nous faisons - inversions de nombres

inscrits dans des cases associées verticalement, nous formons un carré magique quant aux lignes ; mais pour que les diagonales restent magiques, nous devons, ou ne pas toucher au nombres qui se trouvent inscrits dans les cases communes à chaque ligne et aux deux diagonales, ou échanger ces nombres avec ceux des cases associées verticalement avec les premières.

Nous sommes actuellement en possession d'un carré magique suivant ses lignes et ses diagonales, et il s'agit de le rendre magique suivant ses colonnes. Considérons de nouveau le premier arrangement des nornbres sni^ant leur ordre naturel, il nous aurait été possible de rendre le carré magique suivant ses colonnes en appliquant la méthode qui vient d'être expliquée pour les lignes.

l68 RÉCIRÉ A.TIONS MATHÉMA.TIQUES

La somme des nombres conlcnus à l'origine dans la j"" colonne

à partir de la gauche est égale à N n{n — 2j + ï) et la somme

des nombres inscrits dans la colonne complémentaire, c'est-à-dire

dans la j'"^ colonne à partir de la droite, est N H — n(n — 2j4- i) ;

mais tout nombre de la j""" colonne est plus petit que le nombre avec lequel il est associé horizontalement dans la colonne complémentaire et la différence est n — 2j -|- i, de sorte que si l'on fait

entre ces deux colonnes - inversions de nombres situés dans des

cases associées horizontalement, la somme des nombres dans ces deux colonnes est rendue égale à N, c'est-à-dire que ces deux colonnes deviennent magiques.

En opérant ainsi sur chaque groupe d'une colonne et de sa complémentaire, on rend le carré magique quant aux colonnes ; mais comme plus haut, pour que les diagonales demeurent magiques, nous devons, soit maintenir dans chacune d'elles les nombres inscrits dans les cases communes à chaque colonne et aux deux diagonales, soit échanger ces nombres avec ceux des cases associées horizontalement avec les premières.

Il reste maintenant à montrer que les permutations horizontales et verticales que nous avons considérées dans les deux paragraplies précédents peuvent se faire indépendamment l'une de l'autre, c'està-dire que les permutations entre les nombres des colonnes complémentaires peuvent être effectuées de façon à n'avoir aucune influence sur les nombres déjà échanges dans les lignes complémentaires. Pour cela, il faut qu'il y ait exactement dans chaque colonne,

- permutations des nombres situés dans des cases associées verticalement, et, dans chaque ligne - permutations des nombres ins-

crits dans les cases associées horizontalement. Montrons que l'on peut toujours affirmer qu'il en est ainsi lorsque n est plus grand que 2. Nous supposons encore que les nombres de i a n^ sont ins-

crils dans les cases suivant leur ordre naturel et nous partons de cette disposition initiale.

Un carré doublement pair est celui dans lequel n est de la forme lini. En divisant un tel carré en quatre carrés égaux, chacun d'eux contient 2m colonnes et 2m lignes. Considérons le premier de ces carrés et, dans chacune des 2m colonnes, prenons m cases disposées de telle sorte qu'elles soient, en même temps, m cases dans chaque ligne, puis permutons les nombres inscrits dans ces 2m^ cases avec ceux inscrits dans les 6m^ carrés associés en croix avec les premiers. Le résultat est équivalent à celui que l'on obtient en permutant 2111 nombres dans chaque ligne et dans chaque colonne, et, par suite, le carré est rendu magique.

Pour choisir les 2m- cases dans le premier carré, on peut opérer ainsi : divisons le carré entier que nous supposons représenté cidessous en 16 carrés élémentaires dont chacun contient m^ cases; nous pouvons alors choisir les cases soit dans les carrés a, soit dans les carrés b. En permutant chacun des nombres contenus dans les huit carrés a avec les nombres qui leur sont associés diagonalement, on obtient, comme résultat final, un carré magique. La figure 78 de la page 187 représente un carré magique du 8® ordre construit de cette manière.

Une autre manière de déterminer les 2m^ cases dans le premier quart du grand carré total, consiste à prendre les ^__^ m premières cases dans la première colonne, les cases 2 à m -h î dans la seconde colonne, et ainsi de truite, les cases m -h i à 2m dans la (m -h i)™' colonne, les cases m -h 2 à 2m et la première case dans la (m H- 2)'"' colonne, et ainsi de suite ; finalement la 2m"" case et les cases i à m — i dans la 2m'"' colonne.

Un carré est simplement pair, lorsque n est de la forme 2 (2m -f- i). Si un tel carré est divisé en quatre carrés égaux, chacun d'eux contient 2 m -f- I colonnes et 2 m 4- i lignes ou rangées. Considérons le premier de ces carrés partiels et dans chacune de ses colonnes

Fig. G2

lyO RECREATIONS MATHEMATIQUES

prenons m cases disposées de lelle sorte qu'elles donnent, en même temps, m cases dans chaque ligne ; on prend, par exemple, les m premières cases de la première colonne, les cases 2 h m ■+ i de la seconde colonne, et ainsi de suite..., les cases m -\- 2 h 2m -h i àe la [m -h 2)""° colonne, les cases m -4- 3 à 2m 4- i et la première case de la (m -+- S)""" colonne, et ainsi de suite ; finalement, la (2m 4- i)'"^ case, et les cases i h. m — i de la {2111 -+- i)'''^ colonne. Cela fait, on permute en croix les nombres inscrits dans ces m (2m -{- i) cases avec ceux inscrits dans les 3m (2m4-i) cases associées. Le résultat est le même que si on avait fait 2m permutations dans chaque ligne et dans chaque colonne. Pour rendre le carré

magique nous devons avoir n ou, ce qui revient au même 2m -f- i

permutations de cette sorte dans chaque ligne et dans chaque colonne, c'est-à-dire qu'il nous faut une permutation de plus dans chaque ligne et dans chaque colonne.

Ceci ne présente aucune difficulté. Par exemple, avec la disposition indiquée plus haut, les nombres inscrits dans la (2m 4- 1)'"° case de la première colonne, dans la première case de la seconde colonne, dans la seconde case de la troisième colonne, et ainsi de suite, jusqu'à la 2171""^ case de la (2m -]- i)™^ colonne peuvent être permutés avec les nombres qui figurent dans les cases associées verticalement, et cette opération a pour effet de rendre toutes les lignes magiques. Ensuite, les nombres inscrits dans la 2m"^^ case de la première colonne, dans la (2m + i)"® case de la seconde colonne, dans la première case de la troisième colonne, dans la deuxième case de la quatrième colonne, et ainsi de suite, jusqu'à la (2m — i)""* case de la (2m + i)™° colonne étant permutés avec ceux qui figurent dans les cases associées horizontalement, cette seconde opération a pour effet de rendre les colonnes magiques sans enlever cette même propriété aux lignes.

On remarquera que, dans ce qui précède, nous supposons implicitement m différent de zéro, c'est-à-dire /i ^ 2, On voit sans peine que pour m = i, et, par suite n =z 6, les nombres inscrits dans

les cases des diagonales doivent être compris parmi ceux à permuter en croix ; si n est plus grand que G, cela n'est pas nécessaire bien que pouvant être avantageux.

La construction d'un carré magique impair et celle d'un carré magique doublement pair ne présentent aucune difficulté ; mais en ce qui concerne les carrés magiques simplement pairs, bien que la construction donnée ci-dessus soit facile, elle n'en est pas moins d'une application pénible et fatigante. 11 est fâclieux qu'on n'ait pas encore trouvé une règle plus claire — par exemple du genre de celle donnée pour former les bordures d'un carré magique doublement pair — qui permettrait d'écrire immédiatement et sans tâtonnements un carré magique simplement pair quelconque.

Méthode de De la Hire (')• — La méthode suivante pour construire un carré magique quelconque d'ordre pair supérieur à 2, est due à De la Hire.

On débute comme pour les carrés magiques d'ordre impair par construire deux carrés auxiliaires ; l'un avec les chiffres des unités

1, 2, 3,,.. n, et l'autre avec les multiples de la base donnant les unités du second ordre 0, n, 2«,..., (n — i)n. On forme ensuite le carré magique demandé en additionnant les nombres inscrits dans les cases correspondantes des carrés auxiliaires. Par analogie avec la notation employée plus haut, nous appellerons nombres complémentaires deux nombres cquidistants des extrémités dans la série i ,

2, 3,..., n aussi bien que dans la série 0, n, 2/1, Sn,... (u — i) n. Pour simplifier notre exposition nous examinerons le cas d'un

carré magique du sixième ordre bien que la méthode soit générale et s'applique à un carré magique d'ordre pair quelconque, l'ordre étant supérieur à deux.

(1) La règle est due à Do la Hire (deuxième partie de son mémoire) et est donnée par Montucla dans son édition de l'ouvrage d'Ozanam. Nous avons fait usage de la modification introduite par Labosne dans son édition des Problèmes de Bachet, parce que nous évitons ainsi d'introduire un troisième carre auxiliaire. Nous ne savons pas à qui cette modification est due.

Le premier carré auxiliaire (fig. 63) se construit comme il suit : I® Dans les cases de la diagonale principale on écrit les nombres I, 2, 3, 4, 5, 6 en les disposant de manière que les nombres complémentaires soient dans des cases complémentaires (par exemple, dans l'ordre 2, 6, 3, 4. i, 5 ou dans l'ordre naturel i, 2, 3, 4, 5, 6).

Fig. 63 lor carré auxiliaire

Fig. 64 i^ carré auxiliaire

Fig. 65 carré magique résultant

2° Chacun de ces nombres est reproduit dans la case associée verticalement.

3° Dans chacune des cases libres de la première colonne verticale on inscrit soit le même nombre qui se trouve déjà écrit dans deux cases de cette colonne, soit le nombre complémentaire (par exemple, dans le cas de la figure 63, on écrit i ou 6) sans s'imposer d'ordre, mais de façon que chacun d'eux soit pris le même nombre de fois et que la condition mentionnée plus bas (voir le 3" de la page 173) soit satisfaite.

4° Les nombres complémentaires de ceux de la première colonne sont reproduits dans les cases associées horizontalement avec celles de la première colonne.

5® Les cases libres des deuxième et troisième colonnes sont remplies d'après la même règle que celle de la première colonne et dans les cases 'associées horizontalement à celles de ces deux colonnes on inscrit les nombres complémentaires.

DES CARRÉS MAGIQUES I «yS

Le carre ainsi formé est nécessairement magique suivant ses lignes, ses colonnes et ses diagonales.

Le second des carrés auxiliaires (Jig. 64) se construit d'après cette règle :

JL" Dans les cases de la diagonale de gauche on inscrit les nombres o, 6, 12, i8, 24 et 3o en les disposant de manière que deux cases complémentaires contiennent des nombres complémentaires.

2° Les cases associées horizontalement avec celles de la diagonale sont occupées par les mêmes nombres que ceux qui figurent dans la diagonale.

3° Les cases libres de la première ligne sont remplies soit avec le nombre déjà écrit deux fois dans cette ligne, soit avec son complémentaire (par exemple, dans la figure lo avec o ou 3o). L'ordre d'inscription est quelconque mais on s'impose deux conditions : 1° la ligne doit contenir trois fois chaque nombre ; 2*^ si une case de la première ligne du premier carré auxiliaire (fig. 63) et la case associée verticalement contiennent des nombres complémentaires, la case correspondante de la première ligne du second carré auxiliaire et la case associée horizontalement doivent contenir le même nombre (^).

4" Dans les cases associées verticalement avec celles de la première ligne on inscrit les nombres complémentaires de ceux qui figurent dans la première ligne.

5° Les cases libres dans la seconde et la troisième ligne sont remplies de la même manière que celles de la première ligne et dans les cases associées verticalement avec elles on inscrit les nombres complémentaires.

Le second carré construit est, comme le premier, magique suivant les lignes, les colonnes et les diagonales.

11 reste à montrer que la condition mentionnée dans le paragraphe 3° peut toujours être satisfaite.

Dans le cas d'un carré doublement pair, c'est-à-dire lorsque n est

(^) L'introduction de cette condition nous évite la nécessité de construire (ainsi que l'a fait Montucla) un troisième carre auxiliaire.

Î74 RÉCREATIOÏfS MATHÉMATIQUES

divisible par /j, nous n'avons nullement besoin d'inscrire des nombres complémentaires dans les cases associées verticalement du premier carré auxiliaire, à moins que cela nous convienne, et si nous en insérons, leur présence n'empêche pas de remplir la condition additionnelle.

Dans le cas d'un carré simplement pair, c'est-à-dire lorsque n est divisible par 3, mais non par A, il est impossible de satisfaire à la condition imposée, si une ligne horizontale quelconque du premier carré auxiliaire a toutes ses cases associées verticalement (à Texception des deux carrés de la diagonale) occupées par des nombres complémentaires. Par conséquent, il est nécessaire en construisant le premier carré auxiliaire et en appliquant la règle (3°) de s'arranger de façon que, dans chaque ligne, une case au moins, non commune avec la diagonale, ait sa case associée verticalement occupée par le même nombre qu'elle-même.

Il est toujours possible de remplir cette condition si n est plus grand que deux.

Le carré magique cherché s'obtient maintenant en inscrivant dans chaque case la somme des nombres inscrits dans les cases correspondantes des carrés auxiliaires représentés par les figures 63 et 64. Le carré ainsi construit est représenté (Jîg. 65) et est évidemment magique. Chacun des nombres de i à 36 y figure une fois et une fois seulement, car les nombres de i à 6 et de 3i à 36 ne peuvent entrer que dans la première et la dernière ligne, et, d'après les règles données pour la construction, le même nombre ne peut figurer deux fois. De même, les nombres de 7 à 12 et de 26 à 3o occupent les cases de deux autres lignes, et aucun de ces nombres ne peut figurer deux fois; et ainsi de suite. On peut former le carré représenté par la figure 54 de la page 1 55 en suivant les mêmes règles et le lecteur les appliquera sans difficulté à un carré magique d'un ordre pair quelconque.

Autres méthodes pour construire des carrés magiques.

— - Les méthodes que nous venons d'exposer nous paraissent les plus

simples de toutes celles qui ont été proposées jusqu'ici ; mais on connaît encore deux autres méthodes moins générales, dont nous allons donner un simple aperçu en passant.

Ces deux méthodes reposent sur ce principe qu'un carré magique reste magique lorsque le produit de chacun des nombres qui y figure, par une quantité constante, est augmenté d'un même nombre constant.

La première méthode s'applique seulement à des carrés pouvant être subdivisés en carrés magiques plus petits d'un ordre quelconque supérieur à deux. Elle dépend de ce fait que si l'on sait construire des carrés magiques des m""^ et /i™° ordres, on pourra construire un carré magique du {m X n)'"'' ordre. Par exemple, un carré de 81 cases peut être considéré comme composé de 9 carrés plus petits contenant chacun 9 cases, et en remplissant les cases de chacun de ces carrés éléments en suivant le même ordre relatif, puis prenant ces carrés eux-mêmes dans le même ordre, on en déduit aisément le carré total.

Ces carrés sont appelés carrés magiques composés.

La seconde méthode est due à Frénicle, elle consiste à entourer un carré magique avec une enceinte. Par exemple, dans la figure 66 de la page 176, le carré intérieur est magique, et il est entouré d'une enceinte de telle sorte que le carré tout entier est également magique. De cette manière, on déduit successivement du carré magique du troisième ordre, les carrés des cinquième, septième, neuvième, etc., ordres, c'est-à-dire un carré magique d'un ordre impair quelconque. Semblabl.ement du carré magique du quatrième ordre on peut déduire successivement un carré magique d'un ordre pair quelconque.

Si nous voulons construire par cette méthode un carré magique contenant les n^ premiers nombres en partant du carré magique de (n — 2)', nombres, le procédé le plus simple et le plus usité consiste à réserver pour les 4 (" — i) nombres de l'enceinte, les 2(n — i) premiers nombres de la suite naturelle et les 2(n — i) derniers nombres. La somme des nombres inscrits dans chaque

RECREA.TIONS MATHEMATIQUES

ligne d'un carré magique d'ordre (n — 2) est égale à - (n — 2) [(/i — 2)^ + 1], le terme moyen étant - [n — 2)^ + i]. De même,

le terme moyen dans un carré magique d'ordre n est - (n^ 4- i), la

différence entre les deux est égale à 2 {n — i). En commençant donc par construire un carré magique quelconque d'ordre (n — 2) et en ajoutant la quantité 2 (/i — i ) à chacun des nombres qui s'y trouvent inscrits, le terme moyen du nouveau carré formé est

Les nombres réservés pour l'enceinte figurent par couples n^ et J, n^ — I et 2, /i^ — 2 et 3, etc., de telle sorte que la moyenne de

chaque couple soit - (n^ + i) et on doit les disposer de façon

qu'ils occupent des cases opposées dans l'enceinte. En opérant ainsi, le carré complet est nécessairement magique si la somme des nombres dans deux côtés adjacents de la bordure extérieure n'est pas erronée. On trouve parfois plus de facilité à disposer les nombres dans l'enceinte en représentant par p le nombre /i^ H - i — /? (qui doit occuper la case opposée à celle où est p) mais nous jugeons inutile d'entrer dans de plus longs détails à ce sujet.

Fig. G6 Carré magique avec enceinte

Fig. 67 Carré diabolique

Pour compléter ces notions générales, montrons comment on a formé le carré magique de la figure 66 ci-dessus. On a construit

tout d'abord, par la méthode de De la Loubère, un carré magique du troisième ordre et en ajoutant huit à chacun des nombres qui y figurent, on a formé le carré intérieur de la figure 66. Les nombres non employés sont 26 et i, 24 et 2, 28 et 3, 22 et 4. 21 et 5, 20 et 6, 19 et 7, 18 et 8. La somme de chaque couple est 26, et il est évident que ces nombres doivent être disposés par couple dans les cases extrêmes de chaque ligne.

Avec un peu de patience, un carré magique d'ordre quelconque peut être construit en appliquant cette méthode et il conserve sa propriété d'être magique lorsqu'on enlève successivement chaque enceinte. Violle dans son ouvrage donne quelques exemples de carrés magiques ainsi formés. Cette dernière méthode est celle généralement adoptée par les mathématiciens qui se sont créés euxmêmes ou par les savants de rencontre, et dont plusieurs paraissent croire que la construction empirique des carrés magiques doit être regardée comme une découverte scientifique.

Polygones magiques- — Nous n'avons considéré jusqu'ici que des nombres disposés sous la forme de carrés et remplissant certaines conditions, mais la même récréation peut se faire en répar tissant les nombres de manière à former d'autres figures géométriques, par exemple ; des rectangles, des triangles, des pentagones, etc.

Sans entrer dans des détails au sujet de la construction de ces sortes de figures, nous nous bornerons à en donner quelques exemples empruntés à l'étude du professeur Schefiler.

(i). Les nombres de i à 82 peuvent être disposés sous forme de rectangle comptant ^'S- ^^

8 cases dans le sens de la longueur et 4 cases dans le sens de la largeur, de telle sorte que la somme des nombres inscrits dans clia- Récréations Mathématique;, II. lâ

que ligne horizontale soit égale à i32 et que celle des nombres dans chaque colonne verticale soit égale à 66.

(2). Les nombres de i à 27 peuvent également être disposés aux sommets et sur les côtés de trois triangles équilatéraux ayant un centre commun, de telle sorte que les côtés du triangle exléiicur contiennent chacun six nombres dont la somme est égale à 96, et que les côtés du triangle médian en contiennent chacun 4 donnant la somme constante 61.

La figure ci-après reproduit cette disposition.

20 9 II

ib 17

Fig. 69

(3). Les nombres de i à 80 peuvent être disposés autour d'un point central aux sommets et sur les côtés de 4 pentagones de telle sorte que : 1° chaque côté du pentagone central contienne 2 nombres ; — 2" chaque côté du pentagone à la suite contienne 4 nombres donnant la somme constante 1 22 ; — S'^ chaque côté du 3^ pentagone contienne 6 nombres dont la somme est égale à 248 ; et enfin, 4° chaque côté du 4" pentagone (le polygone extérieur) contiennes nombres dont la somme est égale à 264.

De plus la somme des 4 nombres en ligne droite, inscrits aux sommets des pentagones est également constante et égale à 92. (4). Les nombres de i à 78 peuvent être disposés comme le re-

35 zi

29 eâ

M 7 Fig.

47 sa

présente la figure 70 autour du nombre 87 pris comme point central aux sommets et sur les côtés de trois hexagones de manière à satisfaire aux conditions suivantes :

Les côtés de ces hexagones contiennent respectivement chacun 3, 5 et 7 nombres.

Chaque hexagone fournit la même somme non seulement quand on additionne les nombres inscrits sur chacun des six côtés, mais encore quand on ajoute les nombres inscrits aux sommets suivant les six diamètres, ou les nombres en ligne droite inscrits aux milieux de chaque côté.

Cette somme constante est égale à 1 1 1 pour le premier hexagone, à i85 pour le second et à 285 pour le troisième, pour les six diagonales et les pieds des six apothèmes.

l80 RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES

66 5o 34 35 54 II

lo 3o 27 i3

Fig. 71

Cubes magiques. — Divers amateurs et, en particulier, Kocliansky (1686), Sauveur (1710), Hugel (iSSg) et Scheffler (1882) ont étendu l'idée des figures magiques à deux dimensions, à l'espace à trois dimensions.

Imaginons un cube divisé en r? petits cubes élémentaires par trois séries de (n — i) plans équidistants et parallèles respectivement aux trois faces d'un même trièdre.

Le problème consiste à inscrire la suite naturelle des nombres de I à n^ dans les cases cubiques ainsi formées de telle sorte que la somme des n nombres inscrits dans chaque rangée horizontale de droite à gauche ou d'avant en arrière, dans chaque rangée verticale, dans chaque diagonale des tranches carrées élémentaires horizontales et verticales et enfin suivant chacune des quatre diagonales du cube considéré, soit constante.

Un pareil arrangement n'est pas possible avec un cube décomposé en 3 X 3 X 3 = 27 cases élémentaires.

Avec un cube de 4 X /j X 4 = 64 cases élémentaires on peut former uije figure telle que chaque rangée parallèle à l'une des arêtes du cube, ou suivant les diagonales, donne i3o pour la somme des quatre nombres qui s'y trouvent inscrits.

Si, partant de la tranche supérieure, les nombres inscrits aux centres des seize petits cubes de chacune des quatre tranches horizontales sont supposés projetés sur les bases supérieures des seize cases qui constituent chacune de ces tranches, on a les quatre carrés magiques du quatrième ordre ci-après.

lO

Tranche inférieure

Tranche supérieure 2^ tranche 3° tranche

à partir de la base supérieure du cube Fig. 72

La somme constante i3o s'obtient de 62 manières différentes : 16 X 2 = 32 fois par les rangées parallèles aux arêtes horizontales ; 1 6 fois par les rangées parallèles aux arêtes verticales ; et 4 fois par les 4 rangées de 4 cubes constituant les diagonales du cube, à savoir :

Avec un cube décomposé en 5 X 5 X 5 = 126 cases cubiques élémentaires on peut disposer les 126 premiers nombres de façon à obtenir 109 fois la somme constante 3i5.

75 fois par les rangées parallèles aux trois arêtes ;

10 fois par les cases disposées suivant les 5 X 2=10 diagonales des 5 tranches horizontales ;

10 X 2 = 20 fois par les 20 diagonales des 5 X 2 = 10 tranches verticales ;

et enfin 4 fois par les cases disposées suivant les diagonales du cube.

De même que nous avons montré la possibilité de former des carrés magiques d'ordre impair avec deux carrés magiques auxiliaires, de même les cubes magiques d'ordre impair peuvent être construits au moyen de trois cubes auxiliaires.

C'est de cette manière que le cube magique du cinquième ordre a été formé en inscrivant dans la case centrale le nombre qui occupe le milieu de la suite naturelle de i à i25, c'est-à dire 63.

lO

io5

ii3

Tranche supérieure

ii8

lOI

ii4

Tl5

io3

2 0 trancho .3^ tranche

à partir de la base supérieure du cube

4« tranche

io4

Tranche inférieure Fig. 73

Cette disposition nous donne 3i5 pour la somme des nombres disposés suivant les 3o diagonales des tranches horizontales et verticales.

On a également formé avec des nombres, des cercles magiques, des croix, des losanges, des étoiles magiques et bien d'autres figures ; on connaît aussi des cylindres et des sphères magiques, mais la théorie de ces diverses figures ne présente aucun intérêt, et la place nous manque pour donner les règles de leur construction.

Carrés hyper-magiques. — Dans ces derniers temps, on s'est beaucoup occupé de la formation de carrés magiques remplissant certaines conditions supplémentaires et il en est résulté quelques problèmes présentant de grandes difficultés mathématiques.

Par exemple, si nous divisons un carré de 64 cases au moyen des deux lignes passant par les milieux des côtés en quatre parties égales contenant chacune i6 cases, on peut se proposer comme problème d'inscrire dans les 64 cases les 64 premiers nombres de façon à former un carré magique du huitième ordre constitué par quatre carrés magiques du quatrième ordre.

La figure ci-après donne une solution de la question.

Les quatre nombres ins

crits dans chacune des lignes ou des colonnes des quatre petits carrés magiques donnent une somme égale à i3o, de telle sorte que la somme constante formée par les nombres du carré magique du huitième ordre est i3o X 2 = 260.

Enfin, comme nouvelle généralisation, nous donnons le carré remarquable du neuvième ordre constitué par neuf carrés magi- ^'S- 7^ ques du troisième ordre contenant chacun neuf nombres consécutifs.

La loi de formation d'un tel carré est simple.

Considérons les neuf petits carrés magiques comme les neuf cases d'un carré magique du troisième ordre dans lesquels seraient inscrits les nombres de I à IX. Puis inscrivons dans les neuf cases du carré I les 9 premiers nombres ; dans les neuf cases du carré II, les nombres de lo à i8 ; dans les neuf cases du carré III, les 9 nombres de 19 à 27 et ainsi de suite.

YIII

Fig. 75

If i5

Fig. 76

Carrés diaboliques. — Une espèce de carrés hyper-magiques est celle qui comprend des carrés construits de telle sorte que la somme des nombres contenus dans certaines lignes (telles que les rangées, les colonnes, les diagonales et les diagonales brisées) soit constante. En France, ces carrés sont appelés carrés diaboliques ou carrés magiquement magiques (*) ; leur construction a été étudiée par

(') En Angleterre : Nasik Squares ou pan-diagonal magie squares.

De la Hire, Sauveur et Euler ; mais leur théorie est due, en grande partie, à M. A. H. Frost qui l'a exposée dans les mémoires rappelés dans la note de la page i58, et à M. Frolow, qui en a fait l'objet de deux mémoires publiés à Saint-Péterbourg, en i884, et à Paris, en 1886. On comprend facilement qu'en sectionnant verticalement (ou horizontalement) un carré diabolique, on puisse échanger les parties sans altérer la propriété magique de la figure. En effectuant ainsi une transposition verticale et une transposition horizontale, un nombre quelconque peut être amené dans une case désignée. La figure 55 de la page i55 représente un carré diabolique du quatrième ordre, et la figure 67 de la page i 76 en représente un autre du cinquième ordre.

On peut construire des carrés diaboliques de l'ordre 6/i zb i au moyen de règles analogues à celles données par De la Loubère, avec cette restriction cependant qu'il faut adopter le mouvement du cavalier et non celui du fou pour déterminer les cases qui doivent être occupées par des nombres consécutifs et que, pour les carrés d'un ordre supérieur à cinq, il est nécessaire d'établir des règles spéciales pour aller de la case occupée par le nombre k. n à celle occupée par le nombre kn -{- I .

Carrés doublement magiques. — Dans une autre espèce de carrés hypermagiques, le problème consiste à construire un ^'S* 77- — Carré doublement magique.

carré magique du ai"^ ordre tel que si on remplace chacun des nombres qui s'y trouve inscrit par sa m™° puissance, le nouveau carré ainsi constitué soit encore magique.

l86 RÉCRÉATIONS MAÏHÉMA.TIQUES

La figure 77 ci-dessus nous olTre l'exemple d'un carré magique de celte nature (^) ; elle représente un carré magique du huitième ordre dans lequel la somme des nombres inscrits dans chaque ligne horizontale, dans chaque colonne et dans les deux diagonales est égale à 260. En remplaçant chaque nombre par son carré, le nouveau carré obtenu est encore magique (la somme des nombres de chaque ligne, de chaque colonne et des deux diagonales est égale à II. 180).

Faisceaux magiques. — Nous n'avons considéré jusqu'ici que des nombres disposés en lignes. Or, en inversant les figures constituées par les points centraux des carrés dans lesquels les nombres sont inscrits, on obtient une série de droites formant des faisceaux, et si ces droites sont numérotées de façon à établir leur correspondance avec les points, les faisceaux seront magiques (2).

Ainsi, dans un carré magique du ;i"' ordre on dispose n^ nombres consécutifs suivant an + 2 droites contenant chacune n nombres, de telle sorte que la somme de tous les nombres contenus dans chacune de ces lignes est constante. Inversement, on peut disposer n^ droites numérotées consécutivement, de façon à former 271 H- 2 faisceaux, contenant chacun n rayons, de telle sorte que dans chaque faisceau la somme des nombres désignant les rayons soit constante.

Par exemple, la figure 78 représente un carré magique contenant les 64 premiers nombres disposés suivant 18 lignes (8 rangées, 8 colonnes et 2 diagonales).

Inversement la figure 79 représente 64 lignes disposées de façon à former 18 faisceaux de chacun 8 rayons.

Le mode de construction est bien évident. Le faisceau constitué par les 8 rayons convergeant au point 0 est coupé par deux droites parallèles perpendiculaires à l'axe du faisceau et les points d'inler-

(^) Voir un article de M. Goccoz dans V Illustration du 29 mai 1897. (2) Voir Magic Reciprocals par G. Frankeïnstein, Cincinnati 1875.

section sont réunis deux à deux par des droites qui s'entre-croisent. On obtient de la sorte 8 faisceaux ayant pour sommets les points A, B, G,... H ; 8 faisceaux ayant pour sommets les points A' B'..., H' ; un faisceau de sommet 0 et enfin un faisceau dont le sommet est sur l'axe de ce dernier.

Pour établir la correspondance entre la figure 79 et la figure 78 dans laquelle la somme des nombres de chacune des 18 lignes est constante, on numérote les lignes dans le faisceau A de gauche à droite i, 9,... 67 en suivant l'ordre des nombres inscrits dans la première colonne du carré. Les lignes du faisceau B sont numérotées de la même façon avec les nombres de la deuxième colonne du carré, et ainsi de suite.

Pour rendre la figure plus "'■ ' '

claire, les numéros d'ordre des droites n'ont pas été inscrits, mais il résulte bien du mode de construction et de ce qui précède, que la somme des 8 nombres qui représentent les rayons dans chacun des 18 faisceaux est la même.

On peut encore aller plus loin : si la figure qui vient d'être tracée est coupée par deux autres parallèles perpendiculaires à l'axe, et si tous les points où elles coupent les rayons sont réunis en croix deux à deux, les nouvelles droites ainsi tracées se coupent sur l'axe du faisceau primitif ou sur des perpendiculaires à cet axe. La figure, dans son ensemble, contient 8^ lignes disposées en 2^4 faisceaux de chacun 8 rayons et représente la réciproque d'un cube magique du huitième ordre.

En transformant encore par inversion, on obtient la représentation sur un plan d'un cube magique.

Divertissements avec des carrés magiques- — On peut

imaginer bien des questions dont on trouve les solutions d'une façon empirique et se rattachant à la théorie des carrés magiques, mais la plupart doivent être envisagées plutôt comme des amusements ingénieux que comme des exercices mathématiques. En voici quelques exemples.

Carrés magiques avec des cartes. — On connaît ce problème qui consiste à disposer sous forme d'un carré les 16 cartes marquantes d'un jeu (as, valet, dame et roi), de telle sorte que chaque rangée, chaque colonne et les deux diagonales ne contiennent pas deux cartes semblables.

La solution est basée sur la méthode de De Ja Hire pour la construction des carrés magiques d'ordre pair.

Considérons les deux carrés magiques auxiliaires du quatrième ordre

et

remplaçons respectivement les nombres i, 2, 3, 4 par les cartes as, roi, reine, valet, et les nombres o, 4» 8, 12 par les couleurs trèfle, pique, cœur et carreau ; l'addition des deux carrés magiques cidessus nous fournit immédiatement la solution de la question.

On retient facilement cette disposition en remarquant qu'en partant de chaque angle, l'emplacement des cartes de couleur et de valeur difTérentes est donné par les diverses positions que peut prendre le cavalier d'un jeu d'échecs.

Si on se fixe les positions des 4 cartes d'une ligne quelconque, il n'y a que deux manières de placer les autres cartes de façon à remplir la double condition imposée.

as

roi

reine

valet

do

de

de

de

trcllo

pique

cœur

carreau

valet

reine

roi

as

de

de

de

de

cœur

carreau

trèfle

pique

roi

as

valet

reine

de

de

de

de

carreau

cœur

pique

trèfle

reine

valet

as

roi

de

de

do

de

pique

trèfle

carreau

cœur

Carrés magiques tels que la somme constante soit égale au millésime d'une année déterminée. — Les carrés magiques que nous avons considérés jusqu'ici sont constitués par la suite naturelle des nombres entiers. Il est possible cependant de déduire d'un carré magique d'un ordre quelconque des carrés magiques dans lesquels les nombres inscrits obéissent à une autre loi de succession.

Parmi ces derniers nous citerons ceux dans lesquels les nombres inscrits, bien que formant une suite naturelle, donnent pour somme constante suivant chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale, le millésime d'une année déterminée.

Ces carrés magiques se forment simplement en ajoutant aux nombres inscrits dans un carré auxiliaire de même ordre, un nombre détermine par le calcul.

Si le millésime choisi est divisible par 3, le carré magique cherche pourra toujours se déduire d'un carré magique du troisième ordre. On divise par 3 le millésime adopté, on retranche i5 du quotient et on a le nombre qu'il suffit d^ajouter à chaque nombre entrant dans la constitution du carré du troisième ordre considéré.

Si le millésime assigné est pair mais non divisible par 4, on

DES CARRÉS MAGIQUES îgî

commence par en retrancher 34. puis on prend le quart du résultat pour avoir le nQjnbre à ajouter h chacun des nombres qui figurent dans la composition d'un carré magique du quatrième ordre.

Si, par exemple, nous cherchons à former un carré magique nous donnant comme somme constante l'année 1890, il nous suffira d'ajouter, a chacun des nombres inscrits dans un carré magique ordinaire du quatrième ordre, la constante

En d'autres termes, au lieu d'inscrire les 16 premiers nombres, On inscrit dans les cases les 16 nombres formant la suite de 465 à

Considérons, comme autre exemple, l'année 1892, ce millésime étant divisible par ii, il est possible de déduire du carré magique du onzième ordre un nouveau carré magique de même ordre, mais dans lequel chaque rangée de 11 cases donnera le nombre 1892 pour la somme des chiffres qui s'y trouvent inscrits.

A cet effet, retranchons de 1892 la somme constante du carré magique ordinaire du onzième ordre, c'est-à-dire 671 et divisons le reste par 1 1 , ce qui donne 1 1 1 .

On ajoute alors la constante m h tous les nombres qui figurent dans le carré auxiliaire, ce qui revient à inscrire la suite naturelle des nombres de 112 à 232.

Nous obtenons ainsi le carré magique représenté ci-dessus et dans lequel le même nombre 1892 peut être obtenu vingt-quatre fois par l'addition des nombres inscrits dans les rangées, dans les colonnes et dans les diagonales, et vingt fois par l'addition des nombres inscrits dans les cases de deux lignes parallèles à une même diagonale, situées de part et d'autre de cette diagonale et ayant ensemble II cases, comme par exemple 196, 122, i58, 2o5, i3i, 167, 2i4, i4o, 187, 223 et 149.

iga

REGREATIO^S MATHEMATIQUES

ii5

2ro

ii4 i49

ii3

Carré magique fourni par la marche du cavalier. — On connaît la récréation qui consiste à écrire sur les cases successives de la course ou d^un circuit du cavalier, les lettres ou les mots d'une ou de plusieurs phrases qu'il s'agit de reconstituer en retrouvant la marche de la pièce du jeu qui sert de Jîl d'Ariane. Si nous remplaçons les mots ou les syllabes par les 64 premiers nombres, nous aurons une course du cavalier en nombres et l'on peut se proposer a ce sujet diverses récréations dont les journaux illustrés fournissent de nombreux exemples.

Nous mentionnerons ici un problème particulièrement difficile consistant à disposer les 64 premiers nombres suivant une marche du cavalier mais de manière à former un carré magique.

Cette question a été étudiée il y a quelques dizaines d'années par Wenzelides, officier retraité qui habitait en Moravie. Après de

nombreux essais il est parvenu à former un carré magique du huitième ordre tel que les emplacements des nombres de i à 64 sont donnés par un circuit fermé représentant une course du cavalier.

La somme des nombres inscrits dans les lignes horizontales et les colonnes verticales est égale à 260.

Plus tard, il réussit à former d'autres carrés magiques jouissant de la même propriété et ses résultats furent publiés dans le Journal des Echecs de Berlin.

Nous reproduisons une des solutions obtenues. Il y a lieu de remarquer que les nombres inscrits dans les diagonales ne fournissent pas la somme constante

Fig.

Le Problème des 36 officiers d'Euler. — Dans les Mémoires de la Société de Flessingue, Euler n'a pu trouver de solution pour ce qu'il appelle le problème des 36 officiers, sans cependant montrer qu'il n'y avait aucune solution.

Voici l'énoncé de ce problème : « Cette question roulait sur une assemblée de 36 olficiers de 6 grades différents et tirés de 6 régiments différents qu'il s'agissait de ranger dans un carré de manière que sur chaque ligne, tant horizontale que verticale, il se trouvât 6 officiers tant de différents grades que de régiments différents ».

Ce problème est cité dans les Récréations mathématiques de Lucas, Introduction, p. i3, t. i ; et dans l'ouvrage d'Arnoux. Sur les espaces arithmétiques hypermaguiues, p. 5- Dans V Intermédiaire des mathématiciens (1896, p. 90), Brocard a donné la note bibliographique Récréations mathématiquos, II. i3

igd RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES

suivante : « Le problème des i6, 25 ctAo officiers a été proposé et résoludanslejournalLe.Sièc/e, par A. Feistliamel(Oct. etNov. i884).

Le rédacteur, reproduisant le passage cité d'Ed. Lucas, a dit que ses recherches pour le nombre 36 étaient demeurées infructueuses. Celui des 64 officiers a été proposé et résolu par B. Meyniel (Nov. i884). On peut voir aussi, dans les Tabletles du chercheur, les remarquables solutions données par Huber pour i6, 25, 49. 64 et 81 officiers (1894, questions 1678, 1897, 1872, i845 et i535) ».

Lomgel répondant à la question 453 de V Intermédiaire posée par E. Maillet (année 1896^, conjecture que le problème est impossible pour 4^^ officiers, et que l'on devrait chercher la démonstration de ce fait dans la théorie des substitutions. Il ajoute que le problème est toujours possible si le nombre est impair et que la construction du carré dépend simplement de l'application méthodique de substitutions circulaires. Ainsi, si a, 6, c,..., désignent les grades différents des officiers et que les indices i, 2, 3,..., marquent les numéros de leurs régiments, le tableau suivant représente une solution du problème des 26 officiers. (*)

eo a.

65 Cj dg 1.3 w.^

Dans le n^ 4 de l'année 1898 de V Intermédiaire, un correspondant, M. E. Barbette, de Liège, généralise la question comme il suit :

Disposer en carré m^ = [^2^ x (2/) -f- i)]^ officiers de m grades différents et de m régiments différents de manière que, sur chaque colonne horizontale et sur chaque colonne verticale, il se trouve :

Premier problème, — m = 2^ (2/) -h i) officiers de chaque grade et de chaque régiment ;

(1) Intermédiaire 1896, p. 17.

Deuxième problème. — 2^~* X {^p -h i) groupes de deux officiers de chaque grade ou de chaque régiment ;

Troisième problème. — 2^"-^ (ap -h 1) groupes de quatre (2^) officiers de chaque grade ou de chaque régiment ;

Quatrième problème. — 2^"^ X (2/3 H- i) groupes de huit ('a ^) officiers de chaque grade ou de chaque régiment ;

{n H- 1)'^' problème. — 2*-" X (2p -h i) groupes de 2" officiers de chaque grade ou de chaque régiment.

Il donne à la suite les tableaux représentatifs de quelques solutions particulières.

Heffter [Intermédiaire, 1898, p. 176) a indiqué une solution très simple pour le cas de (2p -h i)^ officiers. En désignant par (i k) (i, A: rr= I, 2, 3,..., n), l'officier du régiment i et du grade k, l'arrangement sera donné par le tableau suivant.

{n,n) (1,2) (2,4) (ai--i,/2~2)

Mais Delannoy et Barbette ont fait remarquer (Intermédiaire, 1898, p. 262) que cette solution ne s'applique plus à ^n^ officiers.

Dans le n" de V Intermédiaire de Novembre 1899, ^' Tarry revenant sur la question, limite l'impossibilité du problème à l'hypothèse de 4 (2/) + i)^ officiers.

Enfm, dans une seconde note (Intermédiaire, 1900, p. i4) il donne un aperçu d'une démonstration établissant l'impossibilité du problème des 36 officiers.

Cette démonstration, trop longue pour prendre place ici, a été insérée dans un supplément a la livraison de Juillet 1900 de Mathesis.

Extension du problème d'Euler. — Plus généralement, on

peut chercher à disposer sur un échiquier de n- cases, n^ pions divisés en n groupes de chacun n pions de la même couleur et portant les numéros successifs i, 2, 3, 4,--., n, de telle sorte que chaque rangée, et chaque colonne de l'échiquier ne contiennent pas deux pions de la même couleur ou portant le même numéro d'ordre.

Par exemple, pour n = 3, avec 3 pions rouges a^,a.2,a^ ; trois pions blancs b^,b^^b^y et trois pions noirs c^,c^,c^, on satisfait aux conditions imposées en disposant ces pions sur l'échiquier de 9 cases comme le représente la figure 82 ci-après.

Pour n = 4, avec les pions a^,a^,a^,a^ ; h^,h^,h^,hi^ î <^i><^2jC3,c^ et ^i>^2'^3»^4» ^^ solution sur l'échiquier de 16 ctses est donnée par la figure 83.

La figure 84 donne une solution pour n = h.

Le problème est possible si n est impair ou de la forme l\m.

Quand on connaît des solutions pour n = a et « = 6, on peut déduire immédiatement une solution pour n = a X b.

La théorie de ce jeu est intimement liée avec celle des carrés magiques et nous ne pouvons la discuter plus longtemps ici.

as

di

Fis. 82.

Fig. 83.

Fig. 8/,.

Carrés magiques avec des pièces de monnaie (^). On peut encore se proposer une question à peu près du même genre en utilisant des pièces de monnaie : en voici une application à un carré

(') Voir The Slrand Magazine, Londres, décembre 1896, pp. 720, 721.

du 3"°® ordre divisé en 9 cases comme celui de la figure 82 cidessus.

On place une pièce de 5 francs dans la case centrale c^, une pièce de 3 francs et une pièce de i franc dans la case au-dessous a^ et l'on demande de placer dans les 7 cases qui restent le plus petit nombre possible de pièces de monnaie ayant cours en France de façon qu'il y ait au moins une pièce dans chaque case, que la somme représentée par la valeur des pièces dans chaque case soit différente, et enfin que la somme des valeurs des pièces dans chaque rangée, dans chaque colonne et dans les deux diagonales soit égale à i5 francs. On trouve qu'il suffit de prendre 12 pièces additionnelles.

On peut encore proposer des récréations du même genre avec des timbres poste.