X 2— 53 = 64 — 53= II

l42 nÉGRÉATIO:^S MATHÉMATIQUES

La carte clait donc au 1 1'"'= rang au début.

Or, la carte occupant ce rang est le 3 de cœur, donc la 3""' carte delà 3"" rangée est le 3 de cœur.

Arrangement des cartes en lignes et en colonnes. — Un tour assez connu et qui peut être considéré comme une façon de mélanger les cartes, repose sur ce fait évident que lorsqu'on dispose n^ cartes en carré (de n rangées contenant chacune n cartes) chacune d'elles sera parfaitement déterminée connaissant la rangée et la colonne dans laquelle elle se trouve.

On exécute généralement le tour comme il suit : on demande d'abord dans quelle rangée se trouve la carte choisie et on note la première carte à gauche de cette ligne. Les cartes de chaque colonne sont alors prises, une à une (faces découvertes), en commençant par la carte du haut et sans déranger l'ordre des colonnes, de la gauche à la droite, chaque carte ramassée étant placée au fur et à mesure sur le paquet. Renversant alors le paquet, on dispose de nouveau les cartes, faces apparentes, en rangées (de gauche à droite en commençant par l'angle supérieur de gauche) et on demande à la personne qui a choisi la carte de désigner le rang dans lequel elle se trouve. La carte choisie sera à la rencontre du rang désigné et de la colonne verticale commençant par la carte notée qui se trouvait la première à gauche dans le rang indiqué lors de la première disposition.

Nous venons de décrire la manière usuelle de présenter la récréation, mais on y ajoute de l'intérêt en faisant couper le paquet de cartes autant de fois qu'on le désire avant de les distribuer pour la seconde fois, puis en opérant soi-même une coupe à la fin, de façon que la première carte dans le paquet soit une de celles qui se trouvaient dans la première rangée.

L'explication est très simple. Supposons un paquet de seize cartes, les figures 5i et 52 ci-dessous représentent le premier et le second arrangements. Par exemple, si, dans la figure i, la carte choisie est dans le troisième, rang, c'est évidemment une de celles

QUESTIONS DIVERSES

portant les numéros 9, 10, 11 ou 12 ; dès lors cette carie se trouve forcément déterminée, connaissant le rang de la seconde figure ds lequel elle se trouve :

ans

Fis. 5]

Si on fait couper les cartes avant de les disposer pour la seconde fois sur la table, il faut s'assurer d'une façon ou d'une autre que la première carte est un, deux, trois ou quatre ; dans ce cas les cartes dans chaque rangée de la figure 52 ne seront pas modifiées bien que la position relative des rangées puisse changer.

Détermination de deux cartes choisies parmi - n [n -+- i)

couples donnés ('). — Un autre tour assez commun consiste à disposer sur une table vingt cartes par las de deux, en invitant une personne de la société à en choisir un. On ramasse alors les cartes et on les place d'une certaine façon sur quatre rangs de chacun cinq cartes. La connaissance du rang ou des rangs où se trouvent les deux cartes pensées permet de les déterminer immédiatement. C'est une conséquence de ce fait que le nombre des produits homogènes à deux dimensions que l'on déduit de quatre éléments est égal a dix. Par suite, les produits homogènes à deux dimensions déduits de quatre éléments peuvent servir à la détermination de dix éléments.

(*) Baguet. — Problème XVII, avcrtisseraent, p. i46 et suivantes.

l44 RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES

Plaçons donc sur une table dix couples de cartes en priant une personne d'en choisir un ; puis ramassons toutes les cartes par couple sans les séparer, le premier couple donnant les deux premières cartes du paquet, le second couple les deux suivantes, et ainsi de suite. Les cartes sont alors disposées en quatre rangées de chacune cinq cartes suivant le diagramme ci-dessous.

Les cartes (i) et (2) du premier couple sont mises dans la pre-

Q, ^ ^^ I , mière rangée; des cartes (3) et (4) con- 2 3 5 7 I slituant le second couple, on met la pre- — — I ;' mière (3) à la suite de (2) dans la prc-

0 0 10 11 13 ! niière rangée, et la seconde (4) dans la ^ — ' ' — ' ' — -• l— — ' seconde rangée, sous (i). Des cartes (5) Hr^l [T7] [7^ r^ et (6) formant le troisième couple, on Il I I 1 I L I place la première (5) à la suite de (3)

01 I I I I j dans la première rangée et la seconde (6) LJ CJ Ifj d^"s la troisième rangée, sous (4) ; et ainsi de suite, comme le représente la °' figure 53. La première rangée une fois

remplie, on procède de même sur la seconde rangée, et ainsi de suite. On se fait alors indiquer la ou les rangées contenant les cartes choisies ; si on ne désigne qu'une seule rangée, la m""" par exemple, celles-ci seront la m™' et la (m H- i)""" carte de la ligne indiquée. Ces emplacements sont appelés les clefs de la ligne. Dans le cas où les cartes se trouvent dans deux rangées, la p""" et la 9™' par exemple, on procède comme il suit : supposons q'^ p ', alors la carte choisie contenue dans la ^""^ ligne sera la (q — p)™° au-dessous de la première clef de la />"* ligne. L'autre carte choisie qui se trouve dans la p™" ligne est la (q — p)'"= à la droite de la seconde clef.

La règle de Bachet sous la forme que nous venons de la présenter s'applique à un paquet de n (ai -f- i) cartes groupées par couples et disposées en n lignes contenant chacune n -{- i cartes; car nous

avons - n (n -{- 1) couples, et on peut également former

QUESTIONS DIVERSES 1^5

- n (n -f- t) produits homogènes à deux dimensions avec n éléments. Bachet donne des figures pour les cas de vingt, trente et quarante cartes, que le lecteur n'éprouvera aucune difficulté à construire lui-même, et la façon dont nous avons exposé le problème pour vingt cartes rend suffisamment compte de la marche à suivre.

Nous avons vu la même récréation reproduite en se servant comme guide d'une sentence au lieu de nombres. Considérons, par exemple, le cas de dix couples, après avoir ramassé les cartes, on les dispose en quatre lignes contenant chacune cinq cartes suivant l'ordre indiqué par cette phrase.

Malas dédit nomen Cocis,

Cette sentence est supposée écrite sur la table chaque mot formant une ligne. La première carte est placée sur Vm de matas, la carte suivante (qui est la seconde du premier couple) doit couvrir la seconde lettre m, et sera, par suite, placée sur Vm de nomen dans la troisième ligne. La troisième carte est placée sur la lettre a du mot matas, la quatrième carte (qui est la seconde du second couple) doit couvrir la même lettre et sera, en conséquence, placée sur la seconde lettre a du même mot ; ces deux cartes sont donc dans la première ligne. Les deux cartes suivantes (troisième couple) doivent couvrir la lettre t de malas et la môme lettre i qui se trouve dans le mot dedil de la seconde ligne ; et ainsi de suite. On se fait maintenant indiquer le ou les rangs contenant les cartes pensées. Si on désigne deux rangs, les deux cartes sont sur la lettre commune aux deux mots qui constituent ces lignes. Si on ne désigne qu'une ligne, les cartes couvrent la lettre qui figure deux fois dans le mot de la ligne indiquée.

Le raisonnement saute aux yeux : désignons chaque couple de cartes par les lettres a, e, i, o, c, d, m, n, s oui respectivement, et remarquons que la sentence matas dédit nomen Cocis contient quatre mots de chacun cinq lettres, soit en tout vingt lettres, mais seulement dix lettres différentes, puisque chaque lettre est prise deux fois. Récréations mathématiques, IL lo

l46 RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES

Des lors, si deux lignes, ou ce qui revient au même, deux mots sont désignés, il s'agit de deux mots ayant une lettre commune, et si, au contraire, on n'en désigne qu'un seul, c'est un de ceux contenant deux fois la même lettre.

Pour reproduire le tour avec un autre nombre de cartes, il suffirait d'imaginer une phrase dans le genre de celle reproduite plus haut.

Le nombre des produits homogènes à trois dimensions pouvant être formes avec quatre éléments est 20, parmi ceux-ci le nombre de produits dans lesquels trois éléments sont différents est 8. Nous pouvons en déduire une récréation analogue à celle que nous venons d'exposer avec huit trios de cartes ou d'objets quelconques. Les cartes peuvent être disposées suivant l'ordre indiqué par la phrase

Lanata leveté livini novoto.

Nous pensons que ces arrangements au moyen de sentences sont bien connus, et ce serait certainement perdre son temps que d'en chercher l'origine.

Problème des paquets de cartes de Gergonne. — Avant

de discuter le théorème de Gergonne, nous examinerons le problème bien connu des trois paquets dont l'explication est une conséquence de celui de Gergonne.

Le problème des trois paquets (*)• — Ce tour s'exécute généralement de la manière suivante : On prend un paquet de vingtsept cartes que l'on distribue sur une table, les faces apparentes en trois paquets de chacun neuf cartes, mais en effectuant la distribution comme il suit : les trois premières cartes du paquet total des vingt-sept cartes sont respectivement au premier rang dans chaque paquet partiel de neuf cartes ; les trois cartes suivantes du paquet

(*) Cette récréation est mentionnée par Bachet, problème XVIII, p. 143. mais l'analyse qu'il en présente est insuffisante.

QUESTIONS DIVERSES I

total sont respectivement au deuxième rang dans chacun des paquets de neuf cartes, et ainsi de suite. Nous supposons de plus que les cartes sont toujours tenues dans la main les faces vues. Le résultat serait modifié si on adoptait un autre mode de distribution.

On prie alors une personne présente de bien remarquer les cartes au fur et à mesure qu'elles tombent et d'en choisir une par la pensée.

Le problème consiste à déterminer cette carte pensée.

Pour cela, on demande à la personne dans quel paquet se trouve la carte choisie et en ramassant les cartes on place le paquet désigné entre les deux autres.

On recommence la distribution en opérant comme plus haut et en invitant la personne à bien observer le paquet dans lequel se trouve la carte pensée.

Ce paquet désigné, on ramasse de nouveau les cartes en plaçant encore le paquet en question entre les deux autres, puis on fait une troisième fois la distribution en notant bien la carte du milieu dans chaque paquet. Ceci fait, et le paquet dans lequel se trouve la carte étant montré, on peut affirmer que la carte choisie est celle du milieu.

On connaît cette carte et, par suite, on peut terminer la récréation comme on l'entend. Le plus généralement (bien que ce ne soit pas très habile), on réunit une dernière fois toutes les cartes en plaçant toujours au milieu le paquet désigné.

La carte choisie occupe alors le rang 9 4-5=14 à partir de la carte du dessus.

Le tour est souvent exécuté avec quinze caries ou avec vingt-etune cartes, la règle s'applique à ces deux cas.

Généralisation de Gergonne. — Gergonne (^) a donné la théorie générale de la question pour un paquet de m"" cartes.

(') Annales de Mathématiques de Gergonne, Nîmes i8i3-4, vol. pp. 276-283.

l48 RÉGRÉATIOÎNS MATHÉMATIQUES

Supposons que les cartes soient distribuées conformément à la

règle donnée plus haut en m paquets contenant chacun — = m'"~^

cartes. Après la première distribution, le paquet désigné comme contenant la carte choisie est placé au a'"" rang, après la seconde distribution, le paquet renfermant la carte pensée est placé au b""^ rang, et ainsi de suite ; finalement, après la m'"^ distribution, le paquet où se trouve la carte est placé au k'"° rang. Alors, une fois les cartes réunies en un seul paquet après la m"" distribution, le rang n de la carte choisie, en comptant à partir de la carte du dessus, est donné par la relation n = h. m "*~^ — /.7?î'"~2 -\- -j-

b.m — a -h I, si m est pair et par la relation n z= k.m"^~^ — j.nV^^~^ -\- .... — h.m -+- a, si m est impair.

Prenons, par exemple, un paquet de 256 cartes (ce qui revient à faire m = 4) ; si une personne est invitée à choisir une carte, elle pourra être déterminée en faisant quatre distributions successives en quatre paquets de chacun soixante-quatre cartes et en demandant, après chaque distribution, le paquet dans lequel se trouve la carte pensée.

En voici la raison : après le premier partage en quatre paquets, on sait que la carte choisie se trouve parmi les soixante-quatre de de l'un des paquets. Après la seconde distribution, ces soixantequatre cartes sont réparties également entre quatre paquets et, par suite, la connaissance du paquet qui contient la carte pensée nous permet d'affimer qu'elle est parmi seize cartes déterminées de ce paquet. Après la troisième distribution, on sait qu'elle figure parmi quatre cartes connues, et enfin, la quatrième distribution nous fixe exactement sur la carte en question.

De plus, en opérant sur un paquet de 256 cartes, l'ordre dans lequel on ramasse les paquets après chaque distribution est indifférent. Car, supposons que le paquet contenant la carte choisie soit successivement placé au a'"^, au 6™% au c*"* et au d^" rangs, après chaque distribution, cette carte occupera dans le paquet formé, en dernier lieu, après la quatrième distribution, le {fil\.d — i6.c -t-

QUESTIONS DIVERSES I^Q

A. 6 — a -h i)"' rang'à partir delà carte du dessus, elle sera donc parfaitement déterminée. Il n'est môme pas nécessaire de ramasser les cartes après la quatrième distribution, car le même raisonnement montre que la carte choisie est la (64 — i6.c -\- l\b — a -H i)""' dans le paquet où elle se trouve. Ainsi, pour a = 3, b = li, c = i et d = 2. la carte choisie est la soixante-deuxième dans le paquet qui la contient après la quatrième distribution, et elle est la centvingt-sixième dans le paquet formé en ramassant toutes les cartes.

On peut se servir exactement de la même manière d'un paquet de 27 cartes et trois distributions successives, consistant chacune à former trois paquets de neuf cartes, suffiront pour déterminer la carte pensée. Si, après chaque distribution, le paquet contenant la carte choisie est classé successivement le a'"", le 6'"" et le c™% alors la carte pensée sera la (9c — 36 -f- a)°'^ dans le dernier paquet formé de toutes les cartes, ou la (9 — 36 -f- a)"^'' dans le paquet qui la contient après la troisième distribution.

Le principe de la démonstration étant toujours le même, nous nous contenterons de la présenter pour le cas de m = 3, c'est-à-dire pour le cas d'un paquet de 27 cartes distribuées en trois paquets de neuf caries chacun.

Supposons qu'après la première répartition, le paquet contenant la carte choisie soit placé au rang a dans le paquet total. Alors ce paquet total se trouve ainsi constitué : 1° il commence par a — i petits paquets contenant chacun neuf cartes ; 2° à la suite, viennent neuf cartes dont l'une d'elles est la carte pensée ; 3° il se termine par les derniers tas ramassés.

Les cartes sont distribuées une seconde fois : dans chaque tas formé, les 3 (a — i) premières cartes proviennent de la première partie du paquet total, les trois cartes suivantes sont données par la seconde partie, et les cartes supérieures, 9 — 3 a, sont fournies par la troisième partie.

Supposons, maintenant, que le tas dans lequel se trouve la carte choisie soit classé le 6'"^ Le nouveau paquet total des cartes est composé comme il suit :

l5o RÉCRÉA.TIONS MATHÉMATIQUES

1 0 Le paquet commence par 9(6 — i) cartes; 2° au-dessus se placent (9 — 3a) cartes ; puis, 3° viennent trois cartes parmi lesquelles figure la carte pensée ; et enfin, 4° le paquet se termine par les cartes restantes.

Les cartes sont distribuées une troisième fois ; dans chaque tas, les 3 (6 — i) cartes du dessous proviennent de la première partie (1°), les (3 — a) cartes suivantes sont fournies par la seconde partie (2°), la carte suivante est une des trois classées dans (3"), et les dernières cartes, au nombre de 8 — 3b -\- a, proviennent de la partie (4°).

Dès lors, si, après cette distribution, on indique le paquet dans lequel figure la carte choisie, elle sera la (9 — 36 H- d)^^, à partir de celle du dessus. Mais si on ramasse une dernière fois les paquets en plaçant au rang c celui qui contient la carte pensée, cette carte occupera le rang g (c — 1)4- (8 — 3ô+a) H- i,à partir de la première du paquet, c'est-à-dire qu'elle sera la (9c — 36 h- a)™^.

Puisque le rang de la carte choisie est connu dans le paquet qui la contient, après la troisième distribution, il est facile de la reconnaître et la récréation peut se terminer d'une façon plus intéressante qu'en ramassant toutes les cartes pour les abattre de nouveau.

En supposant que le paquet contenant la carte pensée soit toujours placé au milieu, on a : a = 2, 6 = 2, c = 2, par suite, n = Q.c — 36 H- a = i/i, et nous retrouvons le tour tel qu'on Texécute généralement et tel que nous l'avons décrit plus haut.

Nous venons de faire voir que les quantités a, 6, c, étant connues, le rang n de la carie se trouvait déterminé, mais la règle peut être modifiée de façon à faire occuper à la carte pensée un rang assigné. le rang n, par exemple.

La question revient à trouver les valeurs de a, 6, c, satisfaisant à l'équation

n = Qc — 36 -h a,

dans laquelle les quantités a, 6, c, ne peuvent prendre que les trois valeurs, i, 2 ou 3.

QUESTIONS DIVERSES l5l

Il résulte de là, qu'en divisant n par 3, le reste de l'opération est I ou 2, ce reste représente donc a ; mais si n est exactement divisible par 3, le reste étant o, on diminue le quotient d'une unité en prenant pour reste 3, dans ce cas a = 3. En d'autres termes, a est le plus petit nombre positif (o étant excepté), qui doit être retranché de n pour que la différence soit multiple de 3. Représentons par p ce multiple, p est le nombre entier le plus voisin de n/S ; on a :

3/) = gc — 36, d'où p = 3c "— b ; dès lors b est le plus petit nombre positif (o étant excepté), qui, ajouté h p, donne pour somme un multiple de 3, et c est ce multiple.

Deux exemples vont rendre tout ceci bien plus clair. Admettons que l'on demande que la carte pensée sorte la vingt-deuxième à partir de celle du dessus ; dans ce cas 22 = gc — 36 -{-a. Le plus petit nombre qui, retranché de 22, laisse une différence divisible par 3 est I, donc a =1.

Ainsi, 22 = 9.C — 3.6 4- i^ ou 7 = 3c — 6; le plus petit nombre à ajouter à 7 pour avoir un multiple de 3 est 2, donc b =. 2, alors 7 = 3c — 2,c=3.

En résumé, a=i,6 = 2,c = 3.

Second exemple : proposons-nous d'amener la carte pensée au vingt-et-unième rang; alors 21 = g.c — 36 -h a.

a étant le plus petit nombre à retrancher de 21 pour que la différence soit divisible par 3, on a : a = 3 et il en résulte 21 — 3 = 90 — 3.6 ou 6 = 3.C — 6 ;

6 est le plus petit nombre à ajouter à G pour avoir un multiple de 3, donc 6 = 3, et c =:r 3.

Ainsi, dans ce cas, a = 3, 6 =:: 3, c =: 3.

Dans le cas où l'application de cette règle présenterait des difficultés, on peut opérer comme il suit :

Posons «=07-1-1, 6 = 3 — jet c= z-+- i, x, y ci z ne peuvent prendre que les valeurs o^ i ou 2.

Dans ce cas, l'iquation de Gergonne prend la forme

l52 RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES

d'où cette conclusion qu'en exprimant le nombre n — i dans le système de numération à base 3, les nombres x, y, z et, par suite, a, 6, c se trouveront déterminés.

La règle, dans le cas d'un paquet de m" cartes est exactement semblable. Si Ton désire faire sortir la carte pensée à un rang assigné à l'avance, le problème consiste à déterminer les quantités

a, 6, c, /f, dans la formule de Gergonne, connaissante. On peut

y arriver en divisant n successivement par m et en partant de cette convention que les restes seront alternativement positifs et négatifs, sans que leurs valeurs numériques puissent surpasser m, ni être inférieures à I.

Le même problème peut aussi se faire avec un paquet de l. m cartes. D' G. T. Hudson et M. L. E. Dickson (*) ont discuté le cas général en supposant le paquet distribué n fois en / paquets de chacun m cartes et ils ont donné Tordre dans lequel les divers petits tas devaient être disposés en les ramassant pour amener la carte pensée à occuper le nT' rang à partir de celle du dessus, après la n""" distribution.

Un exemple traité de la même manière que ceux déjà examinés rendra suffisamment compte du principe général de la méthode. Considérons un jeu d'écarté de trente-deux cartes distribuées en quatre tas de chacun huit cartes et supposons que le tas contenant la carte choisie soit placé au rang a. Si, en faisant une nouvelle distribution en quatre tas, on désigne l'un d'eux comme contenant la carte pensée, cette carte ne pouvant être l'une des 2(a — i) cartes du dessous du paquet, ni Tune des (8 — 2a) du dessus, sera nécessairement une des deux intermédiaires. Le tour peut alors se terminer de bien des façons, par exemple en utilisant le procédé ambigu et bien connu des prestidigitateurs, c'est-à-dire en demandant à une personne de choisir l'une des deux cartes, sans dire à l'avance si la carte désignée sera retenue ou rejetée.

La souricière. — Nous terminons ce chapitre en mentionnant

(*) Educational Times Reprlnts, i868, vol. IX, pp. 89-91 ; et Bulletin de V American malhematical Society ^ New- York, mai 1896, vol. I, pp. 1 84- 186.

QUESTIONS DIVERSES l53

simplement nn autre jeu de cartes connu sous le nom de « la souricière » et dont la discussion complète par l'analyse algébrique ne laisse pas que d'offrir de réelles difficultés.

Voici comment il se pratique : des cartes portant les n"' i, 2, 3,... n sont disposées en rond dans un ordre quelconque et les faces apparentes ; un joueur, partant de l'une d'entre elles et marchant

toujours dans le même sens, compte successivement i, 2, 3 , en

touchant chaque carte. Si la k^^ carte touchée porte le numéro k, il fait ce qu'on appelle «ne réussite, il prend alors cette carte et recommence h compter. D'après Cayley, le joueur gagne si, en opérant comme nous venons de le dire, il enlève successivement toutes les cartes, il perd si, chaque fois qu'il compte jusqu'à n, il n'enlève aucune carte.

Considérons, par exemple, le cas de quatre cartes seulement disposées dans cet ordre 32 14; le joueur partant de 3 et marchant dans le sens des aiguilles d'une montre fera une première réussite sur 2, puis une autre sur i en recommençant à compter, mais il ne fera évidemment aucune autre réussite en continuant le jeu. Si les cartes étaient primitivement disposées dans cet ordre i, 4> 2, 3,1e joueur les enlèverait toutes successivement dans l'ordre i, 2, 3, li.

On peut étudier la question en se proposant de déterminer les réussites possibles avec un nombre donné de cartes ainsi que le nombre de ces réussites, et quelles sont les permutations fournissant un certain nombre de réussites dans un ordre fixé.

Gayley (^) a montré qu'il y a neuf arrangements d'un paquet de quatre cartes ne donnant naissance à aucune réussite, sept arrangements ne fournissent qu'une réussite, trois arrangements en donnent deux, et cinq arrangements conduisent à quatre réussites.

Le Prof. Steen (^) a discuté la théorie pour le cas d'un paquet de n cartes. Il a fait voir comment il était possible de déterminer : 1° le nombre d'arrangements dans lesquels la première réussite se

(1) Quarlerly Journal of Malhcmatics, 1878, vol. XV, pp. 8-10. (^) Quarlerly Journal of Malhcmatics, 1878, vol. XV, pp. 23o-24i.

l54 RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES

fait sur le nombre x (art. 3-5) ; 2° le nombre d'arrangements dans lesquels la première réussite se fait sur i et la seconde sur x (art. 6) ; 3° et le nombre d'arrangements pour lesquels 2 est la première et x la seconde réussite (art. 7-8). La théorie en est restée là. Dernière remarque : il est évident que s'il se produit n — i réussites, la n""" s'en suivra forcément.

Jeu des treize. — Le jeu français des treize présente beaucoup d'analogie avec le précédent.

Il se joue avec un jeu complet de cinquante-deux cartes) les valets, les reines et les rois étant respectivement comptés pour 11, 12 et i3). Le joueur compte à haute voix i, 2, 3,..., i3 en abattant la première, la seconde, la troisième et la treizième carte. Avant la donne, il offre de parier qu'il amènera une réussite dans les treize cartes qu'il va abattre successivement.

On trouve des jeux de patience basés sur le même principe.