CHAPITRE V

Ce premier chapitre est consacré à certaines questions du ressort de la géométrie et dont la discussion n'exige pas nécessairement l'emploi de l'algèbre. Aucun auteur n'a jusqu'ici collectionné et classé les problèmes de cette nature comme Bachet l'a fait pour ses récréations sur l'arithmétique ; les divers exemples que nous donnons, sont le résultat de notes prises un peu au hasard et nous les présentons en réclamant à l'avance l'indulgence du lecteur pour toutes les imperfections qui pourraient s'y trouver.

La première partie du chapitre est consacrée à des questions pouvant être considérées comme des propositions ordinaires de la géométrie ; la dernière partie contient la description de quelques Récréations mathématiques, II. i

rccrcalions un peu puériles et de jeux que les auteurs anciens auraient appelés jeux géométriques.

Nous nous sommes imposés comme règle de négliger toute discussion qui exigerait des connaissances trop avancées dans les mathématiques. De plus (à une exception près) nous ne ferons pas mention de tous les nombreux paradoxes géométriques reposant sur l'inexpérience de l'œil quand il s'agit de comparer d'une façon exacte les dimensions des figures lorsqu'on modifie leur position rclatiM3. Ces illusions apparentes n'infirment en rien l'exactitude d'un raisonnement rigoureux, elles reposent sur une fausse interprétation de sensations perçues par l'organe visuel et nous ne pouvons considérer les paradoxes qui en découlent comme étant du domaine des mathématiques.

Sophismes géométriques. — Tout le inonde aujourd'hui possède quelques notions de géométrie et même une idée générale des éléments d'Euclide, mais on sait moins que les œuvres de ce grand géomètre étaient complétées à l'origine par des exercices divisés en trois séries. Les deux premières comprenaient des théorèmes et des problèmes faciles et le troisième était un recueil d'artifices géométriques dont il s'agissait de relever les erreurs.

La collection des artifices ainsi préparés par Euclide est perdue, et nous ne possédons aucun renseignement pouvant nous fixer sur la nature des raisonnements erronés employés, mais pour donner une idée de ce gpnre de questions nous présentons, ci-après, deux ou trois démonstrations conduisant à des conséquences manifestement absurdes et qui amuseront peut-être ceux pour qui elles sont nouvelles. Nous laissons à l'ingéniosité de nos lecteurs le soin de découvrir les fautes de raisonnement.

Premier sophisme. Démontrer qu'un angle droit est égal à un angle obtus. — Soit un rectangle ABGD ; par le sommet A menons une droite AE extérieure au l'ectangie, égale à AB ou DG et faisant, comme le montre la figure, un angle aigu

EAB avec ie côté AB. Traçons CE et prenons les milieux K et H des deux droites CE, CB. Les perpendiculaires élevées à ces droites aux points K et H se rencontreront nécessairement en un certain point 0 puisque CB et CE ne sont pas parallèles.

Traçons OA. OD, OE, OC.

On a :

OA = OD et OE = OC,

de plus, par construction, AE = DC ; donc les deux triangles ODC, OAE sont égaux comme ayant les trois côtés égaux et

OD^^OÂÈ ou encore

0DA + I droit

= 0 AD 4- DAE

mais le triangle ODA étant isocèle

o5a = oâd,

donc finalement

DAE = I droit, or, par construction, l'angle DAE est obtus.

Deuxième sophisme (*). Démontrer qu^un segment de droite est égal à la droite entière. — Soit ABC un triangle quelconque ; pour fixer les idées supposons l'angle B aigu et l'angle A plus grand que l'angle C.

('j Voir une note de M. Coccoz dans Vllluslration, Paris, i?, janvier 1895.

4 RECREATlOr^S MATHEMATIQUES

Par le sommet A menons dans l'intérieur du triangle la droite AD faisant avec le côté AB un angle BAD égal à l'angle G et abaissons la perpendiculaire AE sur BG.

Les triangles ABG, ABD étant équiangles, et, par suite, semblables, on a :

ABG Ag' ABD-^-

de même, les triangles ABG, ABD ayant même hauteur, sont entre eux comme leurs bases, d'où la relation

ABG B G ABD"~BD'

La comparaison de ces deux relations nous donne

. , ÂC' __ BG AG^ __ ad'

^'^ ÂD^~^'^* ^"^ BG — BD'

Or,

âg' = ab' -h bg' — 2BG.be,

et

AD =«AB 4-BD — 2BD.BE, et il vient, en remplaçant dans (i)

ab' -H bg' — 2BG.BE âb' + bd' — 3BD.be