BG ~~ BD

d'où l'on déduit ce résultat inadmissible, BG = BD.

Troisième sophisme. Démontrer que tous les triangles sont isocèles. — Soit ABG un triangle quelconque; prenons le milieu D du côté BG considéré comme base et, en ce point, élevons la perpendiculaire sur BG. Traçons maintenant la bissectrice de l'angle opposé A.

i*' Si cette bissectrice ne rencontre pas la perpendiculaire à BG, elle lui est parallèle et, par 'suite, elle est perpendiculaire sur BG. Dans ce cas, le triangle ABG est isocèle.

2° Si la bissectrice de l'angle A rencontre la perpendiculaire élevée sur BG en son milieu, le point de rencontre 0 est à l'intérieur ou à l'extérieur du triangle.

Supposons-le d'abord à l'intérieur et, de ce point, abaissons les perpendiculaires OE, OF sur AG, AB puis traçons OB, OG.

Le point 0 étant sur la bissectrice de l'angle A, les deux perpen-

0 UECUEATIONS MATHEMATIQUES

dicnlaircs OE, OF sont égales et les deux triangles rectangles OAE, OAF sont égaux, donc

(i) AE = AF

De même OB = OC et les deux triangles rectangles OGE, OBF sont aussi égaux, d'où (2) EG = BF

Additionnant membre à membre (i) et (2), il vient :

AE -I- EG = AF + BF ou AG = AB

d'où cette conclusion, que le triangle iVBG est encore isocèle.

Supposons en second lieu que le point 0 soit à l'exléricur du triangle ABG. Faisons la A

même construction que cidessus. Les deux triangles rectangles OAE, OAF sont égaux et

(i) AEc^AF.

De même, l'égalité des deux triangles rectangles OGE, OBF nous donne