HO

Fig. 101 Fig. 103

Solution d'Euler pour les deux Solution de Roget pour les deux

moitiés de l'échiquier. moitiés de l'échiquier.

cas. L'ordre des 32 mouvements peut être déterminé par la méthode d'Euler. 11 est, d'ailleurs, évident que si l'on ajoute 32 à chacun des nombres inscrits dans les cases parcourues pendant les Sa premiers mouvements, nous obtenons une suite correspondante de mouvements de 33 à 6A qui couvrent l'autre moitié de l'échi-

quier. ]\Iais, généralement, la case numérotée 33 n'est pas commandée par la case 32 et ne donne pas le passage au cavalier, de même la case 64 n'est pas commandée par i ; Euler, cependant, a montré qu'il était possible d'effectuer les 32 premiers mouvements, de telle sorte qu'en faisant tourner de deux angles droits, la moitié de l'échiquier contenant les mouvements de 32 à 64, les deux routes n'en forment plus qu'une seule rentrante.

En représentant par x et y les coordonnées d'une case "quelconque par rapport à deux côtés consécutifs de l'échiquier, nous pouvons appeler case complémentaire celle dont les distances aux côtés opposés sont respectivement égales à x et y. Ainsi, x ti y désignant la colonne et la rangée d'une case, les deux cases {x, y) et (9 — .T, 9 — y) seront comple'mentaires. Par conséquent, dans la solution d'Euler deux nombres inscrits dans deux cases complémentaires diffèrent de 32 : par exemple, la case (3, 7) est complémentaire de la case (6, 2), l'une est occupée par 67 et l'autre par

La méthode de Roget décrite plus bas peut également être suivie pour donner des solutions par demi-échiquier. Nous en donnons un exemple ci-dessus.

Euler consacre la fin de son mémoire à montrer comment sa méthode s'applique à des figures en croix ou à d'autres rectangles. Nous citerons particulièrement son élégante solution symétrique et en une route rentrante sur un carré de cent cases, c'est-à-dire sur le damier français.

Les recherches sur ce même problème faites dans la suite et présentant quelque intérêt sont dues à Vandermonde ('), qui traita la question par l'arithmétique. L'idée de sa méthode est de tracer au hasard deux ou plus de deux routes indépendantes couvrant l'échiquier, puis de les relier entre elles de façon à n'avoir que la seule

(•) L'histoire de V Académie des sciences pour 1771, Paris, 1774» PP- 566-

Rccréations malhcmatiqncs, II, i5

IIEGREATIONS MATHEMATIQUES

roule cherchée. Il définit la position d'une case sur réchic|uicr par

ce une fraction - dont le numérateur x représente le rang de la case

à partir de l'un des côtés, et dont le dénominateur y désigne son rang à partir du côté adjacent ; ceci revient à dire que x et j sont les coordonnées de la case par rapport à deux côtés consécutifs de l'échiquier. Dans une série de fractions représentant la marche du cavalier, la différence entre les numérateurs de deux fractions consécutives ne peut être que i ou 2, tandis cjue la différence entre les dénominateurs correspondants est respectivement 2 ou i . De plus, X et y ne peuvent être moindres que 1 ou plus grands que 8. Cette notation est commode, mais Vandermonde ne l'a utilisée que pour déterminer une solution particulière du problème pour un échiquier de soixante-quatre cases ; sa méthode est analogue à celle suivie par Euler, elle n'est applicable qu'aux carrés d'un ordre pair. La route à laquelle il est arrivé est définie, au moyen de sa notation, par les fractions suivantes :

La route est rentrante mais non symétrique. S'il avait eu l'idée de transporter les trois premières fractions à la fin de la série, il aurait obtenu deux circuits symétriques de trente-deux mouvements réunis non symétriquement et il lui aurait été possible de donner plus d'extension au problème. Vandermonde examina également le cas du cavalier se déplaçant dans un cube divisé en petits cubes élémentaires.

En 1773, Collini (^) proposa l'usage exclusif de routes symctri-

(*) Solution du problème du cavalier au Jeu des Echecs, Mannheim, 1778.

ques tracées sans lîaîson avec la case initiale, mais réunies ensuite de façon à permettre au cavalier de partir de cette case. C'est là le fondement des méthodes modernes. Cette méthode fut retrouvée, en 1826, par Pratt (^) et en 18/I0 par Roget, depuis elle a été employée par plusieurs auteurs; mais ni Collini, ni Pratt ne montrèrent beaucoup d'habileté en l'appliquant. Nous examinons plus loin la règle donnée par Roget.

L'une des solutions les plus ingénieuses du problème de la marche du cavalier est celle qui fut présentée en 1828 par Warnsdorfr(2). Sa règle consiste à placer toujours le cavalier sur la case d'où il commandera le plus petit nombre possible de cases n'ayant pas encore été occupées. La solution ne donne pas une route symétrique et rentrante et il est difficile de la tracer pratiquement. L'exactitude de la règle n'a pas été démontrée, mais elle a été vérifiée jusqu'ici pour tous les cas examinés ; elle s'applique probablement aussi à tous les casiers rectangulaires pouvant être parcourus d'une façon complète par le cavalier. Chose curieuse, dans la plupart des cas, une faute commise, à moins que ce ne soit dans les trois ou quatre derniers mouvements, ne modifie pas le résultat final.

AVarnsdorfT avait avancé que si, en appliquant sa règle, on trouve que le cavalier a le choix entre deux ou plus de deux cases, il est indifférent de le placer sur une case plutôt que sur une autre. Ceci n'est pas exact, et on a relevé, avec beaucoup d'ingéniosité, deux ou trois cas fautifs, mais pour tomber accidentellement sur une de ces routes défectueuses, il faudrait une mauvaise chance exceptionnelle.

Cette méthode a été appliquée h des figures de formes variées, principalement à des casiers rectangulaires, en forme de croix et circulaires ('). Dans toutes les recherches plus récentes, faites sur

(*) Studios of Chess, 6' édition, Londres, iSaS.

(2) Des Rôsselsprimrjes einjachste und alhjcmeinsle Losaivj, Schmalkalden^ 1823 ; voir Jaenisch, vol. II, pp. 5G-6i, 273-28!).

(3) Voir l'ouvrage do Collini, Del cavalho degli Scacchi, Paris, i836.

cette question, on s'impose comme condition additionnelle que la route doit être rentrante ou, plus généralement, qu'elle doit commencer et finir par des cases déterminées.

La solution la plus complète et la meilleure de toutes celles que nous connaissons — et qui est très peu répandue, pensons-nous — est due au D'' Roget (i). Il divise la route en quatre circuits que Ton peut combiner de manière à permettre au cavalier de partir d'une case quelconque pour arriver à une autre case quelconque de couleur différente. Si, par suite, on choisit cette dernière case parmi une de celles qui sont commandées par la case de départ, on a une route rentrante. D'un autre côté, la règle ne s'applique qu'aux casiers comprenant {/!\ny cases ; on ne peut donc s'en servir, par exemple, pour le damier français qui contient cent cases.

Rogjet commence par diviser le casier de soixante-quatre cases en quatre quartiers contenant chacun seize cases ; ces seize cases à leur tour peuvent être arrangées en quatre groupes dont chacun est constitué par quatre cases formant une route fermée du cavalier. Toutes les cases de chacune de ces routes élémentaires portent une même lettre /, e, a ou p suivant les cas. Ainsi qu'on peut le voir sur la figure I ci-après, la route des quatre cases marquées / et celle des quatre cases désignées par p forment des losanges ; les routes représentées respectivement par les voyelles e et a forment des carrés.

Maintenant les seize cases qui, sur l'échiquier, portent la même lettre peuvent être combinées de façon à constituer un circuit, et quel que soit son point de départ nous pouvons le terminer sur une autre case quelconque, pourvu qu'elle ne soit pas de la même couleur que la case de départ. Si le choix de la case terminus est indif-

(1) Philosophical magazine, avril i84o, série III, vol. XVI, pp. 3o5-3o9 : voir aussi le Qnalerly Journal of Mathematics pour 1877, vol. XIV, pp. 354-359. Quelques solutions basées sur la méthode de Roget sont données dans le Leisure Hoiir, i3 septembre 1873, pp. 587-590; voir également i6id. , décembre 20, 1873, pp. 8i3-8i5.

férent, le circuit peut être rentrant, et dans ce cas nous pouvons faire en sorte que le mouvement du cavalier dans chaque groupe de quatre cases soit le même. Par exemple, toutes les cases marquées p, peuvent être arrangées dans le circuit représenté par les nombres successifs de i à 16 dans la figure 2 ci-après. De même, toutes les cases marquées a jGgurent dans le circuit indiqué par les nombres successifs de 17 à 28 ; toutes les cases / entrent dans le circuit de 33 à 48 et enfin, l'ensemble des cases e nous fournit le circuit de ^9 à 64. Chacun de ces circuits est symétrique et forme une route rentrante. Les circuits sont dits de même espèce lorsqu'ils sont représentés, soit par des voyelles, soit par des consonnes ; ils sont d'espèces différentes lorsqu'ils sonf représentés par des voyelles et par des consonnes.

Le problème général sera résolu en formant avec les quatre cir-

■il

Fig. io3

Fiff. 106

Solution (le Roget.

cuits une route partant d'une case donnée quelconque pour se terminer au soixante-quatrième mouvement sur une autre case également donnée (de couleur différente). A cet effet, Roget donne les deux règles suivantes :

1° Si les cases initiale et finale sont désignées l'une par une consonne et l'autre par une voyelle, on suit alternativement des cir-

23o RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES

cuits represeniés par des consonnes et des voyelles, en commençant par celui (de seize cases) défini par la lettre de la case de départ et en terminant par le circuit défini par la lettre de la case d'arrivée.

2° Si les cases initiale et finale sont désignées toutes les deux par des consonnes ou toutes les deux par des voyelles, on choisit d'abord une case Y appartenant au même circuit que la case finale, Z, et à un mouvement de distance de cette case ; puis on prend une case X appartenant à l'un des circuits différents d'espèce de celui de la case finale Z, et à un mouvement de distance de Y. Cette double opération est toujours possible. Laissant alors momentanément de côté les cases Z et Y, on peut, d'après la règle déjà donnée, voyager de la case initiale à la case X en soixante-deux mouvements, puis de là, à la case finale en deux mouvements.

Il faut noter cependant que dans les deux cas, les cases dans chacun des trois premiers circuits, doivent être choisies de telle sorte que la route n'aboutisse pas à une case d'angle, et il est également préférable qu'elle ne se termine pas sur l'une des cases en bordure. Ceci exige quelques précautions. Autant qu'il est possible, en tenant compte de ces prescriptions, il est avantageux d'avoir les circuits rentrants et de prendre chacun d'eux ou chacun des groupes de quatre cases dans le même sens de rotation.

Comme exemple, supposons que la case de départ soit celle numérotée I dans la figure io3 de la page 229, qui appartient à l'un des circuits p, et que la case d'arrivée soit la soixante-quatrième, qui appartient à l'un des circuits e. Nous sommes dans le cas de la première règle : par suite nous prendrons en premier lieu les seize cases marquées p, puis les seize cases marquées a, ensuite les seize cases marquées / et enfin les seize cases dénotées e. La figure indique l'une des routes à suivre. Elle est rentrante puisque la case soixante-quatre est commandée par la case i. De plus les quatre circuits dans le diagramme sont symétriques, rentrants, et pris dans la même direction, le seul point où il semblerait y avoir une lacune dans l'uniformité de la route et au passage de la case 82 à la case 33.

Une rcgle analogue à celle de Roget pour obtenir des roules rentrantes a été présentée depuis par plusieurs autres auteurs et en particulier par De Polignac (*) et par Laquière (^) qui ont traité longuement le sujet. Ni l'un ni l'autre ne paraissent avoir eu connaissance des théorèmes de Roget. De Polignac, comme Roget, assigne, ainsi que nous l'avons expliqué plus haut, des lettres aux divers carrés, et il avance qu'une règle semblable est applicable à tous les carrés d'ordre pair.

La méthode de Roget s'applique également aux demi-échiquiers, comme le montre la figure de la page 328.

Un autre mode de subdivision du casier en circuits fermés pouvant être réunis a posteriori en une seule route, a été donné en 1843 par Moon (^). Il divise le casier en un carré central contenant 42 cases et une bordure au pourtour (voir la figure ci-après). Cette bordure peut être divisée en quatre circuits fermés, contenant chacun douze cases désignées respectivement par les lettres a, 6, c, d. Le carré central peut être divisé semblablement en quatre circuits fermés, contenant chacun quatre cases représentées par les lettres A, B, G, D. Ces diverses routes se réunissent comme il suit :

Si nous nous déplaçons de dedans en dehors, du carré central à la bordure, on peut sauter de la case A sur l'une des cases b, c ou d (mais non sur la case a) et de même pour les autres lettres. Si nous nous déplaçons de dehors en dedans, de la bordure au carré central, on saute de^a sur D, ou de d sur A, ou de b sur G, ou de c sur B, suivant le cas qui se présente.

Par suite, si la case initiale est a, on peut suivre l'un ou l'autre des cycles oDbCdkcB, ou oDcBdkbC. En appliquant ces règles il est toujours possible de réunir les diverses routes en un seul parcours

(1) Comptes rendus, avril 1861; et Bulletin de la Société Mathématique de France, 1881, vol. IX, pp. 17-24.

(2) Bulletin de la Société Mathématique de France, 1880, vol. VIII, pp. 82-102, i32-i58.

(^) Cambridfje Mathematical Journal, i843, vol. Ill, pp. 233-236.

qui, en général, n'est pas rentrant. 11 est avantageux de choisir les cases dans chaque circuit dans une seule direction et toujours la môme, mais dans la bordure extérieure un circuit ne doit pas aboutir à une case d'angle, et pour éviter que le fait se produise, on peut être dans l'obligation de changer la direction d'un des circuits. La règle de Moon [icut être modifiée de façon à obtenir une route couvrant toutes les cases d'un carré quelconque et la route

Fig. io5 Solution de Moon

Fig. io6 Solution de Jaenisch.

peut commencer et se terminer sur deux cases données quelconques, mais il est inutile d'entrer ici dans de plus longs détails.

La méthode que donne Jaenisch comme fondamentale ne diffère pas essentiellement de celle de Roget. Elle conduit à huit formes semblables à celle du second diagramme ci-dessus dans lequel la somme des nombres dans chaque colonne et dans chaque ligne est 260. Mais bien que la solution soit symétrique elle n'est pas, selon nous, aussi facile à reproduire que celle présentée par Roget.

On n'a pas encore pu déterminer exactement, jusqu'à présent, le nombre des solutions du problème. Legendre {^) a posé la question, mais Minding (^) est le plus ancien auteur qui ait tenté d'y

(*) Théorie des Nombres, Paris, 2^ édition i83o, vol. II, p. i65. (*) Cambridfjc and Dublin Mathematical Journal, i853, vol. III, pp. 1/17t Journal de Crellc, i8,53, vol. XLIV, pp. 73-82.

répondre. Des recherches plus récentes ont montré que, d'une part, le nombre des routes possibles est plus petit (*) que le nombre des combinaisons de iG8 objets pris 63 à la fois, et que, d'un autre côté, ce nombre est plus grand que 3i o54 i44 J ce dernier nombre étant celui des roules rentrantes d'un type particulier (^).

Il existe bien des problèmes du même genre dans lesquels on demande de déterminer les routes permettant à une pièce se déplaçant suivant des lois connues (par exemple une pièce d'un jeu d'échec comme le roi, le cavalier, etc.) de voyager sur un échiquier, en partant d'une case donnée pour arriver à une autre case également donnée, en passant successivement une fois, et une fois seulement, sur toutes les cases de l'échiquier ou sur un certain nombre de cases fixées.

La méthode d'Euler peut servir à la recherche d'une telle roule ; ainsi il l'a appliquée à la détermination de la route rentrante permettant à une pièce se déplaçant successivement de deux cases comme la tour, puis d'une case avec la marche du fou, d'occuper successivement toutes les cases noires d'un échiquier.

Gomme autre exemple, une tour sur un échiquier de 7i^ cases peut toujours être déplacée de manière à passer sur toutes les cases une fois et une fois seulement. De plus, partant d'une case quelconque, si n est pair, sa route peut se terminer sur une autre case quelconque de couleur différente, et si n est impair, sa route peut se terminer sur une case quelconque de môme couleur (').

Il nous paraît suffisant d'avoir traité le problème classique relatif à la marche du cavalier sur l'échiquier ordinaire, et il nous paraît superflu de discuter d'autres problèmes du même genre.

Les dominos. — Tout le monde sait que l'on désigne sous le nom de dominos des espèces de petits parallélépipèdes rectangles

(*) Jaenisch. — Vol. II, p. 268.

(2; Bulletin de la Société Mathématique de France, 1881, vol. IX, pp. 1-17.

(3) L'Intermédiaire des Mathématiciens, Paris, juillet 1901, p. i53.

dont la largeur est double de l'épaisseur et dont la longueur est double de la largeur. La partie inférieure est ordinairement en ébènc ou en un bois noir quelconque, la face supérieure, en ivoire ou en os, est divisée, au moyen d'une ligne, en deux carrés qui sont blancs ou marqués d'un certain nombre de gros points teints en noir.

Le jeu se compose ordinairement de 28 dominos formant les combinaisons complètes de 8 blancs (zéros), 8 as (un), 8 deux, 8 trois, 8 quatre, 8 cinq et six, pris deux à deux.

Quand les numéros inscrits sur les deux moitiés d'un domino sont égaux, le domino s'appelle double.

Voici la notation d'un jeu de domino ordinaire, depuis le double blanc jusqu'au double six.

Fig. 107 On peut aussi la représenter comme suit :

Fig. 108

Dans le Nord de l'Europe on joue avec des jeux comportant un

plus grand nombre de combinaisons. En Russie, les dominos vont jusqu'au double sept, en Angleterre et en Allemagne, jusqu'au double huit, et, en Suède, jusqu'au double neuf; enfm il a été fabriqué des jeux allant jusqu'au double douze.

En France, où le jeu est très répandu, surtout dans le Midi, on fait exclusivement usage du jeu à 28 dominos.

Les dominos paraissent avoir été connus des anciens Grecs, des Hébreux et des Chinois. L'usage s'en répandit à Paris vers le milieu du xviii" siècle.

Quant à l'étymologie du nom, les savants ne sont pas d'accord. On a avancé que ce jeu étant autrefois permis dans les couvents d'Italie, quand un religieux gagnait la partie, il s'écriait en posant son dernier dé : Domino graiias (merci, mon Dieu), d'où vint le mot domino.

Voici d'autres opinions non moins fantaisistes :

<( Parmi les joueurs de dominos, il y a un proverbe qui attribue l'invention de ce jeu à un abbé qui portait le nom de Domino, et qui l'aurait donné à sa merveilleuse découverte ; d'autres prétendent que ce nom vient du nom du camail de chœur des chanoines (noir doublé de blanc), lesquels appelaient ce vêtement du troisième mot du premier psaume des vêpres : Dixit Dominas domino.., parce que c'était surtout aux offices du soir que l'on portait cette partie du costume. Quelques-uns affirment que les dés mi-partis noir et blanc rappelaient tellement l'aspect de l'habit des chanoines dans leurs stalles qu'on leur décerna le nom du camail lui-même. Quoi qu'il en soit, ce fut de l'Eglise que sortirent et le nom d'un jeu et le nom d'un costume de bal.

« Le jeu de domino a une allure peu élégante ; la simplicité de son attitude prévient mal en sa faveur, et on éprouve quelque surprise à le trouver si séduisant et si rempli de hautes pensées ; c'est un savant modeste dont on ne soupçonne pas les mérites, au premier aspect, mais qu'on apprend à aimer ensuite. D'insolentes comparaisons ont tenté de le rabaisser jusqu'à la fraternité du jeu

de l'oie, cette niaiserie renouvelée des Grecs, et du loto, cette loterie des portiers.

« Si quelque chose pouvait ajouter à la considération que nous inspire ce jeu, nous trouverions de nouveaux motifs de Tadmirer dans la noblesse de ses passions. Il est loin de la cupidité : il aime les petits enjeux ; il joue avec économie ; et, pourtant, c'est le jeu qui soulève les plus fougueuses tempêtes, les altercations les plus vives ; il va jusqu'à la vendetta. Son nom est vénitien, son caractère est corse. Il vit surtout par le point d'honneur.

(( Le jeu de dominos a vu naître, mourir et renaître tous les jeux ; il vivra autant que le café, et le café vivra autant que Racine... c'est l'immortalité Q). »)

Faisons connaître maintenant la propriété numérique caractéristique du jeu.

Si l'on fait la somme de tous les points marqués sur les dés d'un jeu et si on divise cette somme par le nombre des dominos, c'est-àdire des dés doubles, on obtient la moyenne de chaque dé.

Cette moyenne est égale à six dans le jeu ordinaire.

Elle est égale à sept avec le jeu allant jusqu'au double sept.

Elle est égale à huit avec le jeu allant jusqu'au double huit.

Nous allons démontrer la proposition pour le jeu ordinaire.

Définissons d'abord ce qu'on appelle dominos complémentaires.

Considérons le domino 2-5 et plaçons au-dessous le domino 4-i î nous voyons que le nombre de points marqués sur chacun des carrés du premier, ajouté respectivement au nombre des points marqués sur les carrés du second domino, forment une somme égale à G.

Deux pareils dominos sont dits complémentaires.

Ainsi le 3-5 et le 3 -i sont complémentaires, il en est de même du 4-3 et du 2-3.

(») Eugène Buiffvlt. — Revue mensuelle Le Palcunede (i5 mars i8/i3).

Mais il peut arriver qu'un domino soit égal à son complémentaire et il en est ainsi pour les quatre pièces suivantes du jeu :

le o-6j le 1-5, le 2-4 et le 3-3.

Prenons alors dans un second jeu tous les dés complémentaires des pièces du premier jeu, ce qui nous donne deux jeux complets représentés par 28 couples de dominos complémentaires, c'est-àdire tels que les points marqués sur les dominos de chaque couple forment le nombre 12.

Le nombre 12 est donc répété autant de fois qu'il y a de couples, soit 28 fois.

Ainsi le nombre des points d'un jeu et du jeu complémentaire, ou ce qui revient au môme, le double du nombre des points d'un jeu est égal à 12 fois le nombre des dominos.

Par suite, le nombre des points d'un seul jeu vaut 6 fois le nombre des dominos, et la moyenne est bien égale à 6.

Cette moyenne ne change pas évidemment lorsque l'on enlève un dé dont la somme des points vaut six, ou deux dés complémentaires. La moyenne est donc encore égale à six si l'on ne tient pas compte des doubles.

D'une manière générale, si l'on suppose qu'un jeu se termine au double-/!, le nombre des dominos est égal à

et le nombre total des points est égal à

Ce nombre n'est jamais égal au carré d'un nombre entier. Cette proposition se démontre rapidement comme suit : En posant n -t- 1 = p, l'expression précédente peut se mettre sous la forme

Or, p et p^ — I étant deux nombres premiers entre eux, le pro-

duit /) [p^ — i) ne peut être un carre parfait que si chacun des facteurs p et/)' — i est lui-même carré parfait.

Mais, on ne peut avoir/;- — i = q^, puisque la différence des carrés de deux nombres entiers consécutifs est égale au double du plus petit, plus un, c'est-à-dire à au moins 3 unités.

On ne peut pas avoir non plus

p (p2 --. i) ^ 2N2 car, d'après ce qui précède, il en résulterait

p^ — I = 2, d'où p- n= 3

et 3 n'est pas un carré.

Nous ne nous arrêterons pas au vocabulaire et aux règles du jeu que l'on trouve dans tous les traités spéciaux, nous nous contenterons d'en exposer sommairement la marche.

Le jeu de dominos se joue de plusieurs façons différentes, d'après les pays et les localités, mais on peut les ramener à deux types principaux, la partie en têle-à-têle et le domino voleur. La distribution des dominos se fait toujours de la même manière ; on les retourne h l'envers de façon que les points soient cachés ; on les mêle avec la main et chaque joueur en prend un pour savoir qui aura l'avantage de la pose ; ce droit est acquis au plus fort numéro. Ensuite on remêle les dominos et chaque joueur en prend un nombre égal qu'il range devant lui ou tient dans sa main de façon à cacher ses points à l'adversaire. Les dominos restants forment la réserve ou le talon.

Partie en tête-à-tête. — Les joueurs sont, en général, deux : chacun prend sept dominos et il en reste i4 au talon. Celui qui a la pose met sur la table le do dont il lui convient de se débarrasser, en général le plus fort.

Le second joueur pose à son tour à côté du premier dé un domino qui doit porter sur une des moitiés de la face supérieure un nombre égal à celui qui est formé par les points sur une des moitiés du premier dé. Le jeu se continue tant que les joueurs ont des

dés qui se correspondent ainsi. Si l'un d'eux vient à ne plus en avoir, il boude, c'est-à-dire cesse de jouer pendant que l'autre continue à placer ses dominos, jusqu'au moment où il retrouve l'occasion de placer un des siens. La partie est gagnée par le joueur qui le premier fait domino, c'est-à-dire s'est débarrassé de tous ses dés. Mais, parfois, les dés sortis ne permettent pas d'aller jusqu'au bout, si aucun joueur n'a le numéro correspondant du dernier dé posé à chaque extrémité. Dans ce cas, les joueurs abattent le jeu et celui qui a le plus grand nombre de points a perdu. En général, on joue en un certain nombre de points, cent cinquante par exemple, et le gagnant de chaque partie compte autant de points qu'il y en a dans les dominos non placés de son adversaire.

Dans la partie en tête-à-tête on peut prendre plus ou moins de sept dés, selon les conventions. Pour gagner, il s'agit de faire le premier le nombre de points convenus et on doit tâcher d'avoir en mains les plus faibles numéros quand le jeu se ferme. On peut encore jouer en péchant au lieu de bouder : quand un joueur n'a plus aucun domino qu'il puisse placer, il doit puiser dans la réserve jusqu'à ce qu'il en trouve un bon ; les joueurs peuvent convenir que Ton ne puisera que deux dés. On peut jouer à trois ou quatre chacun pour soi de la même manière ; dans la partie dite de la poule, chacun met un certain enjeu et le premier qui fait cent points le gagne.

Le domino voleur se joue à quatre, deux joueurs associés contre les deux autres. Chaque joueur prend six dés et il en reste quatre au talon. Après la pose du premier dé le joueur placé à la droite du premier continue la pose et ainsi de suite. Si un joueur boude, c'est son voisin de droite qui continue. Celui qui le premier fait domino compte pour lui et son partenaire autant de points qu'il en reste dans les deux jeux de leurs adversaires ; si le jeu est fermé, les partenaires qui ont le moins de points dans leur jeu que l'on abat comptent pour eux les points réunis des adversaires. Si les points sont égaux, la partie est nulle et la main suit à droite. On joue ordinairement en cent points. La partie est simple si les points sont

marqués alternativement par les deux camps ; elle est dite petite bredouille si un camp atteint cent points sans interruption, les adversaires ayant déjà compté ; et grande bredouille si un seul camp marque à la file tous les points. On paye double dans le second cas, triple dans le troisième.

La chance est importante aux dominos : mais la mémoire et l'attention sont indispensables pour bien jouer.

Le domino à qui perd gagne. — Une partie fort intéressante consiste, en suivant les règles ordinaires du jeu, à chercher à conserver en main le plus grand nombre de points et pour cette raison on la désigne sous le nom à qui perd gagne.

A ce jeu, le coup est arrêté quand l'un quelconque des joueurs ferme ou fait domino. Alors, chaque camp compte ses points ; le gagnant est celui qui en a le plus grand nombre et il marque à son actif le total de ses points.

La partie à qui perd gagne peut se jouer à deux, à trois ou à quatre.

Les coups maxima. — Dans la partie de domino à quatre chacun pour soi, si les joueurs prenaient chacun sept dés, et s'il n'y avait plus, par conséquent, de talon, il pourrait se présenter plusieurs dispositions curieuses dans lesquelles le premier joueur gagnerait nécessairement la partie, pendant que le deuxième et le troisième joueur ne pourraient poser un seul dé.

Considérons, par exemple, les quatre joueurs A, B, C, D et donnons au premier A, les quatre premiers blancs et les trois derniers as, c'est-à-dire les dominos

GO, oi, 02, o3, i4. i5, i(),

au quatrième D, les trois autres blancs, les trois autres as et un domino quelconque, c'est-à-dire les pièces

o4, o5, 06, II, 12, 12 et un domino.

Les joueurs B et C se partagent les dominos qui restent.

Dans ce cas, A gagne nécessairement la partie après la pose des

PROBLÈMES DES TRACÉS CONTINUS 2/iI

treize dominos désignés ci-dessus, tandis que B et C n'ont pu poser aucun des dés qu'ils possèdent.

Le nombre total des points de ces i3 dés étant égal à ^8, le premier joueur gagne donc 120 points en un seul coup ; c'est le coup maximum.

La partie se résume ainsi :

A. pose le double blanc ; B et G boudent et bouderont chaque fois, car A s'arrange toujours de manière à placer du blanc ou de l'as aux extrémités du tableau ; D peut poser l'un des trois blancs qu'il possède o4, o5, 06. Le premier joueur, A, posera l'as correspondant 4i» 5i, 61. Puis si D pose le 11, le 12 ou le i-3, A répondra par 10, 20 ou 3-0 et finira toujours par poser tous ses dés.

En échangeant le blanc ou Tas avec l'un quelconque des points 2, S, II, b, 6, an obtiendrait d'autres parties semblables à la précédente. Le nombre de ces parties est donc égal au nombre des combinaisons simples de 7 objets pris 2^2, c'est-à-dire à 21. Mais il faut ajouter que la probabilité de la rencontre d'une telle partie dans le tirage au sort des dés est extrêmement petite.

Nous ferons une observation du même genre au sujet du coup maximum de 106 points que deux associés peuvent atteindre au domino voleur. Ce coup fourni par les 12 plus gros dés, peut se présenter de la façon suivante :

Le joueur A possède trois blancs et les autres blancs restent au talon. Les trois blancs en main sont 0-0, o-i et 0-2.

Le deuxième joueur B ne possède pas d'as et le quatrième D n'a pas de deux. Voici la notation du coup :

0-0. boude, boude, boude, o-i. boude. 1-2. boude. 2-0 et le jeu se trouve fermé.

On compte et les joueurs B et D se trouvent posséder les 1 2 plus gros dés.

Dans la partie à deux personnes, le coup maximum de 69 points

Récréations mathématiques, II. 16

RÉGRÉAT10>ÎS MATHEMATIQUES

peut se produire, quand l'un des joueurs compte avec ses 7 des et que ceux-ci sont les plus gros de tous.

Le matador. — On désigne sous le nom de malador une façon particulière de jouer reposant sur ce principe qu'un domino étant posé, il faut que le dé suivant complète le nombre de sept points, au moyen de sa moitié avancée à côté de la moitié du dé précédent.

Si, par exemple, le premier joueur pose le li-b, il faut que le joueur suivant avance soit un 2 (à droite), soit un 3 (à gauche), de manière que les points marqués sur les deux moitiés en contact donnent le nombre 7.

Ce nombre s'obtient facilement avec les dominos marqués ; mais il y a les blancs, avec lesquels aucun dé ne pourrait former sept, si l'on n'avait admis que, pour ne pas fermer le jeu, il y aurait quatre matadors ayant la propriété de le rouvrir et de faire passer les blancs.

Pour le jeu ordinaire de 28 dés, les quatre matadors sont le 6-1, le 5-2, le 4-3 et le double-blanc.

Si l'on admet qu'après un blanc, on puisse jouer un matador, et qu'après ce dernier on puisse avancer un blanc, les 38 dés possè* dent la propriété de former un cercle ininterrompu de dés. Pour

2 I 4 } 3 I s j 4]T"i 3 i 0 hr 0 I 5 j 2 I 6 I 1 I 4. I 3 I 6 I 1 •{ 1 fr. | G

iTinT^]TlTr^^uhi5|4|3hT^Fi^R

Fig. lOQ

donner un exemple^ posons un dé quelconque, pris au hasard, le 3-6 par exemple, et nous arriverons forcément au cercle suivant ou à tout autre qui lui sera équivalent,

mOBLÈMES DES TRACES CONTINUS 243

On parviendra toujours à un résultat analogue, en ayant soin de reserver le matador qui porte le point par lequel commence la série. Dans le cercle ci-dessus, le point 2, se trouvant le premier, nous avons réservé le matador 2-5, qui a été ensuite posé sans qu'il empêchât le cercle d'être fermé ; si on avait commencé par un blanc, nous aurions réservé le double blanc, etc. Le cercle peut être coupé n'importe où et rester fermé si l'on porte le matador convenable au point de coupure.

Cette propriété des dominos cesse d'exister si l'on n'admet la pose d'un blanc après un matador que lorsque ce matador est le double blanc.

Dans ce cas, il reste toujours un blanc, après lequel le jeu est fermé. En jouant convenablement, il est possible d'arriver à poser presque tous les jetons, si l'on a soin de réserver un blanc pour la fin ; mais le cercle des nombres sept n'est pas complet.

Les règles du jeu sont les suivantes :

Chaque joueur tire un domino, et la pose appartient à celui qui a le point le plus élevé. Il mêle et prend 3 dés, quand les autres se sont servis.

Il pose un domino et chacun doit couvrir en formant sept points, comme nous venons de l'expliquer. Quand un joueur ne peut fournir le point convenable, il peut jouer un matador s'il en possède dans son jeu ; s'il n'en possède pas, il pêche jusqu'à ce qu'il ait puisé dans le talon un domino lui fournissant le point, ou un matador.

On peut donc placer le matador où l'on veut. On ne peut couvrir un matador par .un blanc (sauf quand il s'agit du double blanc) ; on doit le couvrir en complétant le nombre 7 avec les points de l'une de ses moitiés. Quelquefois on donne plus de valeur au matador en convenant que celui qui l'avance, au lieu de le poser verticalement, le posera dans le sens qu'il voudra, et que le joueur suivant sera forcé de couvrir sur le bout resté libre.

La possession d'un matador est indispensable pour ouvrir le jeu fermé par un blanc.

Le droit de jouer un matador n'est pas limité; on peut même couvrir un matador par un autre, et on a le droit de conserver un matador pour ne pas rouvrir le jeu si l'on estime qu'il y a avantage à le laisser fermé.

On joue ordinairement le matador à deux ; mais trois ou quatre joueurs peuvent y prendre part. On peut convenir que le vainqueur sera celui qui fera le premier domino ou qui aura le moins de points quand le jeu sera fermé ; ou bien encore on joue en loo ou i5o points.

Pour tout le reste, les règles, les fautes et les pénalités sont les mêmes que dans le jeu ordinaire.

A moins de convention contraire, on joue des deux côtés du jeu; quelquefois cependant on préfère ne jouer que d'un seul côté, soit de droite à gauche, soit de gauche à droite.

Voici quelques remarques utiles :

Puisqu'il est impossible de poser contre un blanc autre chose qu'un matador, on doit s'efforcer de faire jouer l'adversaire sur les blancs pour diminuer ses chances de posséder ensuite des matadors.

Quand on suppose, par la marche du jeu, que l'adversaire possède des blancs, on s'efforce, aussi longtemps que possible, de l'empêcher de les poser.

On ne pose soi-même de blanc que lorsqu'on possède un matador.

On joue quelquefois le matador avec un jeu de 55 dominos, dont le double neuf est le plus élevé ; le double sept forme alors un cinquième matador, sur lequel l'adversaire doit en jouer un autre.

Cinq partout ou muggins. — Cette variante du jeu est très répandue en Angleterre ; elle exige beaucoup de pratique et de calcul.

Deux, trois ou quatre joueurs peuvent y prendre part en même temps et prennent le même nombre de dominos, pourvu qu'il en reste au moins deux au talon et que chaque joueur n'en ait jamais plus de sept.

Les dominos se mêlent et se servent comme dans les autres jeux.

Le principe du muggins est de poser les dominos de façon que les deux extrémités libres du jeu forment un total de 5 points ou d'un multiple de cinq.

Les doubles se posent transversalement, et cette position, facultative dans la plupart des autres parties, est ici absolument obligatoire pour des raisons que l'on comprendra par ce qui suit :

Chaque cinq ou multiple de cinq que l'on forme en posant un domino, par le total des points marqués sur les extrémités libres du tableau, vaut un point à celui qui vient de jouer.

Chaque joueur doit avoir à son tour le droit de jouer le premier, en allant de droite à gauche dans chaque partie.

Le vainqueur est celui qui atteint le i^'' le nombre de 3i points.

Donnons un exemple.

Le premier joueur, par exemple, avance le double cinq et marque 2 points. Ce domino est le meilleur qu'un joueur puisse posséder quand il est le premier à jouer : il produit 2 points et empoche de compter le joueur suivant, si celui-ci n'a pas le cinq blanc.

Supposons que le deuxième joueur ne puisse jouer que le 5-6, les deux extrémités libres du jeu formeront un total de to + 6 = i6. Donc rien à marquer.

Le domino suivant étant un 5-4 posé du côté du double cinq, le joueur qui Ta posé comptera 2 points, puisque les extrémités libres donnent 6-|-4=io = 5 X 2.

Le joueur suivant n'a pas de 4 et se voit forcé de poser le double six (transversalement) ; il n'a donc rien à compter attendu que les extrémités donnent 6 X 2 -i- 4 = i6.

Mais celui qui vient après lui a le double quatre ; il le pose transversalement, ce qui fait 8 points à un bout et 12 à l'autre, soit 20 points. Le joueur marque 4 points et c'est le plus grand nombre de points qu'il est possible de faire en un seul coup.

La figure ci-dessus donne la disposition^de la partie.

246 HÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES

On continue ainsi jusqu'à épuisement des dominos. Tout dé produisant un ou plusieurs points doit être appelé à haute voix par le joueur.

Troia partout. — C'est une modilication du muggins. 11 faut, pour gagner un ou plusieurs points, que le total des points des extrémités libres soit 3 ou un multiple de 3.

Pour gagner la partie, il faut arriver h 5o points. On peut marquer I, 2, 3, 4. 5 ou 6 points a la fois, suivant que les extrémités forment un total de 3, 6, 9, la, i5 ou 18.

Le 3 peut être obtenu quand il y a double as a un bout et as a l'autre, ou quand on a blanc à une extrémité et 3 à l'autre. Le point le plus élevé que l'on puisse marquer d'un seul coup est 6, que l'on obtient avec un double six à un bout et six ou double trois à l'autre.

Dispositions rectiîignes des dés d'un jeu ordinaire. —

Considérons une disposition rectiligne quelconque des dés d'un jeu. D'après la règle, deux dés consécutifs doivent se toucher par des points équivalents. On voit alors facilement que l'élément fmal est le même que l'élément initial, c'est-à-dire que si le tableau commence, par exemple, par un 4, il se terminera nécessairement par un 4, à la condition d'employer tous les dominos.

Observant, en effet, que si on enlève tous les doubles d'une combinaison rectiligne quelconque, et si on rapproche les pièces restantes de manière à rétablir la continuité de la chaîne, on obtient encore une combinaison rectiligne remplissant les conditions du jeu. Chaque point étant inscrit sur 6 dominos, le point initial doit se rencontrer encore en cinq autres endroits de la combinaison rectiligne. Mais dans l'intérieur de celle-ci, chaque point se présente deux fois de suite : d'abord comme seconde moitié d'un dé, puis comme première moitié du dé suivant. Il résulte de là que l'élément initial, ne pouvant figurer qu'un nombre pair de fois dans l'intérieur de la combinaison, ne s'y rencontrera que 4 fois, et devra

PROBLÈiMES DES TRACÉS GOISTJNUS 2^7

nécessairement se trouver à un endroit où il ne sera pas suivi d'un point égal, c'est-à-dire à l'autre extrémité de la combinaison.

Cette démonstration s'applique a. tous les jeux de dominos qui se terminent par un double pair (double quatre, double six, double huit, etc.).

Lorsque le jeu se termine à un double impair (double trois, double cinq, double sept, etc.) il n'est plus possible de former des dispositions rectilignes suivant les règles du jeu en employant tous les dés.

Remarquons, en effet, que dans un jeu de dominos composé de toutes les combinaisons complètes des points de o à (2 m — i), chacun des points, à Vexclasion des doubles, se trouve répété (art — i) fois. Dès lors, aussitôt qu'un point différent du point initial aura été répété (2 n — i) fois, il sera impossible de placer un nouveau domino, puisqu'il n'y aura plus de domino contenant ce point. Quant au point initial, il pourra être répété (2 n — i) fois sans fermer le jeu. Il résulte de là que le nombre maximum de points que l'on peut placer d'après les règles du jeu, à l'exclusion des doubles, comprendra : 1° les 2 points extrêmes, répétés (2 n — i) fois ; 2" les autres points, en nombre (2 n — 2), répétés (2 n — 2) fois. Ce nombre maximum sera donc

le nombre maximum des dominos composant la disposition rectiligne est la moitié du précédent, ou

2 rt^ — 2 n -h I .

Le nombre total des dominos étant, sans les doubles, égal à n [2 n — 1), il reste toujours un laloii contenant au moins (n — i) dominos.

Il n'y a d'exception que pour n= i, c'est-à dire dans le cas où la disposition rectiligne ne comprend qncle seul domino blanc-as (^).

(1) Cette démonstration est de Delannoy. Voir Lucas, Récréations mathématiques, tome ir, p. 65.

2/18 RÉCUKATIONS MATHÉMATIQUES

Il résulte de tout ce qui vient d'être dit que si on retire d'un jeu ordinaire (ou plus généralement d'un jeu qui se termine à un double pair) un dé quelconque qui ne soit pas un double, le 3-4 par exemple, les diverses dispositions rectilignes qu'il est possible de former avec les autres dés en partant d'un domino quelconque et en appliquant la règle du jeu pour la pose successive des dés, seront terminées à l'une des extrémités par un 3 et à l'autre par un 4.

On peut mettre à profit cette propriété pour exécuter une récréation qui excite généralement l'étonnement des personnes qui la voient pour la première fois.

On dispose sur une table tous les dominos retournés, on les mêle et en exécutant cette opération, on en subtilise un adroitement. On le regarde en cachette, en s'assurant que c'est un dé composé, soit le S-li. On invite alors une personne de la société à tirer un dé au hasard et à l'abattre face découverte. On paraît alors s'absorber mentalement dans de longs calculs à la suite desquels on prie la personne de placer tous les dominos en partant de celui déjà posé et en suivant les règles du jeu, de la façon qu'elle voudra, en lui annonçant à l'avance que la chaîne se terminera d'un côté par un 3 et de l'autre par un 4-

Le tour exécuté, on peut recommencer l'opération, en remettant le 3-4 dans le jeu et en enlevant un autre domino.

Nombre des dispositions rectilignes- — Nous avons vu qu'en rangeant les pièces d'un jeu de dominos ordinaire les unes à la suite des autres d'après la règle du jeu, on formait ce que nous avons appelé une disposition rectiligne dans laquelle l'élément final est nécessairement le même que l'élément initial.

On peut se proposer de déterminer le nombre des dispositions rectilignes qu'il est ainsi possible de réaliser avec un jeu ordinaire.

La question a été posée sous forme de problème dans le tome VIII des Nouvelles annales de mathématiques (p. 74) et résolue par le

D"" Reiss, de Francfort dans un mémoire (^) in-4° de 58 pages, inséré après sa mort dans le tome V des Annali di matematica pura ed appUcala(Tp. 63-i20, Milan, 1871).

Reiss,dont la méthode est fort longue, considère les combinaisons circulaires. On comprend aisément qu'on peut les obtenir en partant d'une disposition rectiligne quelconque que l'on replie sur elle-même de manière à amener en contact les moitiés extérieures des deux dés placés aux extrémités.

Dans ces combinaisons circulaires, tous les points se présentent deux fois de suite, à trois reprises différentes. Chaque dé peut être regardé comme dé initial. Mais on doit tenir compte du sens dans lequel les dominos se succèdent, c'est-à-dire aller de droite à gauche ou de gauche à droite.

Une combinaison circulaire quelconque étant formée après avoir enlevé les doubles du jeu, chacun de ces doubles peut y être intercalé à trois places différentes.

Si donc nous désignons par G le nombre des combinaisons circulaires distinctes ne contenant aucun double, l'addition d'un premier double, du double trois par exemple, aux trois places qu'il peut prendre, donnera 3 fois plus de combinaisons distinctes ou 3 G. L'adjonction d'un nouveau double ^triplera le nombre précédent.

Par conséquent on obtiendra le nombre des combinaisons circulaires avec doubles en triplant 7 fois de suite le nombre des combinaisons circulaires G formées en excluant les doubles ; ce nombre est donc

Partons maintenant de l'une quelconque des combinaisons circulaires des 28 dominos ; en prenant successivement comme dé initial chacun des 28 dés qu'elle contient, il en résultera 28 combi-

(1) Evaliialinn du nombre de combinaisons desquelles les 28 des dhin jeu de domino sont susceptibles d'après la rcylc de ce jeu.

25o héchéations mathématiques

naisons rectilignes distinctes. On conclut de là que le nombre total de ces dernières est égal à

La question est donc ramenée au calcul de G. Reiss a trouvé que le nombre G des combinaisons circulaires était égal à

il en résulte que l'on a pour le nombre des combinaisons rccti-. lignes

et l'on doit doubler ces deux nombres si Ton ne tient pas compte du sens.

Au Gongrès de VAssociation française pour Vavancement des sciences, tenu à Nancy en 1886, G. ïarry a exposé, dans un mémoire des plus intéressants, une méthode ingénieuse fournissant rapidement les résultats auxquels était arrivé Reiss, mais avant de faire connaître cette méthode, nous croyons devoir dire quelques mots de celle donnée par Lucas pour un jeu allant jusqu'au double quatre (^).

Lucas ne passe pas par les dispositions circulaires et comme Reiss il supprime les cinq doubles 0-0, i-i, 2-2, 3-3 et li-^.

Il considère, de plus, comme distinctes deux combinaisons rectilignes qui ne diffèrent que par l'ordre de succession des dés, en les disposant soit de gauche à droite, soit de droite à gauche. En écrivant, dans le sens ordinaire de gauche à droite, les points des dominos d'une disposition rectiligne, chaque point se trouve répété deux fois consécutivement, à l'exception du premier et du dernier ; pour simplifier, on n'écrit qu'une fois deux points consécutifs, et on supprime le dernier point égal au premier. Il en résulte que la notation d'une disposition rectiligne est constituée par une suite de

(1) Lucas. — ' Récréations malht'matiqiics, tome II, p. G8-7T.

dix cliiiTres contenant deux fois chacun des chiffres 0,1,2, 3, 4 ; de plus, le voisinage de deux chiffres quelconques tels que r et 3 devra se présenter une fois et une seule, en considérant comme voisins le premier et le dernier chiffres.

Ainsi, par exemple la notation

représente une disposition rectiligne formée successivement par les dominos blanc-as, as-deux, deux-blanc,... trois-qualre, quatre-blanc.

On comprend que, partant d'une disposition rectiligne, il est possible d'en déduire un certain nombre d'autres en permutant d'une manière quelconque les points 0,1. 3, 3, 4 ; mais les dispositions obtenues ainsi ne seront pas toujours distinctes.

Il y a donc lieu de rechercher les solutions élémenlaires, c'est-àdire les solutions qui permettent d'obtenir toutes les autres par permutation des élémxcnts 0,1, 2, 3, 4. Par un numérotage de convention, on peut toujours désigner par o, le premier point, par i le suivant, dételle sorte que le premier domino sera 01. Le point suivant sera désigne par 2, et les trois premiers chiffres de la solution élémentaire sont nécessairement 012.

Le quatrième point peut être égal au premier, ou représenter un point nouveau que nous désignerons par 3 ; en continuant cette discussion, on trouve assez facilement les vingt-deux notations suivantes, rangées dans l'ordre numérique.

Ol2o3l4234

Ol23l4o342

oi2o3i4324

oi2o3243i4