OI
YI
Ol203423l4
Ol23 4o3l42
OJ23 4l3o24
OT23 4l3o42
oi23 42o4i3
Si l'on renverse l'ordre des chilTres de l'une quelconque de ces notations, en donnant aux points le numérotage de convention indiqué, on retombe nécessairement sur l'une de ces notations : mais deux cas sont à distinguer. Dans le premier cas, la notation retournée et numérotée reproduit la même notation ; la solution est alors dite symétrique. Dans le second cas, on en reproduit un autre qui est appelée dissymétrique.
Les notations symétriques sont au nombre de six, savoir :
1, IV, XI, XVI, XX et XXII ; les notations dissymétriques de rangs
II, V, VI, IX. X, Xïl, XVII et XVIII. ont respectivement pour inverses
III, VII, VIII, XIII, XV, XIV. XXI et XIX.
Pour déterminer le nombre des combinaisons rectilignes distinctes, sans tenir compte des doubles, remarquons que le nombre des permutations de cinq objets est égal à
1 X 2 X 3 X 4 X b ou 120 ;
toute notation symétrique donne 6o dispositions distinctes ; toute notation dissymétrique et son inverse donne 120 dispositions; on a donc au total
8)120 ou 1820
dispositions rectilignes, abstraction faite des doubles.
En tenant compte des . doubles, on voit que l'un quelconque d'entre eux peut occuper 3 places différentes suivant la disposition rectiligne considérée et que les 4 autres ne peuvent occuper que 2 places.
Par suite, le nombre lolal des dispositions rectilignes du jeu de dominos terminé au double quatre est
I 320 X 3 X 2^ :== a'' . 32 . 5 . II == 63 36o.
Méthode de Tarry. — La méthode ingénieuse de Tarry repose sur cette remarque de Laisant.
Si l'on supprime les doubles du jeu de dominos ordinaire, il reste 2 1 dés que l'on peut figurer de la manière suivante. Traçons un heptagone convexe et l'ensemble de ses diagonales, ou si l'on aime mieux, marquons sur un plan sept points numérotés 0,1,2,3,4,5,6 et joignons-les deux à deux de toutes les manières possibles.
La ligne i-3 peut être considérée comme représentant l'as-trois, la ligne 2-4 représentera le dé 2-4, la ligne 0-5 représentera le dé blancquatre, et ainsi de suite. Par conséquent, le problème consistant à disposer en rond les 21 dés du jeu de dominos, sans les doubles, revient à décrire d'un seul trait continu la figure ci-contre, en passant sur toutes les lignes une seule fois, sans faire sauter la plume ou le crayon, et sans fragmenter les diagonales, Mais, puisque chaque double peut occuper trois places dans une disposition ■circulaire, et qu'il y a sept doubles, on multipliera le résultat obtenu par 3"^ =2 187 pour avoir les dispositions circulaires des 28 dominos.
Ce dernier résultat devra être multiplié par 28 pour obtenir [le nombre des dispositions rectilignes.
Cela posé, Tarry considère comme un [labyrinthe le réseau géométrique constitué par les côtés d'un polygone et ses diagonales.
Il appelle labyrinthe rentrant un labyrinthe tel qu'à chaque point de son parcours aboutisse toujours un nombre pair d'allées.
254 RÉGRÉATIOIMS MATHEMATIQUES
Les points du parcours auxquels aboutissent plus de deux allées sont les carrefours du labyrinthe et il désigne spécialement sous le nom d'impasse toute allée dont les extrémités aboutissent à un même carrefour.
Puis il établit les deux théorèmes suivants :
Théorème des impasses. — SI dans un labyrinthe renlranl on supprime une impasse, le nombre de parcours distincts du labyrinthe ainsi réduit, multiplié par le nombre de ses allées qui aboutissent au carre- Jour situé sur Vimpasse supprimée, est égal au nombre de parcours distincts du labyrinthe primitif. On aura bien soin de compter par deux allées chacune des autres impasses qui pourraient être annexées à ce carrefour.
Désignons par N le nombre de parcours distincts du labyrinthe réduit et par 2 n le nombre de ses allées aboutissant au carrefour situé sur l'impasse supprimée.
Je dis que le nombre de parcours distincts du labyrinthe primitif est égal à N X 2 n.
En effet, considérons l'un quelconque des N parcours distincts du labyrinthe réduit.
Dans ce parcours on passera n fois par le carrefour de l'impasse supprimée, et à l'un quelconque de ces n passages, l'on peut interrompre le parcours en arrivant au carrefour de l'impasse, parcourir entièrement cette impasse, ce qui peut se faire dans deux sens différents, et revenu au carrefour, achever le parcours commencé.
Il résulte de là que chacun des N parcours distincts du labyrinthe réduit fournira 2 n parcours distincts du labyrinthe primitif.
Les N parcours distincts du labyrinthe réduit fourniront ainsi N X 2/1 parcours du labyrinthe primitif.
Il est évident que ces N X 2 n parcours du labyrinthe primitif sont tous distincts, et qu'il n'existe pas d'autres manières de parcourir en une seule course le labyrinthe primitif.
Le théorème est donc démontré.
Corollaire, •— Si à un carrefour aboutissent 2 (n -j- /c) allées,
dont 2 k appartiennent à A: impasses, le nombre de parcours distincts du labyrinthe proposé est égal au produit de
par le nombre de parcours distincts du labyrinthe réduit obtenu par la suppression dos k impasses du labyrinthe proposé.
En effet, ajouter successivement chacune de ces k impasses au labyrinthe réduit revient à multiplier successivement les nombres de parcours distincts par
2n,2(n-\-i), 2(ai -h 2) , ... , 2{n -\- k ~ i).
On voit ainsi que le théorème des impasses 'permet d'éliminer les impasses du labyrinthe proposé et de ramener le calcul du nombre de parcours distincts au cas où le labyrinthe ne possède plus d'impasses.
Théorème des carrefours. Etant 'donné un labyrinthe rentrant sans impasses et comprenant k carrefours, si Von désigne par 2 n le nombre d'allées aboutissant à Van de ses carrefours, N, le nombre de parcours distincts du labyrinthe proposé est égal à la somme des nombres de parcours distincts deiX^X^X']X ... X {2 n — i) labyrinthes rentrants ne comprenant plus que k — i carrefours.
Ces 1 x3x5X7X... X (2/1 — i) labyrinthes nouveaux s'obtiennent en groupant enn couples de deuof allées, de toutes les manières possibles, les 2 n allées aboutissant au carrefour N, et en remplaçant ensuite, dans chacun de ces groupements, chaque couple de deux allées par une allée nouvelle joignant les deux carrefours où aboutissent les extrémités de ce couple d'allées ou, dans le cas particulier où les deux allées du couple aboutissent à un même carrefour, par une impasse passant par ce carrefour.
Groupons \o& 2 n allées du carrefour N par couples de deux allées de toutes les manières possibles.
Nous obtenons ainsi (2 n — i) (2/1 — 3) ... 5.3.1 groupements différents.
A chacun de ces groupements faisons correspondre tous les par-
cours du labyrinthe proposé dans lesquels, à chaque passage parie carrefour N, l'allée qui y conduit et l'allée qui en éloigne appartiennent à un couple du groupement considéré.
Il est aisé de voir que le nombre de parcours cherché sera égal à la somme des nombres de parcours distincts correspondant à chaque groupement, de la manière qui vient d'être indiquée.
Ceci admis, considérons les parcours de l'un de ces groupements, et examinons les n couples de deux allées qui le composent.
Dans chacun de ces n couples, les deux allées, considérées comme issues du carrefour N, aboutissent soit à deux carrefours différents A, B^ soit à un même carrefour G.
Dans le premier cas, nous pouvons évidemment remplacer les deux allées NA, NB, par une allée nouvelle AB, reliant les carrefours A et B, sans changer le nombre de parcours, car cela revient à remplacer les trajets ANB ou BNA par les trajets équivalents AB ou BA.
Dans le second cas, on voit aussi clairement que les deux allées reliant les deux carrefours N et G peuvent être remplacées par une impasse passant par le carrefour G.
Le théorème est donc démontré complètement.
En appliquant aux nouveaux labyrinthes la méthode d'élimination d'impasses et de réduction du nombre de carrefours, nous arrivons forcément, par réductions successives, à n'avoir plus à considérer que des labyrinthes sans impasses ne comprenant plus que deux carrefours, et le problème pourra être résolu.
On démontre, en effet, avec la plus grande facilité, que le nombre de parcours distincts d'un labyrinthe ne comprenant que deux carrefours reliés par 2 n allées est égal à
en tenant compte du sens du parcours.
Remarque. — Un labyrinthe qui n'a que deux points impairs peut aussi être parcouru entièrement en une seule course en ne passant qu'une fois par chaque allée.
PROBLÈMES DES TRACÉS CO?îTI?îUS
On voit aisément que le nombre de parcours distincts de ce labyrinthe est le même que celui du labyrinthe rentrant que l'on obtiendrait en ajoutant une allée nouvelle reliant les deux points impairs (^).
Appliquons ces propositions au cas déjà examiné par Lucas, c'està-dire au jeu de dominos allant jusqu'au double-quatre.
Considérons le reseau géométrique 01284 formé par un pantagone et ses diagonales.
Au carrefour 0 aboutissent t\ chemins a, 6, c, d, que l'on peut
Fig. ii-î-iiS-ii^-iiS souder ensemble deux à deux, de toutes les manières possibles, a et 6 d'une part avec c et d d'autre part, donnent B. a et c — avec 6 et ci — G.
a Qïd — avec 6 et c — D.
Le carrefour 0 se trouve aussi supprimé, et le nombre des parcours de la figure A est égal à la somme des nombres de parcours des trois figures B, C, D.
[i) Association française pour l'avancement des Sciences, i(S86. Séance du i3 août. — Tarry : Géométrie de situation : nombre de manières distinctes de parcourir en une seule course toutes les allées dhin labyrinthe rentrant, en
passant quune seule fois par chacune des allées.
Récréations mathématiques, II. i<y
Considérons l'un quelconque de ces nouveaux labyrinthes, le labyrinthe D par exemple, et supprimons le carrefour marqué 3. Ceci peut se faire de trois manières.
La soudure de e et ^ d'une part avec y et h de l'autre, donne E
La soudure de e et /i — avec / et ^ — la
même figure E,
Enfin la soudure e et/ et la transformation des deux allées g, h en une impasse nous donnent le labyrinthe F.
Donc
En opérant sur les réseaux B et G on arrive à des décompositions identiques, on en conclut que les trois labyrinthes B, G, D sont équivalents et on peut poser.
Considérons maintenant le réseau E et supprimons le carrefour 2.
Fig. 117
Ceci peut encore se faire de trois manières.
En soudant i et / d'une part, A: et m de l'autre Ou i et m — k eil —
on obtient deux fois le labyrinthe G.
En transformant les deux allées i, k en une impasse aboutissant
ig. ni
au carrefour A, et les deux allées /j m en une seconde impasse, on ôttieiit là figuré H.
PROBLÈMES DES TlUGÉS COISïmLS 269
Donc
Er=z2G-hH.
D'autre part dans le labyrinthe F on peut supprimer l'impasse du carrefour 2 et souder les deux allées p, 9, ce qui nous fournit encore le réseau G.
Ceci posé, le réseau G nous donne 2X3X2 = 12 parcours si l'on tient compte du sens et 6 parcours si l'on ne tient pas compte du sens.
Donc le nombre des parcours pour F sera 12 x 2=24 en tenant compte du sens et 6 X 2 = 12 si l'on ne tient pas compte du sens.
Le nombre des parcours du labyrinthe H sans les impasses est de 2 en tenant compte du sens, ou de i sans tenir compte du sens.
Le nombre des parcours de ce même labyrinthe avec les impasses est donc de 2 X2X2 = 8en tenant compte du sens ou de I X 2 X 2 = 4 sans tenir compte du sens.
On a alors E=ri2 X 2-4-8 = 82 en tenant compte du sens ouE=:6 X 2-h4=i6 sans tenir compte du sens.
Et A = 3 (33 X 2 -h 24) = 3 X 88 = 264 en tenant compte du sens, ou A=3(i6 X 24- 12) = 3 x 44=i32 sans tenir compte du sens.
Il en résulte que le nombre des dispositions rectilignes d'un jeu de dominos allant jusqu'au double-quatre en tenant compte des doubles, est égal à
nombre déjà trouvé.
Passons maintenant au cas du jeu ordinaire de 28 dominos.
La suppression d'un carrefour de l'heptagone conduit au réseau hexagonal II, dont 3 côtés sont redoublés ; en désignant par conséquent par X le nombre des parcours de l'heptagone et par H celui du labyrinthe hexagonal, on a ;
X=l5*ït.
RÉGRÉA-TIONS MATHÉMATIQUES
La suppression de l'un des carrefours du labyrinthe H donne naissance aux quatre nouveaux labyrinthes Pj, P^, P3, P^, et on a :
H = 8 .Pi + 4P2-f-8P3-h4P4.
Par la suppression du carrefour supérieur de chacun des quatre
Fig. I20-I2I-I32-I33-I24
labyrinthes pentagonaux P^, P^, Pg, P^, on est conduit aux nouveaux labyrinthes Q,, Q^, Q3, Q^, Q^, Qg, et on a :
Pi = 6 Qj + 4 Q2 4- 16 Q, H- 16 Q,. P, = 8 Qi + 16 Q, + 2 Q, + 16 Q„
Par la suppression de l'un des carrefours supérieurs des six laby-
PROBLÈMES DES TRACÉS CO>TlNUS 26 1
rinthes quadrilatéraux, on est conduit aux cinq nouveaux labyrinthes
Fig. i25-i3G-i27-i28-i2g-i3o triangulaires T^, T.^, Ï3 T^, T^., et l'on a :
Q, = 6T, -t-24ï, + 48T3, Q,=: 2T,+ 4Ï3, Q, = 8 T, H- 24 T, + 64 T„ Q, = 48 T, -h 24 T„ Q3==2T, + 4 IV Q^= 2T, + 2T,.
Fig. i3i-i32-i33-i3A-i35 suppression du carrefour supérieur de cliacun
labyrinthes triangulaires nous fournit trois réseaux à deux carrefours D,, Dg, D3, et l'on a;
FJg. i3Gi37-i38-i39-i/io
Si maintenant on calcule les parcours en tenant compte du sens, on a :
Par suite T, =- 3 168, T, = 672, T3 = 144, T, = 32 et T, = 24o ;
Les labyrinthes quadrilatéraux nous donnent :
Q^ r= 42 o48, Qa = 43 520, Q3 = 9 024, Q4 = I 920, Q, = 38oi6, Q, = 1824.
Passant aux pentagones, on trouve :
Pj = 601 472, Pg = 585984, P3 = 127916 et P^ = 122 112.
Enfin, on a
Et
Si on ne tient pas compte du sens on aura
et par suite, le nombre des dispositions rectilignes des dés d'un jeu complet de 28 dominos est égal à
Le damier de dominos. — On prend 26 dominos que l'on dispose en damier à cases resctangulaires. Chaque ligne horizontale ou verticale compte cinq dominos qui sont placés de façon à présenter dans les deux sens des cases alternativement blanches et noires ; dans ce but, on retourne les dominos de deux en deux afin de montrer successivement l'os et le bois noir.
Cela fait et la précaution ayant été prise de mettre tous les dominos bien en contact les uns avec les autres afin d'obtenir une figure aussi régulière que possible, on propose de transformer la figure de façon que tous les dés d'une même ligne horizontale soient de la même couleur, en ne touchant que deux dominos.
Au lieu des lignes horizontales, on peut se proposer la même question pour les lignes verticales.
La solution est des plus simples.
On enlève les deuxième et quatrième dés de la première ligne horizontale et on les place au-dessous respectivement des deuxième et quatrième dés de la dernière ligne horizontale. En poussant alors ces deux dés, on remonte de la hauteur d'un dé les deuxième et quatrième colonnes verticales.
Chaque ligne horizontale ne présente plus alors que des dés d'une même couleur.
Pour rétablir la même couleur dans les colonnes verticales, on opérerait d'une façon identique.
Les dominos magiques. — On peut former avec les dominos des carrés magiques de neuf, seize ou vingt-cinq cases. Carré de neuf cases. — Il s'agit de résoudre ce problème :
Fiff.
Disposer les Sept blancs et deux autres dés convenablement choisis dans un carré de 9 cases, de telle sorte que la somme des points des dominos renfermés dans une ligne horizontale, dans une colonne ou dans une diagonale, soit constamment la même. Le tableau ci-après fournit la solution de la question. On voit que la somme donnée par chaque ligne est 12. Au lieu des sept blancs, on peut prendre les sept as ; on remplace alors les sept blancs par les sept as correspondants et les dés 1-6 et 2-6 respectivement par les dominos 2-G et 3-G,
La somme constante devient égale à i5.
On peut former d'une manière analogue les carrés magiques avec les deux, les trois et les quatre ; la somme constante devient, dans chacun des cas, égale à 18, 21 et 24-
Si dans les divers carrés magiques dont il vient d'être question, on remplace chaque dé par son complémentaire, on obtiendra encore des carrés magiques et en particulier ceux formés avec les sept cinq et les sept six.
Carré de 16 cases. — Soit à disposer les blancs et les as avec trois autres dés convenablement choisis, dans un carré de 16 cases, de façon que la somme des points marqués sur les dominos dans une même ligne horizontale, dans une colonne ou dans une diagonale, soit constamment la même.
Le tableau ci-contre donne une solution de la question.
Les trois dés à choisir sont le 2-6, le 3-6 et le 2-5 ; la somme constante est 18.
Le carré jouit de la même propriété si on place la première rangée horizontale après la quatrième, ou si on dispose la première rangée verticale après la dernière.
On peut obtenir d'autres carrés magiques ^''d ^-'3 en remplaçant chaque dé par un autre ren-
fermant un, deux ou trois points de plus, les sommes constantes deviennent alors 22, 26 et 3o.
Enfin, on peut arriver à d'autres figures du même genre, en remplaçant les dominos des carrés précédemment obtenus par leurs complémentaires.
Carré de 25 cases. — La figure ci-contre donne un exemple de ce genre de carrés magiques : la somme constante est 27 et les trois dés manquants sont le 6-6, le 6-5 et le 5-5. On peut obtenir une infinité d'autres figures du même genre.
Donnons encore la récréation suivante dans laquelle on utilise tous les dominos du jeu ou mieux les 56 petits carrés qui groupés deux à deux constituent les 28 dés.
On demande de disposer les dominos de façon à former un carré de 7 X 7 = 49 cases, avec une bordure supplémentaire de 7 carrés
blancs, de telle sorte que la somme des points dans chaque rangée, dans chaque colonne et dans les deux diagonales soit égale à 2/1.
Nous donnons une solution ci-après (*).
De même une suite de dominos allant du double-blanc au
Fia;. i/,3
21 mr'
:y..tZ ■
:-:il:-:
double
Fig. i4'i
contient - (n
(/i H- 2) dominos et, par suite, (/i -+- i) (n -f- 2) petits carrés accolés deux à deux.
Est-il possible de disposer ces dominos de façon à former un
(1) Voir le no de Ylllastratioa du 10 juillet 1897.
carré de (/i 4- i)- cases, avec une colonne supplémentaire de {ii-+- i) carrés blancs, de telle sorte que la somme des points dans chaque rangée, dans chaque colonne et dans les deux diagonales soit égale à
