R^.CRÉATIONS MATHEMATIQUES

Ainsi, le premier et le second problèmes, considères analytiquement, conduisent à la résolution d'une équation du troisième degré ; et comme une construction au moyen de cercles (dont les équations sont de la forme x^ -H y^ -\- ax -\- hy -\~ c ^= o) et de lignes droites (dont les équations sont de la forme «rc -h Pj h- •/ = o) ne peut conduire à une équation du troisième degré, il en résulte que ces problèmes sont insolubles si on se limite, dans les constructions, à l'usage de la règle et du compas. Mais ces deux problèmes peuvent être résolus de plusieurs manières au moyen des sections coniques.

Le troisième problème est d'une nature différente, mais il est également impossible.

Nous nous proposons tout d'abord de faire connaître quelquesunes des constructions qui ont été proposées pour les deux premiers problèmes. Pour ménager l'espace, le texte ne sera pas accompagné de figures et, dans bien des cas, nous nous dispenserons de donner la démonstration. Nous terminerons par quelques notes historiques sur les solutions approximatives du problème de la quadrature du cercle.

La duplication du cube (*). — Le problème de la DapUcalion du cube était connu dans les temps anciens sous le nom de problème de Delos ou problème Deliaque, en souvenir d'une légende'^^d'après laquelle les Athéniens 'auraient consulté Platon à son sujet. Philoponus (^) présente ll'histoire "sous cette forme : les Athéniens, fortement éprouvés par une épidémie, consultèrent l'oracle de Délos pour savoir comment lejffléau pouvait être arrêté. L'oracle répondit qu'il fallait doubler l'autel d'Apollon, qui était cubique.

(1) Voir Historia Problematis de Cubi DupUcatione, par N.-T. Reimer, Gôttingen, 1798; voir aussi Historia Problematis Cubi Duplicandi, par C.-H. BiEniNG, Copenhague, i844> ©t aussi Das Delische Problem, par A. Sturm, Linz, 1895-97. Quelques notes sur cette question se trouvent dans notre Histoire des mathématiques. Edition française traduite sur la 3"** édition anglaise par L. Freund- Paris Hermann, 2 vol. (1906-1907).

(2) Philoponus ad Aristotelis Analylica Posteriora, livre I, chap. vu.

Rien ne parut plus simple aux solliciteurs dont les connaissances en géométrie n'étaient probablement pas très développées et ils construisirent un second autel dont les dimensions étaient doubles de celles de l'ancien (ce qui donnait un cube ayant huit fois le volume du premier) ou peut-être se contentèrent-ils de placera coté du premier autel un second identiquement semblable. Quoi qu'il en soit, suivant la légende, la Divinité courroucée rendit le iléau plus terrible encore et informa une nouvelle députation qu'il était inutile de chercher à ruser : elle exigeait un autel cubique double en volume de celui qui existait. Soupçonnant quelque chose de mystérieux, les Athéniens s'adressèrent à Platon qui les renvoya aux géomètres. L'intervention de Platon ici est un anachronisme manifeste. Eratosthème(^) raconte une histoire àpeu près semblable mais en parlant de Minos comme l'auteur du problème.

Dans un ouvrage arabe, la légende grecque est défigurée d'une façon si étrange que nous la citerons par curiosité. A l'époque où vivait Platon, raconte l'écrivain, un fléau s'abattit sur les enfants d'Israël, alors un de leurs prophètes entendit une voix du ciel qui disait : « que l'on double l'autel cubique qui sert aux sacrifices et le fléau prendra fin », on construisit donc un second autel exactement semblable au premier auquel il fut accolé. Malgré cela, le fléau n'en persistait pas moins en augmentant d'intensité. Et la même voix se fit entendre qui disait : « on a construit un second autel identique au premier avec lequel il a été réuni, mais cela ne constitue pas la duplication du cube ». C'est alors que Platon, le sage de la Grèce, fut consulté ; il répondit : « Vous avez négligé la science de la géométrie et Dieu vous a châtié, car c'est la science subUme par excellence », maintenant la duplication du cube repose sur un problème difficile de géométrie consistant... Puis suit la solution d'Apollonius que nous donnons plus loin.

Si on représente par a la longueur du côté du cube donné et

(<) Archimedis Opéra ciimEutocii Commenfams, édition-Torelli, Oxford, 1792, p. i44; édition Hoiberg, Leipzig, 1880-81, vol. III, pp. 104-107.

par X le côté du cube cherché, on a : x^ = 2a^, c'est-à-dire

- = — . Les Grecs n'ignoraient probablement pas que ce dernier

rapport est incommensurable, ce qui revient à dire qu'il n'est pas possible de trouver un nombre entier dont le rapport à

Tunité soit exprimé par —, mais il ne s'en suivait pas l'impossibilité d'établir un pareil rapport par la géométrie. Par exemple, le côté et la diagonale d'un carré sont bien deux lignes qui ne peuvent être mesurées l'une par l'autre, c'est-à-dire dont le rapport est incommensurable.

Reproduisons maintenant quelques-unes des constructions géométriques qui ont été données pour la duplication du cube Q) en nous limitant (à une exception près) à celles qui peuvent être effectuées au moyen des sections coniques.

liippocrate (^) (environ 420 A. G.) est peut-être le plus ancien mathématicien ayant fait faire quelques progrès à la question. Sans donner une solution géométrique,' il ramène le problème à la recherche de deux moyennes proportionnelles entre une certaine ligne a et la ligne de longueur double aa. Soient, en effet, x et j ces moyennes, nous avons

X y aa'

d'où l'on déduit : xy = 2a^, x^ == ay et x^ = 2a'.

Le problème est toujours étudié sous cette forme actuellement.

(^) En ce qui concerne l'application, à ce problème, des méthodes traditionnelles d'analyse des Grecs par Herou et Piulon (conduisant à une solution au moyen du cercle d'Apollonius), par Nicomede (conduisant à une solution au moyen de la conchoïde) et par Pappus (donnant une solution au moyen de la cissoïde), voir l'ouvrage de J. Leslie, Geometrical Analpis, Edinburgh, 2® édition, 181 1, pp. 247-25o, 4^3.

(*) PivoGLUi. — Edit. Friedlein, pp* 2ia-2[^*

Autrefois tout procédé de solution reposant sur la recherche de ces moyennes était appelé un problème mésolabe.

Une des premières solutions de la question est celle donnée par Archytas (*), en ou vers 4oo A. G. Sa construction se résume ainsi : sur le diamètre OA du cercle de base d'un cylindre droit on décrit une demi-circonférence dans un plan perpendiculaire à celui de la base ; on fait alors tourner ce dernier plan autour de la génératrice du cylindre passant par 0, la demi-circonférence engendre dans ce mouvement de rotation une surface qui coupe le cylindre suivant une courbe à double courbure. Cette courbe à son tour est coupée par la surface latérale d'un cône droit ayant OA pour axe et dont le demi-angle au sommet est de 60° par exemple, en un point P tel que la projection de OP sur la base du cylindre est au rayon du cylindre dans le rapport du côté du cube cherché au côté du cube donné. La démonstration donnée par Archytas est purement géométrique et il est intéressant de constater qu'elle montre que ce géomètre connaissait certaines propositions énoncées par Euclide.

Pour démontrer analytiquement l'exactitude de la construction d' Archytas, prenons OA pour axe des x et la génératrice du cylindre passant par 0 pour axe des z, alors en employant la notation usuelle des coordonnées polaires et en désignant par a le rayon du cylindre, on a : pour l'équation de la surface décrite par le demi-cercle, r = 2a sin 6 ; pour celle de la surface cylindrique r sin 6 = 3a cos cp ; et pour celle de la surface latérale du cône

sin 0 cos C3 = - .

Ces trois surfaces se coupent en un point tel que sin' 0 = - , d'où

Ton déduit.

(r sin 0)** = 2 a^ ;

Par suite, le volume du cube dont le côté est v sin 0 est le double du volume du cube dont le côté est a.

(*) Archimedis Opéra, édition Torelli, p. i43 ; édition Heiberg, Vol. llh pp. 98-103.

La construction attribuée à Platon Q) (environ 3 60 A. C.) repose sur ce théorème : GAB et DAB sont deux triangles rectangles ayant un côté AB commun, les côtés AD et BG parallèles, et les hypoténuses AG,BD perpendiculaires entre elles ; si P est le point d'intersection de ces deux hypoténuses on a :