AH HT

d'où AP et

2PM = PQ ; dès lors, par symétrie AP =; PQ = QR

aop = p6q = qor7

Nous terminerons en rappelant la solution que Chasles (^) considérait comme fondamentale. Elle se ramène à cette proposition :

(*) Arithmetica universalis, problème XLII, Ralphson. 2e édition, Londres, 1728, p. i48; voir aussi pp. 943-245.

(') Nous pensons que cette solution a été donnée pour la première fois par Clairaut, mais nous avons égaré nos références à ce sujet. Cette construction se présente comme exemple dans la Geomeiry of conics de C. Tatlor, Cambridge, [881, n^ 3o8, p. 126.

(3) Traité des sections coniques, Paris, 1866, art. 87, p. 36.

AB étant un arc de cercle de centre 0 que l'on se propose de diviser en trois parties égales, l'hyperbole équiiatère ayant pour diamètre OA et passant par le point d'intersection de OB avec la tangente au cercle en A, passe également par l'un des deux points qui divisent l'arc AB en trois parties égales.

La quadrature du cercle (*)• — Le troisième des problèmes historiques dont nous nous occupons ici a pour objet la délerminaiion du côté d'un carré dont la surface est égale à celle d'un cercle donné.

Les essais tentés antérieurement aux deux derniers siècles eurent pour heureux résultats de faire découvrir aux mathématiciens d'intéressantes propriétés ; dans ces temps derniers, la question a été quelque peu négligée par ceux qui étaient en mesure de l'élucider davantage. L'historique du sujet a été présenté avec tant de détails par des auteurs autorisés que nous nous contenterons d'y faire une courte allusion.

Archimède montra (^) (ce que l'on savait peut-être avant lui) que le problème revenait à trouver la surface d'un triangle rectangle dont les côtés étaient respectivement égaux au périmètre et au rayon du cercle considéré. Le demi-rapport de ces deux lignes est un nombre que l'on représente généralement par tc.

L'incommensurabilité du nombre tt avait été très longtemps soupçonnée, mais aujourd'hui elle est démontrée. Lambert (^), le

(1) Voir MoNTUCLA. — Histoire des recherches sur la quadrature du cercle ^ édition Lacroix, Paris, i83i ; voir aussi divers articles de A. de Morgan, et principalement son Budget of Paradoxes, Londres, 1872. Un aperçu du sujet a été donné d'une façon élémentaire par H. Schudert. — Die Quadratnr des Zirkcls, Hambourg, 1889; et depuis la publication de ces Récréations, le prof. F. RuDio de Zurich a reproduit les études d' Archimède, Huygens, Lambert et Legendre sur le sujet, avec une introduction présentant l'historique delà question, Leipzig, 1892.

(^) Archimedis Opéra, KoxXov (jL£xpr,(7i(;, prop. i, édition Torelli, pp. 2o3-2o5; édition Heiberg, vol. I, pp. 254-261, vol. III, pp. 269-277.

(3) Mémoires de l'Académie de Berlin^our 1761, Berlin, 1768, pp. 265-322.

28o RÉCRÉATIO:SS MATHÉMATIQUES

premier, démontra analytiquement, en 1761, que Tt était incommensurable; puis, en i8o3, Legendre (*) fit voir qu'il en était de même du nombre u^ ; récemment, Lindemann (^) a montré que t: ne peut être racine d'une équation algébrique rationnelle.

Plus anciennement James Gregory avait tenté de démontrer géométriquement l'impossibilité de la quadrature et son essai doit être mentionné ici. Il commençait par démontrer {^) que le rapport de la surface d'un secteur quelconque à celle du polygone inscrit ou circonscrit ne peut être exprimé par un nombre fini de termes algébriques et il en concluait que la quadrature du cercle était impossible. Montucla considère cette preuve comme valable, mais elle n'est pas concluante, car on conçoit très bien la possibilité de former un carré dont la surface soit égale à celle d'un certain secteur particulier, et ce secteur particulier peut être le cercle entier.

Gomme suite à ce qui vient d'être dit de la proposition de Gregory, nous pouvons ajouter que Newton (*^) a prouvé que, dans toute ovale fermée, un secteur arbitraire limité par la courbe et par deux rayons ne peut être exprimé en fonction des coordonnées des extrémités de Tare au moyen d'un nombre fini de termes algébriques.

L'argumentation est serrée et difficile à suivre : le même raisonnement démontrerait qu'une courbe ovale fermée ne peut être représentée en coordonnées polaires par une équation algébrique.

(1) Géométrie de Lege.>dre, traduction Brewster, Edimbourg, 1824, pp. 289-245.

(2) Ueber die Zahl Tz; Mathemalische Annalen, Leipzig, 1882, vol. XX, pp. 21 3-225. La démonstration conduit à cette conclusion que, si x est une racine d'une équation algébrique à termes entiers et rationnels, e' ne peut être rationnel : par suite, si Tut était racine d'une telle équation, c''^* ne serait pas rationnel; mais e"^' est égal à — t, et, par conséquent, est rationnel ; dès lors Tzi ne peut être racine d'une équation algébrique à termes entiers et rationnels, et, par suite, il en est de même de tc.

(3| Vera circuli et hyperboles quadratura, Padoue, 1868 : celle démonstration est reproduite dans Huyghe>'s. — Opéra Varia, Leyde, 1724, pp. 4o5-462. (*) Prineipia, livre I, section vi, Lemne xviii.

Aucune conclusion ne peut être tirée de cette proposition en ce qui touche la quadrature du cercle et Newton n'en a en réalité tiré aucune. Dans les premières éditions de cet ouvrage nous émettions cette opinion que le résultat établi présupposait une définition particulière du mot ovale, mais après examen plus complet, nous pensons que la conclusion est valable sans aucune restriction.

La quadrature du cercle s'effectue aisément avec la qnadratrice, la spirale ou la cycloïde, mais la construction de ces courbes supposant la connaissance de la valeur de ir, il en résulte que la question, telle qu'elle a été posée, subsiste toujours.

Il est peut-être nécessaire d'ajouter ici qu'en considérant tz comme représentant simplement le rapport de la circonférence du cercle à son diamètre, la détermination de sa valeur numérique ne présente qu'un intérêt secondaire. Mais ce n'est qu'accidentellement que TT a été ainsi défini, il représente, en réalité, un certain nombre dont l'existence s'impose dans l'analyse algébrique.

Il nous revient le souvenir d'un professeur distingué cherchant a rendre compte des modifications qui pourraient subvenir dans notre genre de vie ordinaire si, ce qui, d'ailleurs, aurait facilement pu se produire à Torigine de notre race, les procédés fondamentaux de l'arithmétique et de l'algèbre avaient été différents de ceux qui nous sont familiers. Mais, concluait-il, il serait impossible de concevoir un univers dans lequel e et tt n'existeraient pas.

Nous avons cité, dans une autre publication, une anecdote qu'on relira peut-être avec plaisir, pour montrer que la définition usuelle de T. donnait une bien faible idée des propriétés de ce nombre.

De Morgan, expliquant à un actuaire quelle chance une proportion déterminée d'un groupe de personnes avait d'être encore en vie à la fin d'un temps donné, mentionnait la formule dans laquelle figure TT qui, disait-il, ponr répondre à une question, représente le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre. Son auditeur qui, jusqu'ici, l'avait écouté avec intérêt, l'interrompit alors pour s'écrier : « Ce doit être une erreur ; que vient faire un cercle

aSa RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES

et son diamètre dans une question relative au nombre de personnes qui seront encore en \ie à une époque déterminée ? »

En réalité, le fait que le rapport de la longueur de la circonférence à son diamètre est le nombre désigné par tt ne donne pas la meilleure définition analytique de tc, et ne spécifie qu'une de ses propriétés.

La lettre ir n'a pas été choisie au hasard pour représenter le nombre 3,i4i59..., elle est l'initiale de Ttspicpipô'.a ou de TrEp-.jjLsxpo; et il paraît difficile de déterminer exactement l'origine de cette notation qui paraît cependant remonter au xvii' siècle.

On lit en effet dans l'ouvrage d'Oughtred : La Clef des Mathématiques (The key of the Mathematics, London, 1647, p. 72).

if in a circle 7 . 22 * J 0 . u * J 1 13 . 355 it shal be 5 . u ; ; 2 RP :

and ô . TC • ; Kq, circl. and t^ » 0 H j Vq. circl. etc.

Barrow employait également la lettre ti dans ses leçons publiques, continuées jusqu'en 1669 à Cambridge. En effet, dans le livre Isaaci Barrow-Maihematicœ leciiones habitœ in scholis publicis Academiœ Cantabrigensis. Londini, typis i, Playford, a. 1684, on lit (p. 343) : (( Circulus spquatur dimidio rectangulo ex circumferentia et radio,... Hoc est, posito (ut sempcr posthac) circumferentiam vocari T., et radium R (vel r). et diamclrum 8 (vcl D)

r. Tt B.it

Moritz Gantor (Geschichte der Mathemaiiky III, 295) signale l'emploi de la lettre tz par William Jones dans la Synopsis Pahnariorum MatheseoSj Londres, 1706, pp. 242, 263 et suivantes (*). Quelques années plus tard, Jean Bernoulli (^) désignait ce nombre par c ; Eu-

(1) Intermédiaire des Mathématiciens, tome IV, juin 1897, pp. 124, 126; tome V, juillet 1(898, p. i54, octobre 1898, p. 281.

(2) Voir les notes de G. Enestrôm dans Bibliotheca Mathemalica, Stockholm, 1889, vol, 111, p. 28; ibid., 1890, vol. IV, p. 22.

TROIS PROBLÈMES Da GEOMETRIE 283

1er, en 1784, se servit de la lettre p, et en 1786 de la lettre c; Glir. Goldback employa tt en 17/12 ; et ce symbole devint d'un usage général après la publication de V Analysé d'Euler.

La valeur numérique de ti peut être calculée au moyen de deux méthodes avec une approximation aussi grande qu'on le désire.

La première de ces méthodes est géométrique : elle consiste à calculer les périmètres d'une série de polygones réguliers inscrits et circonscrits à un cercle en considérant la circonférence comme toujours comprise entre les longueurs de ces périmètres (^). L'approximation serait plus grande en calculant les surfaces au lieu des périmètres. La seconde méthode, qui est la méthode moderne, repose sur la détermination d'une série convergente représentant tz.

Ajoutons que les géomètres qui calculent tt au moyen de la première méthode regardent ce nombre comme un simple rapport géométrique, tandis que les mathématiciens qui emploient la méthode moderne le considèrent comme un symbole représentatif d'un certain nombre figurant dans plusieurs branches de l'analyse mathématique.

Nous intéresserons peut-être nos lecteurs en donnant ici une liste de quelques valeurs approchées de ti déterminées à diverses époques par plusieurs géomètres (^). Nous nous rendrons ainsi incidemment compte de ceux qui ont fait progresser la question.

Le document mathématique le plus ancien qui existe, le Papyrus Rhind {enyiron 2.000 ans avant J.-C), énonce déjà le problème sous cette forme : construire un carré équivalent à un cercle donné. L'auteur du Papyrus, A /imès, donne la règle suivante : on

(1) L'histoire de cette méthode a été écrite par K.-E.-L Selaî«der. — Historik ôfver Ladolphska Talet, Upsal, 1868.

(2) Au sujet des méthodes usités dans les temps classiques et des résultats obtenus, voir les notices publiées dans GescJdchte der Mathcmatik de M. Cv>TOH, Leipzig, vol. I, 2® édition, 1892. Au sujet des valeurs approchées obtenues au Moyen-âge et dans les temps modernes, voir l'article de A. DE Mono.vN sur la quadratur© du cercle dans le vol. XIX de Penny Cyclopscdia, Londres, 18/11, avec les additions données par B. de IIa.^n dans le Verhandelingen d'Amsterdam, i858, vol. IV, p. 22 ; ces divers résultats ont

retranche du diamètre une quantité égale à son neuvième ; on construit un carré ayant pour côté la partie restante, il est équivalent au cercle. On obtient ainsi pour t: une valeur pas trop erronée.

La valeur 3 un peu moins approchée était en usage chez les Babyloniens (^) et chez les Juifs ("'). 11 est probable que ces nombres ont été obtenus d'une façon empirique.

Nous arrivons ensuite à une longue suite de mathématiciens grecs qui abordèrent le problème. Il est douteux que les recherches des disciples de l'école Ionienne, les Pythagoriciens Anaxagore, Hippias, Antiphon et Bryson conduisirent à une valeur numérique de 71 plus approchée, et il n'est pas nécessaire de nous y arrêter. La quadrature de certaines lunules présentée par Hippocrate de Chios est ingénieuse et correcte, mais on ne peut en déduire une valeur de TT ; il paraît d'ailleurs probable que les derniers élèves de l'école Athénienne firent porter leurs recherches sur d'autres questions.

Euclide (*^), l'illustre fondateur de l'école d'Alexandrie, savait probablement que r. est compris entre trois et quatre, mais il n'en l'ait pas mention d'une façon explicite.

L'étude mathématique de la question commence avec Archimède

qui prouva que ir est moindre que 3 - et plus grand que 3 — , c'està-dire est compris entre 3, 1/128... et 3,i/|o8... Il arriva à ce

été réunis, corrigés et étendus par le D"" W.-L. Glaisher dans le Messenger 0/ Ma//iema<ics, Cambridge, 1878, vol. II, pp. 1 19-128; et ibid., rSy^, vol. III, pp. 27-46.

(2) A. EisENLOHR. — Ein Mathematisches Handbiich der allen Aegypler, Leipzig, 1877, Art. 100-109, ^^7' '24-

(3) Oppert. — Journal Asiatique, août 1872, et octobre 1874.

(*) I. Livre des Rois, ch. vu, ver. 23; 2. Chroniques, ch. iv, ver. 2. (1) Ces résultats peuvent se déduire des propositions i4 et 8 du livre IV d'Euclide.

résultat (*) en inscrivant et en circonscrivant à un cercle les polygones réguliers de 96 côtés, en déterminant géométriquement les périmètres de ces figures et enfin en admettant que la longueur de la circonférence est comprise entre les périmètres.

Cette méthode revient à appliquer la proposition résumée dans la double inégalité

sin 0 < 6 < tang 6

en faisant 0 = -^.Archimède déduisait les valeurs de sin 0 et tang 6 de celle de sin ^ ir et tang « i^ par des divisions successives d'angles

en deux parties égales. Avec un polygone de n côtés, ce procédé nous donne une valeur de u exacte au moins jusqu'à la décimale dont le rang est marqué par la partie entière de l'expression (2 log. n — 1,19). Le résultat donné par Archimède est exact jusqu'à la deuxième décimale. Son analyse de la question conduisait à cette conclusion que les périmètres des deux polygones considérés pour un cercle de 4970 pieds de diamètre étaient compris entre i5 6io et i5 620 pieds. 11 faut compter environ pour la circonférence i5 6i3 pieds 9 pouces.

Apollonius a discuté ces résultats, mais ses observations critiques sont perdues.

Héron d'Alexandrie [^) a donné la valeur 3, mais il a mentionne

également le résultat — (^) : il est possible que le premier nombre

servait seulement pour une approximation grossière.

La seule autre valeur approchée ayant une origine grecque que

(•) Archimedis Opéra, KjxXou (JLÊxpiriati;, prop. 3, édition Torelli, Oxford, 1792, pp. 2o5-2i6; édition Heiberg, Leipzig, 1880, vol. I, pp. 263-271.

(2) Mensurœ, édition Hultsch, Berlin, 1864, p. 188.

(3) Geomelria, édition Hultscli, Berlin, i864» pp. ii5, i36.

nous croyons devoir rappelé est celle de Ptolémée (') qui a donné Tt = 3^ 8' 3o" ; ce qui revient à prendre

Les géomètres romains semblent avoir employé, pour des calculs approchés, la valeur 3 et quelquefois aussi le nombre 4. Pour une

plus grande approximation ils adoptaient souvent 3 ^ au lieu de 3 -

à cause de l'avantage que présente la première fraction dans le système duodécimal. D'un autre côté, Gerbert {^) préconisait l'em-

ploi de la fraction — .

Avant de parler des recherches faites par les mathématiciens européens du Moyen Age et des temps modernes, il n'est peut-être pas sans intérêt de résumer les résultats obtenus dans l'Inde et dans l'Orient.

Baudhayana (^) prenait -^ pour valeur de ti.

Arva-Bhata (''), vers 53o, a donné pour valeur de 7:, , frac-

tion égale à 3,i4i6. 11 a montré qu'en représentant par a le côté

d'un polygone régulier de n côtés inscrit dans un cercle ayant

l'unité pour diamètre et par h le côté du polygone régulier inscrit

de 2 rt côtés, on avait

(1) Almagest, livre VI, chap. vu; édition Halma, vol. I, p. 421.

(2) Œuvres de Gerbert, édition Olleris, Clermont, 1867, p. 453.

(3) G. Thibaut. — Le Sulvasutras, Asiatic Society of Bengal, 1875. Art. 26-28.

(*) Leçons de calcul d'Aryabhata, par L. Rodet, dans le Journal AslatiquCf 1879J série VII, vol. XIII, pp. 10, 21.

Partant alors du côté de l'hexagone régulier inscrit, il calculait successivement les côtés des polygones réguliers inscrits de 12, 24, 48, 96, 192 et 394 côtés. Le périmètre de ce dernier polygone serait, d'après lui, égal à v^9,8394, et il en déduit le résultat approché mentionné plus haut.

Brahmagupta (^), vers 65o, a donné pour valeur approchée de ir, vTô, qui est égale à 3,1622... Il serait arrivé à cette valeur en inscrivant dans le cercle de diamètre i, les polygones réguliers de de 12, 24, 48, 96 côtés, et en calculant successivement leurs périmètres qui étaient respectivement égaux à

v/p5, v^ô^sî, v/p^^ TPt-

Il supposait que ces périmètres tendaient indéfiniment vers \/To lorsque le nombre des côtés des polygones réguliers inscrits augmente indéfiniment.

Bhaskara, vers ii5p, donna deux valeurs approchées. L'une (^), empruntée, selon toute probabilité, à Arya-Bhata, mais qu'il annonce avoir calculée en appliquant la méthode d'Archimède jusqu'au polygone régulier de 384 côtés, est — ^~ , fraction égale à

3,i4i6; TautreC) est^^|, soit 3,i4i6666...

Chez les Arabes, nous trouvons les valeurs — , i/Tô et

données par Alkhârizmi (*), vers 83o, mais elles sont, sans aucun

doute d'origine indienne. Il donne la première comme une valeur

(*) Algebra... Jrom Brahmegupta and Bhascara, traduction H.-T. Cole- BROOKE, Londres. 181 7, cliap. xii, art. 4o, p. 3o8.

C) ibid., p. 87.

(3)/6ic/.,95.

(^) The Algebra of Mohammed ben Masa, édition F; Rosen, Londres, i83i, 77-72*

approchée, la seconde comme étant employée par les géomètres et la troisième comme servant aux astronomes.

On prétend que les valeurs 3, — et -r-^ figurent dans les ouvrages chinois : les deux dernières sont probablement empruntées aux Arabes.

En revenant aux Mathématiciens du continent nous trouvons la suite des valeurs approchées de tt énumérées ci-après. La plupart de ces résultats antérieurs au xviii^ siècle ont été originairement calculés en vue d'établir l'inexactitude de certaines quadratures données comme rigoureuses.

Léonard de Pise Q) au xiii° siècle, donna pour u la valeur

j^^~ égale à 3, i4i8. Au xv® siècle, Purbach (^) donna ou mentionna

62882 la valeur , qui est égale à 3,i4i6 ; Cusa pensait que la valeur

exacte était donnée par l'expression y (\/S 4- \/6) qui nous fournit

3,1423... ; et on attribue à Regiomontanus (^), en i464. la valeur

Viète (*), en 1679, démontra que tc était plus grand que

3i4i5q26535 ^ , ,.^ 3i4i5q26537 ,1 ,,, . .. ^ et plus petit que — - — \q -, 11 déduisait ce

résultat du calcul des périmètres des polygones réguliers inscrit et

(*) BoNCOMP.vG?<i. — Scritti di Leonardo, vol. II (Practica Geometriœ^ , Rome, 1862, p. 90.

(^) Appendice au De TrianguUs de Regiomontanus, Basle, i54i, p. i3i.

(3) Dans sa correspondance avec le cardinal Cusa De quadratura circuU, Nuremberg, i533, dans laquelle il montre l'inexactitude du résultat de Cusa. Nous ne pouvons donner la référence exacte, mais les chiffres sont donnés par des écrivains compétents et sont, sans nul doute, corrects.

('•■) Canon Mathematicus seu ad Triangula, Paris, 1679, PP- •^^' ^^ • ^^^ ouvrage a probablement été imprimé pour un petit nombre de lecteurs, il est excessivement rare.

circonscrit de 6x2^*^ côtés, obtenus en appliquant successivement la formule 2 sin^ -6=1 — cos 0. Il a donné également (*) un résultat équivalent à la formule :

Le père d'Adrien Métius (^), en i585, donna la fraction —5 qui

est égale à 8,14159292, valeur exacte jusqu'à la sixième décimale, C'est le résultat vraiment curieux d'une supposition heureuse, car tout ce qu'il est arrivé à démontrer est que tt est compris

entre — ^ et — n ; partant de là il se crut autorisé à formuler 120 106' ^

cette conclusion que la valeur exacte de ^t s'obtenait en formant

une nouvelle fraction dont le numérateur et le dénominateur

étaient les moyennes des numérateurs et des dénominateurs des

deux premières.

En 1093, Adrien Romanus(^) calcula le périmètre du polygone régulier inscrit de 107874 182 4 côtés (c'est-à-dire 2^^) et il en déduisit une valeur de tc approchée jusqu'à la quinzième décimale.

L. Van Ceulen consacra une partie de son existence à l'étude de la question. En 1596 (''), il fit connaître un résultat exact jusqu'à la vingtième décimale calculé au moyen des périmètres des polygones réguliers inscrit et circonscrit de 60X2^^ côtés, obtenus en

(1) Vietœ opéra, édition Schooten, Leyde, i646, p. 4oo.

(2) A. Metils. — Arithmetlcae libr'i duo et Geometricœ, Leyde, 1826, pp. 88, 89 (l'édition originale date probablement de 161 1).

(3) IdcT Malhrmaticv, Anvers, i^rxj"] ; livre très rare qu'il ne nous a pas été possible jusqu'ici de consulter.

(*) Vanden CtVc/ceî, Delf,, i5c)6, fol. il, p. i; on De clrculo, Leyde, 1619,

Récréation* mathématiques, II. X9

290 UECREATIONS MATHÉMATIQUES

appliquant successivement un théorème qui lui appartient et qui conduit à la formule :

I — cos A = 2 sin^ - A.

Nous avons en notre possession une estampe finement exécutée, datant de cette époque, qui le représente, avec le résultat mentionné plus haut inscrit autour d'une circonférence tracée sous le portrait. Il mourut en 16 10, et, suivant ses instructions, la valeur de - avec 35 décimales (qui représentait le résultat de ses dernières recherches) fut gravée sur son tombeau (^) à Leyde dans l'église de Saint-Pierre. Dans son arithmétique posthume (^) on trouve la valeur de u avec 32 décimales ; résultat obtenu en calculant le périmètre d'un polygone régulier dont le nombre des côtés est 2®^, c'est-à-dire 4611686018427387904. Van Ceulen forma également une table des périmètres d'un certain nombre de polygones réguliers.

Willebrord Snellius ("), en 1G21, obtint au moyen du polygone de 2^° côtés une valeur approchée jusqu'à la trente-quatrième décimale. Cette approximation est un peu plus faible que celle de Van Ceulen, mais la méthode de Snellius est de beaucoup préférable car il obtient ces 34 décimales au moyen d'un polygone qui n'avait fourni à Van Ceulen que i4 (ou peut-être 16) décimales exactes. De même Snellius parvint avec l'hexagone régulier à une approximation aussi grande que celle obtenue par Archimèdc avec le polygone régulier de 96 côtés, tandis que ce dernier polygone lui

(1) Cette inscription est mentionnée par le professeur De Haax dans le Messenoer of Mathematics, 1874, vol. IIÏ, p. 25.

(2) De Arilhmetlsche en geometrischc Fondamenlen, Leyde, i6t5, p. i6j ; ou p. 144 ^G la traduction latine de W. S>ellius, publiée à Leyde en 161 5 sous le titre Fundanienla ariihmclica et geometrica. Cet ouvrage fut réédité avec une traduction latine de Vanden Circkel, en 1611), sous le titre De circulo; voir ce dernier ouvrage aux pp. 3, 29-82, 92.

(3) Cyclometricas, Leyde, 1621, p. 55.

donnait une valeur de ir avec 7 décimales exactes, au lieu de deux comme l'avait trouvé Archimède. En voici la raison : A^rchimède, après avoir calculé les côtés des polygones réguliers inscrit et circonscrit de rt cotés, supposait que la longueur de la n"*^ partie de la circonférence était comprise entre ces deux côtés ; tandis que Snellius déduisait de ces deux côtés deux autres lignes qui constituaient des limites plus resserrées entre lesquelles l'arc se trouvait compris. Sa méthode repose sur le théorème traduit par la double inégalité :

3sînQ -4- cos 0

< G < 2 sin g 0 -H tang ^ G ;

son application conduit à une valeur de tt exacte jusqu'à la décimale dont le rang est marqué par la partie entière de (4 log. n — o,23o5) ; approximation deux fois plus grande que celle donnée par la règle ancienne. La démonstration que présente Snellius de son théorème est erronée, bien que le résultat soit exact.

Snellius construisit une table (^) des périmètres de tous les polygones réguliers inscrits et circonscrits dont le nombre des côtés est compris dans la forme générale 10X2", n variant de 3 à 19. Beaucoup des résultats donnés sont empruntés à Van Cculen, mais quelques-uns furent calculés de nouveau. Cette table servit utilement pour réfuter certaines quadratures. James Grcgory (^) publia également une semblable liste.

En i63o, Grienberger (•^) en se servant du théorème de Snellius poussa l'approximation jusqu'à la trente neuvième décimale. C'est le dernier des mathématiciens qui appliqua la méthode classique consistant à calculer les périmètres d'un certain nombre de poly-

(1) Elle est mentionnée par Montlcla, édition i83t, p. 70.

(2) Vera circuli et llyperbolœ qiiadratura, prop. 29, mcnlîonno par HuYGENS, Opéra Varia, Leyde, 172/1, p. 4^7.

(^) Elemcnla Trigonomciricay Rome, tG^o, à la fin de la Préface.

gones réguliers inscrits et circonscrits. Une plus grande approximation ne serait d'aucune utilité pratique. Des démonstrations des théorèmes employés par Snellius et par d'autres géomètres, en appliquant cette méthode, se trouvent dans un ouvrage de Iluygens (^) qui doit être considéré comme renfermant toute l'histoire de la méthode.

En i656 Wallis (2) démontra que :

et signala une proposition donnée quelques années plus tôt par le vicomte Brouncker établissant que l'on avait :

mais aucun de ces théorèmes n'a été employé jDOur donner une plus large extension aux calculs.

Les géomètres qui suivirent utilisèrent les propriétés des séries convergentes et en déduisirent une méthode dont l'application aurait été bien difficile avant l'invention du calcul des séries, bien que Descartes (^) eût fait connaître un procédé géométrique équi-

(^) De CirciiU magnUudine Inventa, i654; Opéra Varia, pp. SSi-SSy. Les démonstrations se trouvent dans l'ouvrage de G. Pirie. — Geomelrical mclhods of approximatimj to the value of tz, Londres, 1877, pp. 2i-23.

(^) Arithmelica Infinitorum, Oxford, i656, prop. 191. Une analyse des recherches de Wallis a été donnée par G vyley dans le Quarterly Journal oj Mathematics, 1889, vol. XXIII, pp. i6r)-i69.

(3) Voir un mémoire d'Euler dans le Novi Commenlarii Academiœ Sçientiarum, Saint-Pétersbourg, 1768, vol. Vllf, pp. 157-168.

valent à l'emploi de telles séries. L'usage des séries indéfinies a été proposé par James Grégory (*) qui démontra la relation :

= tango — ô tang^ô + r tang^^9 —

dans laquelle 6 doit être compris entre — j -k qï j tz.

Le premier mathématicien qui se servit de la série de Grégory pour obtenir une valeur approchée de -k fut Abraham Sharp Q) qui, en 1699, conseillé par Halley, poussa le calcul jusqu'à 73 décimales

(donl 71 sont exactes). Il obtint ce résultat en posant 6 = ^ u dans

la série de Grégory.

Machin (^), avant 1706, donna une valeur de ir avec 100 décimales exactes, calculée au moyen de la formule :

tz , . I

De Lagny (*), en 1719, obtint une valeur avec 127 décimales (dont 112 exactes) en faisant 0=3 dans la série de Grégory.

(*) Voir la lettre à Collins, datée du i5 février 1671, imprimée dans le Commercium Epistolicum, Londres, 1712, p. 25, et dans la collection Macclesfield, Correspondencc of scicntijîc Men of the Seventeenth Century, Oxford, i84i, vol. II, p. 216.

(2) Voir Life of A. Sharp, par W. Gudworth, Londres, 1889, p. 170. Le travail de Sharp figure dans l'un des discours préliminaires (p. 53 et seq.) annexés aux Mathemalical Tabla de IL Sheuwin. Ces tables furent publiées à Londres en lyoS : les discours furent probablement publiés k la même époque, bien que les plus anciennes copies que nous en ayons vues portent la date de 1717.

(^) W. Jones. — Synopsis Palmariorum de Londres, 1706, p. 243 ; et Maseres. — Scriptores Lorjaritlimici, Londres, 1796, vol. III, p. 7-9, i55i64.

(*) Histoire de rAcadéinie pour 1719, Paris, 1721, p. i44.

2q/j récréations mathématiques

Hutton (*), en 1776, et Euler (-), en 1779, préconisèrent l'em-