AOM = MOD, BON = NOC

et l'addition membre à membre de ces trois égalités nous conduit à la relation

ou

AOB + AOM -4- BON = DOC -h MOD + CON.

MOA 4- AOB H- BON = a droits.

Fis. 5.

Les trois points M, 0, N étant ainsi en ligne droite, les côtés oj^posés AD, BG sont bien parallèles.

Supposons, eu second lieu, le point 0 à l'extérieur de la figure, et traçons les mêmes droites que plus haut.

On a encore :

AOB = DOC et BON = NOC,

donc

AOB -h BON = DOC -h NOC ou AON = NOD.

c'est-à-dire que ON est la bissectrice de l'angle AOD, cette droite coïncide donc avec OM et les deux côtés opposés AD, BC sont encore parallèles.

Cette conclusion n'est généralement pas exacte et la démonstration contient un point vicieux.

Sixième artifice. — La démonstration suivante est empruntée à UQ traité d'électricité publié en 1889 par deux mathématiciens distingués. Elle est présentée comme rigoureuse.

Un vecteur OP de longueur / peut être décomposé d'une infinité de façons en deux vecteurs OM et MP de longueurs /' et l". Nous

pouvons faire en sorte que le rapport p ait une valeur quelconque

comprise entre o et l'infini.

Supposons que le système soit rapporté à deux axes rectangulaires OX, OY et soient G, 0', G" les angles que font respectivement OP, OM et MP avec Ox. On obtient, en projetant sur Oy et Oo;, les relations

/ sin G = /' sin G' -f- /" sin G", / cos G = /' cos G' -f- l" cos G,

d'où par division

^ . n sin G' + sin G" , /'

tg G = ^7 ^,, , en posant ^,. = n.

° 71 cos G' -h cos G" ^ /"

Ce résultat est vrai quelle que soit la valeur attribuée à n; or, n peut prendre toutes les valeurs, et si nous faisons, n = oo et n = 0, nous arrivons à la double égalité

tg G =. tg G' = tg G", résultat évidemment impossible.

Septième artifice. — Voici encore une détermination erronée de la valeur de tz qui nous a été signalée pour la première fois par M. Chartres. Elle repose sur des quadratures bien connnes.

L'aire d'une demi- ellipse limitée à son petit axe, a pour expression -Tzab (en adoptant les notations usuelles). Supposons maintenant que le centre se déplace sur le grand axe qui devient ainsi de plus en plus grand, jusqu'à devenir infiniment grand; l'ellipse

ÎO RECREATIONS MATHEMATIQUES

devient à la limite une parabole et dans cette position limite particulière, l'aire est égal aux | du rectangle circonscrit. Mais le

premier résultat est également vrai quelles que soient les dimensions des élénients de 1* couvbe.

On a donc

-TTao = o a X 2 0, d ou -k =z -ij. 2 ô 6

Paradoxes géométriques. — Nous faisons suivre ces divers exercices de quelques questions qui ne peuvent être présentées comme de véritables artifices et qui conduisent à des résultats paraissant tout d'abord impossibles.

Premier paradoxe. — Voici un petit problème qui nous a été communique par M. Renton : il s'agit de faire exécuter une rotation complète de quatre angles droits à une surface plane (comme par exemple une carte ou une feuille de papier posée sur une table) de telle sorte que l'effet obtenu soit le môme que si la surface avait seulement tourné d'un angle droit.

On demande, par exemple, en considérant le cas d'une feuille de papier, que la rotation complète produise le même effet qu'un déplacement de 90° autour d'un de ses points 0 ; la solution est la suivante :

Décrivez sur la feuille de papier un carré OABG et faites la tourner de deux angles droits autour de la diagonale OB comme axe, puis de deux angles droits autour de Ok comme axe ; le résultat demandé est alors atteint.

Second paradoxe. — En géométrie comme en algèbre, la théorie des probabilités conduit à de nombreux paradoxes ; en voici un exemple très simple :

On brise une canne ou une petite baguette en trois morceaux quelconques qui pourront être assemblés de façon à former un

QLESTIONS DE GEOMETRIE It

triangle si la longueur du plus grand d'entre eux est moindre que la somme des deux autres, ou ce qui revient au même, si la longueur du plus grand est moindre que la moitié de la canne. Or, la

probabilité de briser une baguette en deux fragments égaux est - ; par suite, la probabilité de pouvoir construire un triangle avec les trois morceaux obtenus en brisant une baguette en trois devrait être

exprimée par .

Ce résultat est inexact, car la probabilité est | (^).

Troisième paradoxe- — L'exemple suivant est un des mieux choisis pour montrer comment les démonstrations qui ne reposent que sur le témoignage du sens de la vue sont sujettes à erreur ; en découpant les figures suivant certaines lignes et en effectuant un nouvel arrangement avec les parties obtenues on peut facilement se tromper dans les conclusions formulées. En général, les preuves ^ar décomposition et superposition doivent être examinées et discutées soigneusement, à moins qu'elles ne soient accompagnées d'un raisonnement mathématique.

Les démonstrations que l'on trouve dans certains ouvrages à l'usage de l'Enseignement primaire des propositions suivantes :

I. La somme des trois angles d\m triangle est égale à deux droits ;

a. Dans tout triangle rectangle, le carré conslrait sur V hypoténuse est égal à la somme des deux carrés construits sur les calés de l'angle droit ;

pouvant être complétées, au besoin, par le raisonnement, doivent être considérées comme valables. Mais quand la preuve mathématique fait défaut, on peut arriver à des résultats qui paraissent étranges à première vue comme dans l'exemple que nous allons donner.

Dans ce dernier exercice on se propose de faire voir qu'un carré

('} Voir un article de M. Lemooe dans le Dullelin âe la Société mathématique de France, tome XI; i883.

UEGUEATIONS MATHEMATIQUES

de papier ou de carton divisé, de même qu'un échiquier, en soixante-quatre petits carrés peut être découpé en quatre morceaux avec lesquels on formera par juxtaposition une figure contenant soixante-cinq carrés (*).

On arrive à ce résultat en coupant le carré primitif en quatre morceaux suivant les lignes marqués en traits forts sur la figure 7 ;

Fig. 7.

Fig. 8.

en réunissant ensuite ces morceaux de manière à former un rectangle comme le montre la figure 8, on constate que ce rectangle contient 5 X i3 ou soixanle-cinq petits carrés.

Ce phénomène qui n'est pas de nature à embarrasser un mathématicien, provient de ce que les sommets des quatre morceaux de papier ou de carton qui, dans la seconde figure paraissent se trouver sur la diagonale AB^ ne coïncident pas en réalité exactement, avec cette direction. Ces sommets comprennent effectivement une figure AGBD en forme de losange dont la surface est égale à celle de l'un des soixante-quatre petits carrés, mais dont l'une des diagonales AB est bien plus grande que l'autre.

(*) Nous ne connaissons pas celui qui le premier a fait mention de ce paradoxe. Jl est donné dans plusieurs livres modernes, mais nous ne trouvons pas de citation plus ancienne que celle qui en est faite par le prof. G. -H. Darwin, dans le Messencjer of Mathematics, année 1877, vol. \'I, p. 87.

QUESTIONS DE GEOMETRIE l3

On voit facilement, d'aprcs la figure, que l'angle formé par les deux côtés du losange qui se rencontrent en A est égale à la différence de deux angles dont les tangentes sont respectivement ^

et g; par suite, la tangente de l'angle en A du losange allongé AGBD

est égale à r^, c'est-à-dire que cet angle est plus petit que i° ^.

Pour distinguer à l'œil un angle aussi petit il est indispensable que les lignes de division de la première figure soient excessivement ténues et que les morceaux soient juxtaposés avec le plus grand soin.

Le paradoxe en question dépend de la relation.

On arrive à des résultats analogues au moyen des formules i3 X 34 — 21^ = I, 34 X 89 — 552 = I, ... ou encore en partant des formules

52 3 X 8== I. 132 — 8 X 21 = I, 342 — 21 X 55= 1, ... Les nombres 5, 8, i3, ... appartiennent à la série

o, I, I, 2, 3, 5, 8, i3, 21, 34, 55, 89, ... qui provient du calcul des réduites de la fraction continue

Ozanam emploie un paradoxe semblable Q) pour démontrer l'égalité 289 = 288 au moyen d'un carré dont chaque côté est

(1) OzANAM. — Edition de i8o3, vol. I, p. 299.

l/i I\ïiCRÉ\TIO?«S MATIIKMATIQUES

divise en dix-sept parties cgaîes. Il donne aussi un diagramme pour la division d'un rectangle comprenant 3 X 1 1 = 33 petits carres égaux en deux autres rectangles dont les dimensions semblent être 5, 4 pour le premier, et 7, 2 pour le second.

La soixante dix-septième récréation du Capitaine Turton. — Le capitaine Turton a imaginé une récréation plus amusante encore basée sur la décomposition des ligures.

Une feuille de carton de 33 centimètres sur 21 centimètres divisée en 77 petits carrés de chacun 3 centimètres de côté peut être découpée suivant les lignes de division et les carrés obtenus disposés de façon à reconstituer le rectangle primitif de 77 carrés avec un carré supplémentaire en saillie.

La construction est ingénieuse et ne se saisit bien qu'avec un modèle. L'artifice consiste à utiliser la faible épaisseur de la feuille de carton pour elTecluer les coupes en biais, de façon que les bords de chaque carré présentent un léger biseau. Le biais est si peu apparent sur les pièces du modèle qu'on ne peut s'en apercevoir qu'en les examinant de très près»

Le jeu ainsi donné aux petits carrés permet de les assembler en produisant en apparence un carré supplémentaire.

Coloriage des cartes géographiques. — Abordons maintenant l'étude de cette proposition géométrique que quatre coulmrs sont suffisantes pour colorier la carte d'un pays (divisée en départements, régions ou districts) de telle sorte que deux régions contiguës ne soient pas de la même couleur.

Par régions contiguës il faut entendre deux régions dont les contours coïncident sur une certaine étendue linéaire; deux régions dont les contours se touchent en un seul point ne sont pas considérées comme contiguës.

Ce problème a été mentionné par A. F. Môbius (*) dans ses leçons

(1) Leipzig Transactions (Math.-phys. cla3âc), tK85, vol. XXXVII, pp. t-6.

QrESTIO>^S DE Glt^OMETRIE

en i8!tO, mais il demeura inaperçu jusqu'à ce C[ue Francis Gulhric (') l'eut communiqué à de Morgan vers i85o, bien que, selon toute probabilité, il fut appliqué depuis de longues années par les fabricants de cartes géographiques. C'est en réalité de Morgan qui fil connaître cette proposition sur laquelle Cayley (^) appela de nouveau Tattention en 1878 <în signalant qu'il n'en connaissait pas de démonstration

Le raisonnement suivant, que nous ne présentons pas comme tine démonstration régulière, permettra peut-être au lecteur de s'assurer de l'exactitude de la proposition.

Soient A, B, G trois régions contiguës et considérons une quatrième i^'gion X contigué avec A, B et G. La région X ne peut occuper que deux positions : ou être complètement en dehors du contour limitant extérieurement la figure formée par les trois surfaces A, B, G; ou être complètement en dedans du contour limitant intérieurement la même figure : ces deux positions sont marquées X et X' sur notre figuré. Dans les deux cas, toute portion libre de la surface du plan de la figure est comprise entre les contours de trois régions seulement et, par suite, il n'est pas possible de tracer une nouvelle région Y contiguc avec A, B, G et X. En d'âutres termes, il est toujours possible de dessiner sur le plan quatre régions contiguës, mais il est impossible d'en dessiner cinq.

C*) Pro^'cedinrjs of the Royal Society of Edinbargh, 19 juillet 1880, vol. X, p. 728.

(*) Procecdings of the Lomion Mathcmaticûl Society, 1878, vol. IX, p. j48j et Pvoccedinrjs of the Royal Geographical Society, 1879, N. S. vol. I, p. sSg.

l6 RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES

Si les régions A, B, G ne sont pas contigucs l'une avec l'autre, ou si X n'est pas contiguë avec A, B, G, il n'est pas nécessaire de les colorier toutes d'une façon différente, d'où il résulte que le cas le plus défavorable est celui qui vient d'être examiné. D'ailleurs l'une quelconque des régions peut diminuer en surface et finalement se réduire à un point sans que le raisonnement cesse de subsister.

Il est évident, d'après la figure 9, qu'il nous faut au moins quatre couleurs dans le cas le plus défavorable, puisque les quatre régions contiguës A, B, G, X doivent alors être coloriées d'une façon différente.

La démonstration de la proposition présente des difficultés d'un ordre supérieur et toutes les tentatives faites jusqu'ici pour les surmonter ont échoué.

En 1879, A. B. Kempe (') avait présenté un raisonnement qui semblait démontrer la proposition, mais il contient un point faible (^).

En 1880, Tait (') publia une solution reposant sur le théorème suivant :

Dans un réseau fermé de lignes joignant un nombre pair de points de manière que trois lignes seulement se rencontrent en chaque point, il suffit de trois couleurs pour tracer les lignes de telle sorte que deux d'entre elles aboutissant au même point ne soient pas de la même couleur. Mais on ne considère pas comme réseau fermé le

(1) Il envoya sa première démonstration à « l'Americaii Journal of Mathematics », 1879, vol. II, pp. ig3-2oo ; mais ensuite il la communiqua sous une forme plus simple à la Société mathématique de Londres, Transactions, 1879, vol. X, pp. 229-231 et au journal Nature, 26 février, 1880, vol. XXI, PP- 399-400.

(^) Voir un article, par P.-J. Heav^'OOd* dans le Quarterly Journal of MathematicSj Londres, 1890, vol. XXIV, pp. 332-338 ; et 1897, vol. XXXI, p. 270-285.

(3) Proceedings of the Royal Society of Edinburgh^ 19 juillet 1880, vol. X p. 729 et Philosophical Magazine^ janvier i884j série 5, vol. XVII, p. 4i.)

QtJEST10:>S DE GÉOMÉTRIE 1']

Cas OÙ les lignes peuvent être partagées en deux groupes réunis par une seule ligne.

11 en déduisait comme conséquence que Cjualre couleurs sont suffisantes pour colorier une carte géographique. Sa démonstration qui a été reproduite dans la dernière édition du présent ouvrage» parut tout d'abord, si directe, qu'elle fut généralement admise; mais on en a contesté l'exactitude (' j. Son raisonnement cependant conduit à cet intéressant corollaire que quatre couleurs ne suffisent pas pour colorier une carte tracée sur le tore et les surfaces du même genre.

Bien qu'une démonstration du théorème soit encore à donner, personne cependant n'est parvenu jusqu'à présent, à tracer une carte plane exigeant plus de li couleurs pour le coloriage, et il n'y a aucune raison de douter de l'exactitude de la proposition.

Un s'est également occupé du nombre de manières dont une telle carte peut être coloriée avec 4 couleurs {^) mais les résultats obtenus ne sont pas suffisamment intéressants pour être mentionnés ici.

Configuration physique d'une contrée. ~ Puisque nous parlons des cartes géographiques, nous ferons remarquer ici que la théorie de la représentation de la configuration physique d'un pays au moyen de lignes tracées sur une carte a été discutée par Gayley et Clerk Max^vell Q). Ils ont établi qu'une certaine relation existe entre le nombre des montagnes, des vallées, des défilés ou gorges,

(i) Voir J. Petersen de Copenhague, V Intermédiaire des McUhcmaliciens ^ vol. V, 1898, pp. 225-227; et vol. VI, 1899, pp. 36-38.

(■') Voir A.-C. Dixox, Messenger of Matheniatics, Cambridge, 1902-1903) vol. XXXIT, pp. 8i-83.

(^) G.VYLKY. — <f Sur les courbes de niveau et les lignes de pente » Philosophical Magazine Londres, octobre 1859, série /\, vol. XVIII^ pp. 26/1-268; CoUecled Works (œuvres), vol. IV, pp. 108- ni.

J. Ci^ERK Maxwell. — Sur « les Àlontagncs et les Vallées » Philosnphical Magazine, décembre 1870, série 4, vol. XL, pp. 421-^*^7; CoUected Works, vol. II, pp. 233-240.

Récréations mathéœaticiues, II. 2

l8 RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES

Clc, clc, qui peuvent se trouver sur la surface d'un continent ou d'une île. Nous allons exposer sommairement les conclusions auxquelles ils sont arrivés.

Tous les points qui sont à la môme hauteur au-dessus du niveau moyen de la mer sont dits de niveau. Sur une carte, le lieu de tous ces points est représente par une ligne appelée courbe de niveau. Le contour d'une île est une ligne de niveau.

Il est d'usage de tracer les lignes de niveau sur une carte de telle sorte que la différence des hauteurs des points de chaque courbe soit constante d'une courbe à Tautre, il en résulte que plus les courbes paraissent rapprochées sur le plan, plus la pente du terrain est rapide ; mais en nous plaçant au point de vue dynamique, les hauteurs sont mesurées par le travail à effectuer pour passer d'une courbe à une autre et non par la distance linéaire qui les sépare en plan.

Une courbe de niveau est généralement fermée.

Considérons la courbe de niveau limitant une certaine région en élévation et supposons que deux pareilles régions aient un point commun, ce point est un point de rcbroussement de la courbe de niveau sur elle-même (c'est à dire un point double réel, il constitue un déjîlé ou une gorge. Considérons en second lieu une courbe de niveau limitant une partie de terrain formant dépression et supposons que deux régions de cette nature aient un point commun. Ce point est encore un point de rcbroussement de la courbe sur elle même et est appelé une fourche ou bifurcation. A mesure que les hauteurs des courbes de niveau augmentent, les surfaces planes limitées par ces courbes diminuent et, à la limite, elles se réduisent à des points qui sont des sommets de montagnes. De même à mesure que diminue la hauteur des courbes de niveau dans une région en dépression, le vide diminue, et, à la limite, se réduit sensiblement à un point qui est appelé le /ond de la vallée considérée.

Les droites tracées normalement aux courbes de niveau sont les lignes de pente du terrain. En suivant une ligne de pente, nous

QÙÉSTlOîîS DE GÉOMÉTRIE î^

finissons généfàlement par atteindre le sommet d'une colline ou le fond d'une vallée suivant le sens de la marche; nous pouvons cependant, dans des cas particuliers, arriver à une gorge ou à une fourche. Les régions dans lesquelles toutes les lignes de pente aboutissent à un même point élevé forment des montagnes ou des collines ; une région dans laquelle toutes les lignes de pente aboutissent à un même point bas est une vallée.

Enfin, les lignes de faîte ou de partage sont celles qui, de toutes les directions partant d'un point, ont le moins de pente, quand on considère le terrain de haut en bas ; les thalwegs sont les lignes de réunion des eaux.

Si n H- I régions en élévation ou en dépression ont un même point commun, ce point est un point multiple de la courbe de niveau sur laquelle il se trouve ; un tel point est appelé gorge ou fourche du ^mo QY^YQ qi (Joit être considéré comme constitué par n gorges (ou fourches) différentes. Si une seule région en dépression en rencontre une autre en plusieurs points à la fois, Tun d'eux doit être regardé comme une fourche et les autres comme des déjilés.

Ces quelques définitions topographiques données, nous pouvons aborder le sujet au point de vue géométrique.

Représentons par h le nombre de collines ou de montagnes qui existent sur un continent (ou une île), il y aura également h sommets; soit d le nombre des vallées, nous aurons aussi d fonds ; soit p le nombre total des défilés, p^ étant le nombre des défilés simples, p^ celui des défilés doubles, et ainsi de suite; de même, désignons par/, le nombre total des fourches simples, /g celui des fourches doubles, /g celui des fourches triples, etc.; soit enfin w le nombre des lignes de faîte et, par suite, celui des thalwegs.

En appliquant alors les théorèmes de Gauchy et d'Euler, on aura :

et

Jeux. — Abandonnant maintenant ces propositions purement géométriques, nous allons examiner quelques jeux ou récréations dépendant principalement de la position relative de certains objets, en renvoyant au cbapitre sur la discussion de ces jeux, discussion qui n'exige pas une connaissance très sérieuse de l'arithmétique ou de l'algèbre. Quelques auteurs regardent les jeux de dames, du solitaire, des échecs et quelques autres de même nature, comme des sujets d'étude géométrique, de même qu'ils traitent les dominos, le trictrac et, d'une façon générale, tous les jeux se jouant avec des dés, comme des questions dépendant de l'arithmétique ou plutôt de l'algèbre; mais les discussions entraînent à faire trop de suppositions pour qu'elles puissent raisonnablement s'appliquer aux jeux tels qu'on les pratique ou pour être môme intéressantes.

Les récréations que nous avons en vue ici sont des plus simples. Pour certaines, nous nous contenterons d'une citation en passant et nous pensons môme que le lecteur qui ne recherche que des questions purement mathématiques pourra, sans inconvénient, négliger la fin de ce cbapitre.

Jeux de situation (^), — Un grand nombre de jeux repose sur la géométrie de situation, nous n'en citerons que trois ou quatre.

Trois en ligne. — Nous pouvons mentionner, en premier lieu, le jeu des « Trois en ligne » dont les « zéros et les croix », forme particulière de la Marelle, et le Go-bang (^) nous offrent des exemples bien connus. Ces jeux se jouent sur une planchette ayant généra-

(1) M. Ball divise les jeux gcomctriqucs en jeux de position statique (statical cjamcs of position) et en jeux de position dynamique ou mieux cinématique {dynamical fjames of position) . Ces dénominations rendent bien la pensée de l'auteur, mais nous avons hésite à les introduire, car elles ne sont pas usitées en France. Nous avons fait une distinction entre les jeux de situation et ceux de position.

(*) Voir plus loin.

Icment la forme d'un carre divisé en /i' petites cases. Le plus habiluellement, voici comment on joue : l'un des joueurs place un jeton ou un pion blanc sur la case qu'il veut occuper, ou encore y fait une croix; son partenaire place également un jeton ou im pion noir, ou encore trace un zéro, sur la case qu'il désire retenir; et ainsi de suite. Celui qui le premier a disposé trois (ou un autre nombre assigné) jetons ou pions sur trois cases adjacentes en ligne droite a gagné la partie.

La théorie mathématique du jeu pour un carré comprenant neuf cases a été étudiée d'une façon complète et il n'est pas difficile de l'étendre à un jeu de i6 cases, mais l'analyse est longue et ne présente aucun intérêt particulier.

Plusieurs de ces jeux étaient connus des Anciens (') et c'est uniquement pour cette raison que nous les mentionnons ici.

Extension donnée au jeu des trois en ligne. — Nous devons cependant dire quelques mots d'une élégante mais difficile généralisation de la question, qui, jusqu'ici, du moins aussi loin que nos recherches ont été poussées, n'a été examinée dans aucun recueil de Récréations mathénialiques.

Le problème cofisiste à placer n jetons sur un plan de manière à former le plus grand nombre possible de lignes dont chacune ne contiendrait que trois jetons seulement (^).

Il est facile de disposer les jetons suivant un nombre de lignes

égal à la partie entière de l'expression. rr (n — i)^. La construction

suivante nous en fournit le moyen. ;

P étant un point quelconque d'une cubique, soit Q le point où la courbe est encore coupée par la tangente en P, soit de même A le point où la tangente en Q rencontre la courbe. La droite PA

(ij Begq de Folquièbes. — Les jeux des anciens, seconde édition, Paris 1873, chap. XVIII.

(^) Educalional Times, réédité, 1868, vol. Vill, p. 106; ibid, 1886, vol. XLV, pp. 127-128.

22 RÉCRlL\.TTONS MATHEMATIQUES

coupe la coTirl)e en B, OB la coupe en G, PC en D, QD en E, et ainsi de suite. Les jetons doivent être disposés aux points P, Q, A, B... Ainsi, neuf jetons peuvent être disposés en huit lignes; dix jetons en dix lignes: quinze jetons en vingt-cpiatre lignes; quatrevingt-un jetons en huit cents lignes; et ainsi de suite.

Si cependant P est un point multiple d'ordre n sur la cubique, Sylvester a démontré que la construetion précédente donnait un nombre de lignes égal à la partie entière de l'expression g {n— i) (n — 2). Ainsi, neuf jetons peuvent être arrangés

en neuf lignes, ce qui constitue une récréation facile et bien connue; dix jetons en douze lignes; quinze jetons en trente lignes, et ainsi de suite.

Mais ces nombres mêmes donnent des limites inférieures et peuvent être dépassés : par exemple, Sylvester a établi que neuf jetons pouvaient être placés suivant dix lignes contenant chacune trois jetons. Nous ne savons pas comment il les dispose, mais voici un arrangement pouvant être adopté : on place les jetons aux points déterminés par les coordonnés (3,0), (2,2), (2,4), (4,o), (4.2), (4,4). (0,0), (3,2), (6,4); une autre disposition est donnée par les points (0,0). (0,2), (o,4\ (2.1), (2,2), (2,3), (4,o), (4,2), (4,4).

Plus généralement, les sommets d'un hexagone régulier et les trois points d'intersection des côtés opposés forment un pareil groupe ; par suite, une projection quelconque de cette figure nous donnera une solution.

Jusqu'à présent, il n'est pas possible de fixer le nombre maximum de lignes de trois jetons qui peuvent être l'ormées avec n jetons disposés sur un plan.

Généralisation, p en ligne. — La question que nous venons d'examiner nous conduit naturellement à cette généralisation : disposera jetons sur un plan, de manière à avoir le plus grand nombre de lignes possible, chacune ne contenant quep jetons seulement.

Les problèmes de cette nature peuvent souvent se résoudre immé-

dialement en supposant à l'infini les points d'intersection de certaines lignes suivant lesquelles les jetons sont distribués, puis en projetant, s'il est nécessaire, la figure ainsi formée, de manière à amener ces points à une distance finie. iNous avons donné quelques lignes plus haut un exemple d'une semblable solution.

Comme applications faciles, nous pouvons mentionner l'arrangement de i6 jetons suivant i3 lignes, contenant chacune 4 jetons, et l'arrangement de 19 jetons suivant 10 lignes contenant chacune 5 jetons. On obtient une solution de ce second problème en plaçant les jetons aux 19 points d'intersection des dix lignes définies par les équations.

x:s=dz a, X = ± b, y = àz a, y = zh b, y = zh x i

deux de ces points sont à l'infini.

Nous abandonnons à nos lecteurs la recherche de la solution du premier problème.

Carrelage ou parquetage. — Une autre récréation connue sous le nom de carrelage, consiste à former des dessins géométriques ou des mosaïques avec des carreaux d'une certaine nature, c'est-àdire marquetés ou de couleurs variées.

Pour ceux qui n'ont jamais examiné la question, il peut paraître singulier que des dessins formés en juxtaposant des carreaux de terre cuite, ou de toute autre nature (divisés par une diagonale en deux parties, l'une blanche et l'autre noire), soient un sujet d'étude pour l'analyse mathématique. Etant donnée la discussion qui a été présentée par Montucla (*), Lucas ('), et d'autres auteurs, il nous paraît nécessaire d'en faire l'objet d'un paragraphe spécial.

Les formes géométriques les plus simples et les plus régulières sont, en général, celles que l'on emploie avec le plus de succès pour

(1) Voir Oz\TVM, — Edition de i8o3, vol. I, p. 100; édition de i84o, p. 46.

(^) Luc.vs. — Récrcalions mathcniatirjucs. Paris, 1 882-3, vol. II, part. /\ : nous aurons encore occasion de citer cet auteur un peu plus loin.

RÉGniv\TlO\S M VTHÉMATIQl ES

les malérîaux desiînc's à enlrcr dans la constitution des édifices. Si l'on examine, par exemple, les difl'érenls carrelages qui se présentent le plus souvent dans l'intérieur des habitations, on y voit des triangles équilatéraux, des carrés, des hexagones et des octogones réguliers.

Les ligures lo, ii et i3, ci-après représentent respectivement des

carrelages composés d'une seule espèce de carreaux, qui sont des triangles équilatéraux dans la première, des carrés dans la seconde, et des hexagones réguliers dans la troisième. Il est à remarquer que ces polygones réguliers sont les seuls que l'on puisse employer dans les carrelages où l'on ne veut pas cembiner des figures dont les nombres de côtés ne soient pas les mômes.

Représentons, en effet, par n le nombre des côtés d'un polygone

Fù

Fig. II. Fig. 13.

régulier; la somme de tous ses angles intérieurs est égale à (/i — 2) tt et chacun d'eux vaut

(n — 2) ir

Pour qu'il soit possible d'assembler un certain nombre de ces polygones autour d'un même point, il faut que l'expression (i) représente une partie aliquote de 4 angles droits, c'est-à-dire que Ton doit avoir

p représentant un nombre entier égal h 3 ou plus grand que 3.

Pour p =r 3, 71 = G, et pour p ^ 3, on obtient l'inégalité n <^ G. qui montre que le problème est impossible avec des polygones réguliers de 7 cotés ou de plus de 7 côtés.

Reprenons l'égalité

Si n est impair, les deux nombres n — 2 et n étant premiers entre eux, la fraction du premier membre est irréductible et 2 ainsi que p sont des équi-multiples de n — 2 et de n.

Par suite

n 2=1, d'où n rrrr 3

K et

p =^ n X 2, d'où p == 6,

Si 71 est pair, nous pouvons poser n = 2 m et l'égalité devient

la fraction étant alors irréductible, on a :

m — 1 = 1, d'où m = 2 et 71 = 4

p = 2.771, d'où p =z l\.

néGRÉ4T10NS MATHÉMATIQUES

IMen plus, M. Lucien Lévy montre comme il suit(*) qu'un carrelage sans vides, ni empiétements, est impossible si l'on veut associer des polygones étoiles à des polygones convexes.

En d'autres termes, on ne peut faire un pavage avec la disposition

ci-contre :

KABCL polygone étoile.

FADBG polygone convexe, GBEGH »

En effet, soit n le nombre des côtés du polygone étoile et p l'espèce.

L'angle du polygont

L'angle

ADBz=

L'angle

Or, il faut

DBG

ADB = DBG, ou (" - ^P + a) ^ ^ (» - ^p)

d'où

Donc n doit être pair = 2 n

(1) L. Lévy. — Sur les pavages à l'aide de polygones réguliers. BuUclin de la Société philomathique de Paris. 8'= série, t, lïl, n° 2, pp. 46,

et '

Mais /) est premier avec n, donc p est impair et n' est impair. Or, soit N le nombre des côtés du polygone convexe : son angle sera

et il faut

d'où (P— i)N== 2Ai', et P- -^==n'.

Donc N devrait être impair : mais pour qu'un polygone convexe puisse être entouré alternativement de polygones convexes et étoiles, il faut qu'il ait un nombre de côtés pair. Donc le problème est impossible.

Il est évident que si le polygone avait un côté traversant le triangle ABD, les angles formés extérieurement par ce côté et par AD et DB seraient plus grands que l'angle ADB : le problème serait impossible a fortiori.

Proposons-nous donc la question générale de recouvrir un plan avec des polygones réguliers convexes n'empiétant pas les uns sur les autres et de manière à ne laisser aucun vide, sans s'imposer la condition que les figures assemblées aient nécessairement le même nombre de côtés.

Le plus petit nombre possible de polygones pouvant être employés en chaque point d'assemblage est 3.

Représentons par n^, n.^ et n^ les nombres de côtés de ces trois figures, ces nombres étant supposés rangés par ordre de grandeur croissante,

28 nÉCRÉATIONS MATHEMATIQUES

Les angles au sommet de chacun des polygones ont respect] vcment pour valeurs

0^1 — a) 3 (n, — 2)2 ^^ (AI3 — 2) 2

et on doit avoi

(^^i — 2) 2 ^ (n.^ — 2) 2 ^ (/ig — 2) 2 ^ ^ /Il /i. n.

ou

Hi 2 Al> 2 /lo 2

/Il /I2

d'où enfin la relation conditionnelle

1 1 = - . avec n ^ <^ ii

Le plus simple des polygones réguliers étant le triangle équilaléral, posons n^ = 3 et cherchons à déterminer les polygones pouvant être associés avec ce triangle.

On a alors

et

n^ >> 6 avec n^ '^ ^^• Pour

/ig = 42.