I II

n,~ 6 8~ïïî'

I I I 5 "2— II' /T'^e ""TT'^ëô» /^a n est pas entier.

QUESTIONS DE GÉOMÉTBIE

Enfin pour n^= 13, n.^ = 12.

La première combinaison : n^ = 3,

-- et «3 = 42 ne permet

pas de constituer un carrelage; car les trois angles réunis au 3' sommet du triangle équilatéral ayant respectivement pour valeurs

V, de droit, -^- et — ^ donneront une somme inférieure à 4 droits. 6 11^

Il resterait donc un vide.

La deuxième combinaison :

iiy := 3, lu = 8 et /I3 =^ 2t\

donne pour la somme des angles assemblés au 3° sommet du triangle

équilatéral

somme inférieure à 4 droits.

Les 3" et 4"^ combinaisons ne sont pas davantage admissibles. La seule combinaison possible est :

71^ = 3, /l^ =^ 12, /îg r=: 12.

Assemblage du triangle écjuilatéral avec le dodécagone régulier: on obtient la figure représentée ci- contre.

Examinons, en second lieu, le cas où n^ = l\.

Alors

égalité qui combinée avec la relation n^ <^ n^ nous donne

Fis. ili.

RÉCREAtlONS MATHEMATIQUES

Pour = 5.

— = , — r = — , n^ =-. 20, assemblable inadmissible n., 4 5 2o ^ °

- ==^ >. , /I3 n'est pas entier

n, = 8, — == y — ci = o« 71, = 8, seule combinaison possible. •* /I3 4 o o "* ^

On peut donc former un carrelage avec des carrés et des octogones et on obtient une figure identique à la suivante.

Supposons encore /i^ = 5,

- et

alors 1

~~ iO 5 10

Cette combinaison n'est pas admissible.

Fig. i5.

Enfin pour 112 = Q, on trouve /Î3 = 6.

Et la combinaison rii =: n.^ = n^ =: 6 fournit le carrelage déjà représenté plus haut, figure 12.

Ainsi avec 3 polygones réguliers ayant ou n'ayant pas le même nombre de côtés tous les trois, les seules combinaisons possibles sont

lli = 3, n^ rrr 12, «3 = 12,

n^ — 4. Ih =8, «3 :=r 8,

QtÈSTtOlNâ DE GÉOMÉTRIE 8l

Passons maintenant au cas de quatre polygones réguliers dont nous représentons les nombres des côtés» rangés par ordre de grandeur croissante, par /i^, n.^, n^ et n^,

On doit avoir en chaque sommet d'assemblage

[n, — 2) 2 ^ {n, -^ 2) 2 ^ (^3 — 2) 2 ^ (jhJuAl =: 4,

d'où la relation

l + irh 'h

avec

/ig < n^.

Par suite n^

Pour

fi, =

Faisons n.^ -

n en

déduit

Hj = 0, — zzz w — K = — F , /Î4 n est pas entier,

Tir O D I D

Ainsi, avec rt^ r= 3 et n^ = 3 on peut avoir "3 = 4, «4 = 13,

OU

Faisons

et /Î3 = i^, donne

ih = 6.

Par suite, avec n^ = 3 et n^ = 4 on ne peut avoir que

/îg = 4 et n^ = 6.

Enfin pour n^ = l\, les 4 polygones réguliers sont des carrés. En résumés avec 4 polygones réguliers nous avons les comllnaisons

Hi =: 3,

/il = 4,

II, = n.

La combinaison (i) ne permet pas de constituer un carrelage. La combinaison (2) nous donne les figures 16 et 17 ci-aprcs.

Fig. 16.

FJg. 17.

La combinaison (3) donne lieu à l'une des trois figures i8, ou 20, au sujet desquelles L. Lévy (^) fait les remarques suivantes.

Dans l'assemblage régulier (fig. 18) tous les sommets sont identiques. Les assemblages des figures (19) et (20) conservent quelques propriétés de l'assemblage régulier. Ainsi on trouve dans les deux groupements des hexagones, un sur deux, dont les six axes de symétrie aa, bb, sont axes de

Fiir. 18.

ce, dd, ee^ff symétrie des figures complètes. Les autres hexa-

(*) Mémoire déjà cité.

Récréations mathématiques, II.

Fig. 19*

REGUEA.TIONS MATIIKM ATIOUES

goncs n'ont en commun avec la figure totale, que quatre symétries dans l'une des ligures, trois dans l'autre ; dans la figure 19, un carré sur deux, dans la figure 20 un carré sur trois ont deux axes de symétrie communs avec la figure ; ce sont les perpendiculaires au milieu des côtés. Il est d'ailleurs bon de remarquer que les diagonales des carrés ne sont axes de symétrie dans aucune

tv e . /n

;>rA>^

Fig, 20.

des trois figures. Dans la figure 19, un triangle équilatéral sur deux a ses trois axes de symétrie qui servent d'axes à la figure complète. L'autre triangle, comme tous les triangles de la figure 20 n'a qu'un axe de symétrie commun avec la figure.

On pourra ainsi, avec les mêmes polygones, obtenir autant de groupements que l'on voudra, et présentant des symétries de plus en plus rares. Mais il est évident que, pour le coup d'œil, lorsqu'on

aura à recouvrir un espace déterminé, on devra choisir un dessin qui reproduise la même disposition, un certain nombre de fois, sans cependant trop la répéter.

Par exemple, dans un espace restreint, on emploiera le pavage de la figure 18, si l'on dispose d'un peu plus de place, celui de la figure 20, puis celui de la figure 19, etc. Il est encore bon de remarquer qu'à cause des symétries multiples de ces figures, reflet artistique sera entièrement difîérent suivant qu'on disposera parallèlement au côté de la pièce à paver une diagonale d'un hexagone ou la droite joignant les milieux de deux côtés opposés.

De nombreuses questions peuvent être posées à propos de ces assemblages ; ainsi on peut se demander si le nombre en est illimité. Autant qu'il m'a semblé, la réponse doit être affirmative ; on peut se donner arbitrairement une file de ces polygones ayant leurs centres en ligne droite et il restera encore une infinité de manières de terminer le pavage. Voici cependant quelques précautions à prendre : on ne devra pas mettre à la suite, dans la file de polygones, plus de trois carrés, ni plus d'un triangle, ni plus d'un hexagone ; ces remarques sont faciles à vérifier. En voici encore une dont le lecteur trouvera sans peine la démonstration : considérons l'ensemble de polygones (fig. 21).

Lorsqu'on rencontrera sur un axe de symétrie, le sommet A, commun ^"^'o* ^^* ^^o* 22.

à un hexagone et à un triangle^ suivi lui-même d'un autre hexagone, tout l'ensemble (fig. 21) devra être dessiné.

D'ailleurs un triangle équilatéral ne peut être entouré que de l'ensemble (fig. 21) ou de l'ensemble (fig. 22) (*).

Arrivons au cas de cinq polygones réguliers.

(*) L. Lévy. — Sur les pavages à l'aide de polygones réguliers. Bulletin de la Société philomatique de Paris. 8® série, t. III, n<» 2, p. 46.

/ip /ig, /I3, n,^ et /ig désignant toujours les nombres des côtés, on a ;

avec

nj < «2 < /I3 < n^ <^ n..

On ne peut avoir car il en résulterait

7ll ==

valeur non entière.

Si »! = 3, alors

/I3 /i^ /ig 2 3 < ^2 < 4

Supposons Aij = 3

/I3 71, Al, 0

Si ^3 = 3

Si on suppose encore /i^ = 3, il en résulte finalement n,^-=^ Ç). Si 71^ = 4> alors ti. = 4»

Ainsi, avec cinq polygones réguliers, on a les deux solutions suivantes :

rii = 3, 7?^ = 3, n^ = 3, Uj^ = li, 77, = 4 (fig- 23) rtj = 3, 713 = 3, Tig = 3, ri^

la première fournit les trois combinaisons représentées par les figures 23, 3^, 26.

La seconde ne permet pas de constituer un carrelage.

Avec 6 polygones on arrive

à la relation

avec

Hi < II, < «3

et la seule solution

i possible

est

Tout ce qui précode donne ridée d'une récréation des plus intéressantes et à la portée des enfants. Elle consiste a découper dans

Fiiç. 2h.

Fis. 25.

des morceaux de carton blanc un certain nombre de polygones réguliers susceptibles de constituer un carrelage, ces figures une fois

RECREATIONS MATHEMAIHQUES

teintées de diverses couleurs sont mélangées et il s'agit de les assembler de façon à former un carrelage.

On obtient ainsi des dessins variés dont quelques uns présentent beaucoup d'originalité et oITrcnt de jolis sujets de décorations.

On obtient également des effets très agréables que les architectes pourraient avantageusement mettre à profit pour le carrelage des édifices publics et particuliers, en employant de simples combinaisons de carreaux partagés en deux triangles de couleurs différentes. Le P. Sébastien Truchet, de l'ancienne Académie des Sciences ; est le premier qui envisagea ce sujet sous le point de vue géométrique. Il raconte, dans un Mémoire imprimé parmi ceux de l'année 1704, qu'étant allé faire un voyage au canal d'Orléans, il rencontra, dans un cliâteau voisin, des carreaux de faïence carrés et mi-partis de deux couleurs par une diagonale ; ils étaient destinés à carreler une cliapelle et quelques appartements. Cela lui donna occasion d'examiner de combien de manières deux de ces carreaux pouvaient se joindre ensemble par le côté pour en former différents dessins.

On trouve d'abord, suivant la situation qu'un seul carreau peut prendre, quatre dessins différents (1,2,3,4, fig- 26), qui néanmoins peuvent se réduire à deux, puisque le premier et le troisième, le second et le quatrième, ne diffèrent qu'en ce que les parties claires et ombrées sont transposées mutuellement.

Maintenant, si l'on combine deux de ces carreaux ensemble, il en résultera 64 arrangements différents ; car, sur chacun des quatre côtés d'un des carreaux représentés par les figures 26 ci-dessus, i, 2, 3 et 4» on peut placer un quelconque des trois autres carreaux dans quatre positions différentes.

Il faut cependant observer que de ces 64 combinaisons il y en a précisément une moitié qui ne fait que répéter l'autre absolument dans le même sens, ce qui les réduit à 82. On les réduirait à 10 si l'on n'avait pas égard à la situation.

On pourrait combiner d'une manière analogue trois, quatre, cinq, etc. carreaux les uns avec les autres, on trouverait que 3 carreaux peuvent former entre eux 5^ = 128 dessins, que quatre en forment 3^ = 4* = ^56, et que le nombre des dispositions distinctes renfermées dans un carré formé par 64 carreaux est égal à 2"* ou 18446744073709551 G16.

On trouve chez quelques tabletiers sous le nom de jeu du parquet, une petite table garnie d'un rebord et contenant 64 ou 100 petits carrés mi-partis, que l'on choisit parmi un plus grand nombre, de manière à établir des combinaisons agréables à l'œil. Les personnes curieuses de cet amusement, en verront de très nombreuses dans le Mémoire cité du P. Truchet, et surtout dans un traité spécial sur la matière, publié en 1722 par le P. Douât, confrère du P. Truchet, sous le titre : Méthode pour faire une infinité de dessins différents avec des carreaux mi-partis de deux couleurs par une ligne diagonale.

Carrelages anallagmatiques. — Sylvester Q) a étudié tout spécialement des assemblages particuliers de carreaux blancs et noirs auxquels il a donné le nom de carrés anallagmatiques.

Un tel carré est formé de cases noires et blanches, en nombre 1 ou inégal, mais disposées de telle sorte que, pour deux lignes

(*CTa

ou deux colonnes quelconques, le nombre des variations de couleurs soit toujours égal au nombre des permanences. La figure 27 est un carré

anallagmalique de 16 cases.

Considérons le carréanallagmatique de 4 cases représenté ci-contre (fig. 28) et remplaçons les cases ^'o- 27. Fig. 28. Fig. 29.

noires par des cases blanches et inversement, on obtient un nouveau carré (fig. 29) qui est l'opposé ou le complémentaire du premier.

(') Voir VEducatlonal Times rcprints, Londres 1868, vol. X, pp. 74, 76, 112; voir aussi vol. XLV, p. 127; vol. LVI, pp. 97-99

Laisant a donné le procédé suivant pour construire les carrés anallagmatiques de 2" cases de côté (').

Prenons les deux carrés anallagmatiques figures 26 et 27 de deux cases de côté. Avec ces deux figures on forme les carrés suivants, complémentaires, de [\ cases de côté :

FÎK. 38.

c'est-à-dire

Fig. 3o.

Si, dans la figure précédente, on remplace A et B par les carrés que nous venons d'obtenir, on obtient les carrés complémentaires de 8 cases de côté ; et, ainsi de suite. D'ailleurs il est évident que l'on peut déduire d'un carré anallagmatique un grand nombre d'autres : 1° par la permutation des colonnes et des lignes; 2" par le changement des couleurs des cases d'une ligne ou d'une colonne quel-^ conque.

L'idée du carré anallagmatique a été déduite par Sylvester de la démonstration qu'il a donnée, le premier, d'un théorème énoncé par Newton, dans VArithméùqae universelle.

Préférable à celui de Descaries, ce théorème fournit une limite supérieure du nombre des racines réelles d'une équation numérique par la considération de la succession des signes dans l'ensemble des coefficients de trois termes consécutifs.

Au Congrès du Havre {Association française, 1877) Lucas a fait remarquer l'analogie qui existe entre le carré anallagmatique de Sylvester, et les formules qui donnent la décomposition du produit

(') Laisant. — Notice historique sur les travaux des sections de mathématiques. Association française pour Vavanccment chs Sciences. Compte rendu de la 8® session, Montpellier, 1879.

QUESTIONS DE GEOMETRIE /Jl

(le sommes de 4. 8, i6, ... carrés, en une somme de 4. 8, i6, ... carrés. On sait que cette formule a été donnée par Léonard de Pîse pour 2 carrés, par Euler pour 4. pf^r Prouhet et Gayley pour 8 et par Genocchi pour 2" carrés.

Par exemple, en remplaçant les cases blanches du carré anallagmatique de 4 cases de côté représenté fig. 27, plus haut, parlesîgne -h et les cases noires par le signe — , on forme le tableau

que l'on retrouve dans le produit de

«2 ^ 52 ^ c2 4- d^ par

mis sous la forme suivante d'une somme de 4 carrés

(-H ap — bq — cr — dsY (-f-- as — 6r H- cg -h dpf (+ aq -h bp — es -h drY ( — ar — bs — cp -h dqY

Nous conseillons au lecteur de rechercher les figures des carrés anallagmatiques de G4 cases et de 266 cases.

Il existe un pavage anallagmatique de ce genre, en marbre blanc et rose, dans Tune des cours d'un établissement public de Londres.

Les difficultés du problème augmentent si l'on emploie des carreaux de plus de deux couleurs. Comme simple exemple de ce genre de question, nous mentionnerons la récréation suivante dont nous devons la comnmnicalion à l'obligeance d'un correspondant qui lui donne le nom de « jeu de la croix en quatre » (Cross-fours). On

se sert de seize jetons carres, dont la moitié supérieure de chacun d'eux est respectivement jaune, rouge, rose ou bleue, et la moitié inférieure dorée, verte, noire ou blanche, mais deux jetons ne sont pas coloriés de la môme façon ; il s'agit de disposer ces jetons en carré de telle sorte qu'il y ait huit couleurs seulement dans chaque ligne horizontale, dans chaque colonne verticale et dans chaque diagonale. Les jetons peuvent également être arrangés de façon que chacune de ces dix directions (*) ne contienne que six couleurs seulement, ou encore cinq couleurs ou enfm quatre couleurs. Les questions de cette nature sont peu connues, elles sont cependant assez instructives.

Problème du cube colorié. — Gomme un nouvel exemple de récréation analogue à celle du carrelage, nous citerons le problème du cube colorié ; nous le choisissons de préférence d'abord, parce qu'il présente quelques difficultés, ensuite, et principalement parce qu'il a été soumis à l'analyse mathématique (^).

Abstraction faite de toutes notions spéciales de mathématiques, la question se résume ainsi : les six faces d'un cube sont peintes avec six couleurs différentes, et en permutant l'ordre de ces couleurs on peut obtenir trente cubes dont deux quelconques ne sont pas coloriés de la même manière. Considérons l'un deux que nous représenterons par la lettre K, le problème consiste à choisir huit cubes parmi les vingt-neuf qui restent, avec lesquels on se propose de construire un nouveau cube (dont les dimensions linéaires seront doubles de celles de K) colorié comme K, les petits cubes élémentaires étant disposés de telle sorte que les faces en contact de deux d'entre eux soient de la même couleur.

Il n'existe qu'une seule collection de huit cubes satisfaisant à la question, mais il ne s'agit pas de les déterminer d'une façon empi-

(') Les ligne horizontales, les colonnes verticales et les deux diagonales.

(') Par le Major Mac Mahon ; un extrait de son Mémoire présente à la Société mathématique de Londres, le 9 février 1898, a été donné dans le n*' du 23 février 1893, du journal Nature vol. XLVII, p. 406.

rique. L'analyse mathématique nous fournit la règle suivante pour les obtenir sans tâtonnements.

Considérons une face quelconque du cube K, aux quatre angles de cette surface se rencontrent trois couleurs ; en effecluant sur ces couleurs considérées comme des nombres une permutation circulaire, nous obtenons avec chaque angle deux cubes dilférents et les huit cubes ainsi déterminés répondent à la question.

Supposons, par exemple, que les six couleurs soient représentées par les lettres a, b, c, d, e,f. Plaçons le cube K sur une table et, pour fixer les idées, admettons que la face coloriée/ soit la face inférieure, celle coloriée a la face supérieure, et que les autres couleurs 6, c, d et e soient orientées suivant les directions Est, Nord, Ouest et Sud.

Nous représenterons une pareille disposition par la notation (/, a; b.c.d.e). Une permutation circulaire des couleurs qui se rencontrent à l'angle N-E de la face supérieure nous donne le cube (y, c ; a.b.d.e). De même, les deux permutations circulaires des couleurs qui se rencontrent à l'angle N-0 de la face supérieure du cube K, nous donnent les cubes (f, d; b.a.c.é) et (/, c; b.d.a.e.). L'angle S-0 de la face supérieure du cube K nous fournit les deux nouveaux cubes (f, e; b.c.a.d) et (f, d; b.c.e.a); et enfin, avec les couleurs de l'angle S-E, nous formons les deux derniers cubes (/, e; a.c.d.b), [f, b; e.c.d.a).

Les huit cubes cherchés étant ainsi obtenus, il n'est pas difficile de les disposer de façon à former un nouveau cube colorié comme K et remplissant cette condition que deux faces en contact soient de la môme couleur. Ces conditions peuvent être satisfaites au moyen de deux arrangements différents. Voici une façon d'opérer : donnons un numéro d'ordre aux divers cubes décrits plus haut, et plaçons les n" 3, 6, 8 et 2 aux sommets S-E, N-E, N-0 et S-0 d'un carré, la face coloriée/ étant, bien entendu, à la partie inférieure, les cubes 3 et G ayant les faces coloriées b tournées vers l'E et les cubes 2, 8 tournant vers TO, les faces coloriées d. Les n"" 7, i, Il et 5 seront alors placés au-dessus des premiers, respectivement

dans les angles S-E, N-E, N-0 et S-0, les faces coloriées a étant, bien entendu, toutes à la partie supérieure; les cubes 7 et i ayant les faces coloriées h tournées vers TE et les faces coloriées d des cubes 5 et 4 regardant l'O.

Si on ne se donne pas au préalable le cube K, il devient alors bien difficile, sans le secours de l'analyse mathématique, de disposer les huit cubes élémentaires de manière à former un seul cube dont les faces soient coloriées comme celles d'un des vingt-deux cubes restants avec cette condition que les faces en contact dans deux petits cubes soient de la même couleur.

Il est bien facile de construire un jeu semblable, ayant des dimensions raisonnables, il est môme surprenant qu'on n'en trouve pas chez les marchands de jouets, mais nous n'en avons jamais vu d'autre que celui que nous avons construit pour notre usage.

Nous ne croyons pas sortir du cadre que nous nous sommes tracé en exposant ici un joli problème sur la sphère traité par A. Ilermann dans une publication aujourd'hui oubliée (Journal des sciences mathématiques publié par Labosne).

Voici le problème en question :

Quels sont les polygones réguliers sphériques que Von peut employer pour recouvrir la sphère en n^ utilisant que des polygones égaux entre eux^ associés en même nombre autour d'un sommet quelconque de Van des polygones ?

Rappelons d'abord ce théorème important qui est dû à Euler.

Théorème d'Euler. — Dans tout polyèdre convexe, le nombre des arêtes augmenté de deux est égal au nombre des faces augmenté du nombre des sommets.

Autrement dit, si on appelle S le nombre des sommets, Aie nombre des arêtes, F le nombre des faces, on a :

SH-Fr==AH-2.

Considérons un point quelconque à l'intérieur du polyèdre. De ce point comme centre décrivons une sphère. Les droites qui joignent

QUESTIONS DE CÉOMETHIE ^| 5

le point choisi aux sommets du polyèdre percent la sphère en différents points que nous joindrons par des arcs de grand cercle. Ces arcs de grand cercle détermineront sur la sphère des polygones sphériques correspondant aux différentes faces du polyèdre et dont l'ensemble recouvre la surface de la sphère. Soit ABGDE l'un de ces polygones et soit n le nombre de ses côtés, sa surface aura pour expression

S représentant la somme de ses angles. Si nous faisons la somme des surfaces de ces polygones, nous trouverons la surface de la sphère, qui est égale à 8. D'un autre côté, la somme des angles des polygones est égale à 4 S, puisque la somme des angles des polygones qui s'ajustent autour d'un même point est égale à 4 droits et qu'il y a sur la sphère autant de sommets que dans le polyèdre ; de plus on a :

par conséquent on a l'égalité

ou S -h F = A -I- 2.

Passons maintenant à la solution du problème énoncé. Soient :

71 le nombre des côtés d'un polygone :

K le nombre des polygones associés autour d'un môme sommet ; m le nombre des polygones ; A l'angle de l'un des polygones.

La surface du polygone sphériquc étant contenue m fois dans la surface de la sphère, nous aurons la relation

(♦) L'unité de surface est comtne Ton sait le triangle sphérlque trirectanglc .

46 RÉCHÉATIONS MATIIKMATIQUES

égalité d'où nous déduisons

or nous avons

donc

^'^ "" — 2(,iVK) — lor

Examinons maintenant ce que devient cette formule pour les hypothèses diverses que Ton peut faire sur la nature du polygone. Si nous nous servons de triangles équilatéraux, nous aurons :

La formule (i) nous donne

m devant être un nombre entier, on ne peut donner à K que les valeurs 3, 4 et 5 auxquelles correspondront pour m les valeurs

Pour 71 3= 4» on a :

et on ne peut donner à K que la valeur 3, ce qui donne

Pour Al ••= 5 la formule (i) devient

QUESTIONS DE GÉOMETIITE /j 7

et on ne peut encore donner à K que la valeur 3 qui nous conduit à

Pour 71 = G la formule (i) devient

et on ne peut donner h K aucune valeur ; il en est a fortiori de même pour n >> 6.

(( Ainsi, on ne peut recouvrir que de 5 manières la splicrc de polygones réguliers égaux, assemblés en même nombre autour d'un même sommet ».

Première remarque. — On sait qu'il existe 5 polyèdres réguliers : si on considère un polyèdre régulier inscrit dans une sphère, et si on joint les sommets consécutifs 2 à 2 par des arcs de grand cercle, nous diviserons la sphère en polygones réguliers égaux. On voit donc que les 5 manières de diviser la sphère en polygones réguliers égaux correspondent aux cinq polyèdres réguliers de la géométrie, et qu'il n'y en a pas d'autres.

Deuxième remarque. — On pourrait croire qu'en n'assujettissant pas les polygones à être réguliers et égaux entre eux, on pourrait disposer d'un plus grand nombre de manières des polygones d'un même nombre de côtés. Il n'en est rien. Pourvu que l'on s'assujettisse toujours à associer les polygones en même nombre autour d'un môme sommet, que les polygones soient réguliers ou non, qu'ils soient égaux ou non, la formule (i) et ses conséquences ont toujours lieu. 11 suffit pour établir la formule (i) dans toute sa généralité, de remarquer que le théorème d'Euler s'applique à la sphère considérée comme un polyèdre à faces courbes dont les faces sont les polygones sphériques qui la recouvrent. De sorte que si nous désignons par S le nombre des sommets de ce polyèdre, par A le nombre de ses arêtes, nous avons la relation

le nombre des faces étant m, si nous conservons la môme nolalion que tout à riieurc. Mais n et K désignant encore le nombre des côlés d'un polygone spliérique et le nombre des polygones associés autour d'un même sommet, nous avons

substituant dans (a), nous retomberons sur la formule (i).

Toutefois, s'il est démontré qu'il est impossible de recouvrir la sphère avec des hexagones inégaux, par exemple, et que si on se sert de pentagones, il faut les associer 3 à 3, il resterait à examiner si on peut prendre un premier pentagone au hasard, et le degré d'indétermination que présente la solution du problème, ce premier pentagone une fois choisi. Mais ce sont là des questions fort délicates qui sortent des limites que nous nous sommes imposées. Nous tenions simplement à montrer que la solution générale du problème n'est pas trouvée quand on a interprété les conséquences de la formule (i).

Jeux de position. — Les jeux qui dépendent des mouvements que l'on peut faire exécuter à des pièces sur des tablettes de formes variées — comme la marelle simple, double, triple, le jeu du renard et de l'oie, le jeu du solitaire, le trictrac, le jeu de dames et les échecs — présentent généralement beaucoup d'intérêt. Le cadre de cet ouvrage ne nous permet pas d'entrer dans la description et l'étude de tous ces jeux que l'on trouve d'ailleurs' dans des traités spéciaux, nous nous contenterons de dire quelques mots de l'un d'eux, le Go-bang ou Gobang dont il a été question un peu plus haut et que nous croyons encore peu connu.

Le Go-bang ou dames japonaises. — Ce jeu de combinaisons serait, paraît-il, connu au Japon depuis la plus haute antiquité et aurait été introduit en Europe par un amateur anglais nommé Gremer.

On peut se le procurer, à Paris, à la Neal's library, rue de Rivoli, 246, avec une notice anglaise, ou encore dans les grands bazars parisiens accompagné de la règle du jeu en français. Il se joue avec un nombre quelconque de jetons, sur un carton divisé en un nombre quelconque de cases. Les cartons qui accompagnent le jeu, à la librairie anglaise, contiennent soit i6^ = 256 cases, soit i8^ = 824 cases, soit 20^ = 4oo cases.

Lesjeux français contiennent, dans une boîte, un échiquier en carton, plié en 4. de 4oo cases, et 4 séries de couleurs différentes, de 5o jetons chacune (parfois un de plus ou de moins) (^).

La règle du jeu est très simple : le plateau étant divisé en un certain nombre de carrés, les joueurs adoptent chacun une couleur et prennent un nombre égal de jetons.

Chacun d'eux joue alternativement un pion; le hasard décide de celui qui a le premier la pose. Les pions se posent comme on veut, sur n'importe quelle case. La partie est gagnée par le premier des joueurs qui a réussi à placer 5 pions en ligne droite dans une direction quelconque, de manière que ces 5 pions soient dans des cases qui se touchent, sans vide et sans intercalation des pions de l'adversaire.

S'il arrive que chacun des adversaires a placé ses pions sans que la partie soit gagnée, on la continue, en jouant alternativement un pion quelconque à son propre choix et en le déplaçant seulement d'une case dans chaque sens, comme le roi aux échecs. La partie est gagnée dans les mêmes conditions, c'est-à-dire quand un des adversaires a amené, par des déplacements successifs, 5 pions consécutifs dans le même [alignement. Cette phase de la partie est fort intéressante et se prête à de multiples combinaisons.

Dans la pratique, lorsqu'on joue le Go-bang à deux, il est rare, à moins qu'on ait fait une étude très attentive de ce jeu. qu'on

(^) On peut construire soi-même un jeu de Go-bang avec du papier quadrillé et des pains à cacheter.

Récréations mathématiques, II. 4

arrive à placer chacun plus de 25 jetons avant la fin de la partie, et qu'on atteigne les bords de l'échiquier, car il y a évidemment avantage à se placer au centre ; c'est pourquoi le nombre des cases de l'échiquier et des jetons de chaque joueur n'a aucune importance, et l'essai qu'on peut faire de ce jeu, avec un damier de loo cases trop restreint, ne donne qu'une idée incomplète de la variété de ses combinaisons.

Il est facile de voir que celui qui joue le premier peut toujours placer 3 jetons consécutifs en ligne droite au troisième coup, et qu'il ne faut qu'un très petit nombre de coups joués correctement pour en placer 4 à la fde sur une ligne droite parallèle à l'un des bords de l'échiquier ou à l'une de ses diagonales. Pour cinq pions consécutifs, si l'adversaire joue correctement, il en faut beaucoup plus, peut-être 3o ou 4o, ou même davantage.

Pour gagner au /i'»""*^ coup du jeu du Go-bang, il suffit de placer 4 jetons de même couleur au (/i — 'a^ième coup sur 4 cases consécutives en ligne droite, les cases contiguësdans le prolongement de cette ligne étant libres. Pour arriver à ce dernier résultat, il suffit de placer au (n — 4)'^™® coup, un jeton qui forme, dans deux directions différentes, deux séries de trois jetons de même couleur sur trois cases consécutives en ligne droite, les cases contiguës dans le prolongement de ces deux lignes étant libres ; il y a d'autres dispositions qui assurent le gain de la partie.

11 serait intéressant de chercher combien il y a de diagrammes ou types différents de dispositions dès jetons d'une même couleur, qui assurent le gain de la partie, et quel est le nombre de coups miniîmim nécessaire pour réaliser chacun de ces types sur l'échiquier, quel que soit le jeu de l'adversaire, le nombre des cases et des jetons étant supposé illimité ?

La question a été posée par H. Tarry dans V Inlermédiaire des mathématiciens (Tome II, 1895, p. 820) et est restée jusqu'ici» croyons nous, sans réponse.

Si on limite le nombre des cases ou des jetons, la question présente, en dehors du cas général, des complications quirendent inap-

QUESTIONS DE GÉOMÉtUlE 5t

plicables à un échiquier carré les formules applicables à un échiquier à deux bords (au lieu de 4), dans le problème des n reines (').

Bien que le Go-Bang paraisse à première vue d'une simplicité enfantine, et que le gain de la partie semble du au hasard pour les commençants, il est très curieux, parce qu'il exige une extrême attention lorsque le nombre de pions placés est considérable ; il est encore plus difficile qu'au jeu des échecs, de jouer sans faute le coup correct. Aussi tout en étant beaucoup moins sérieux que le jeu des échecs, il est bien plus animé que le jeu de dames, et a d'ailleurs sur eux l'avantage qu'il peut s'apprendre en quelques minutes et que les parties sont courtes. Jl n'est pas rare en effet, lorsqu'on joue avec un adversaire inexpérimenté, de gagneravantle dixième coup.

Ce jeu mérite donc toute l'attention des amateurs de la géométrie de l'échiquier ; très simple de matériel et de mécanisme, ce qui est un grand mérite, il est aussi amusant cj[ue profond, subtil et varié.

Le Go-bang a reçu plusieurs modifications : voici par exemple, une manière assez ingénieuse de le jouer sur un damier de n^ cases et en supposant deux joueurs ayant chacun - n- pions.

Chaque adversaire pose à son tour un pion en se donnant pour but d'envelopper complètement un pion adverse ; le pion enveloppé est enlevé du jeu ; la victoire appartient à celui des deux joueurs qui a fait le plus de prises pendant le temps qu'il a fallu pour poser tous les pions sur le damier.

D'une façon générale les mouvements autorisés ou conventionnels des pièces dans les divers jeux rappelés un peu plus haut sont si nombreux que l'analyse mathématique du jeu devient réellement trop ardue pour être traitée d'une façon complète.

Bien que cela paraisse évident à beaucoup de nos lecteurs, nous ferons encore mieux ressortir l'impossibilité de discuter ces jeux d'une façon pratique en ajoutant qu'on a prouvé que le jeu des échecs comportait 197299 manières différentes déjouer les quatre

(*) Voir Lucas, Récréations mathématiques, t. L

Sa RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES

premiers coups et qu'on comptait presque 7.'? 000 dispositions différentes des pièces sur l'échiquier, le quatrième coup une fois joué (deux de chaque côté), dont 16 556 sont données par le mouvement des pions seulement (^).

Les jeux dans lesquels les mouvements conventionnels des pièces sont très limités, sont susceptibles d'une étude mathématique. Nous en donnerons un ou deux exemples dans le chapitre suivant, nous contentant pour le moment de décrire quelques récréations et de simples amusements.

Problème du garage. — Nous mentionnerons tout d'abord une petite question que nous avons eu occasion d'acheter, il y a quelques années et qui était connue sous le nom de u question du garage ». C'est une récréation pouvant être considérée comme le type de plusieurs problèmes basés sur le croisement des trains et, bien qu'elle repose sur une hypothèse peu admissible, nous la donnons ici comme spécimen.

Le jeu consiste en une portion de voie ferrée DEF, se raccordant en D et F avec deux voies en courbe DBA, FGA, se croisant en A.

La portion de voie en A qui est commune aux deux courbes présente le développement strictement nécessaire pour donner passage à un simple wagon comme P ou Q, mais non à la machine R. Par suite, si cette machine s'engage sur l'une des courbes, elle ne peut en sortir qu'en revenant sur elle-même en sens contraire.

Des petits rectangles de bois coloriés de façon à simuler des wagons sont disposés en P et Q, comme le montre la figure 3i , et un rectangle de bois un peu plus grand représentant la machine est placé en R. Le jeu consiste à intervertir la position des deux wagons en se servant de la machine.

(*) Ulnlérmédiaire des mathématiciens, Paris, décembre 1908, vol. X^ pp. 3o5-3o8.

Voir aussi Royal Enrjineers Journal, Londres, août-novembre, 1889, ou encore British Association T transactions, 1890, p; 745*

QUESTIOTÎS DE GEOMETRIE o3

L'opération pont s'effectuer ainsi :

(i) La machine R pousse le wagon P en A;

(2) Elle revient, s'engage sur la seconde courbe et pousse le wagon Q jusqu'à tamponner le wagon P déjà en A. On accouple alors Q et P, et la machine les amène sur la voie rectiligne, puis, marchant en sens contraire, elle les conduit en E.

Fig. 3i.

(3) On détache le wagon P, la machine ramène le wagon Q en A et l'abandonne dans cette position.

(4) La machine R revient chercher le wagon P et l'amène sur la voie en courbe FCA dans la position occupée primitivement par Q, puis elle se détache.

(5) R revient alors sur la voie droite, s'engage sur la seconde courbe, prend le wagon Q, l'amène dans la position occupée primitivement par P et l'abandonne (*).

Voici encore un jeu à peu près du môme genre qui se vendait dans les rues de Londres en iqoo.

Une voie d'évitement BGE se raccorde en B et E avec une voie principale AF qui est supposée fermée aux deux extrémités A et F. Sur ces deux voies se déplacent 8 wagons et une machine de mêmes dimensions que les wagons. Au début du jeu les 8 wagons numérotés de I à 8 se trouvent sur la voie principale de A en F, dans

(') La même récréation peut se présenter en supposant que les deux voles en courbe viennent aboutir à une plaque tournante d'un diamètre suffisant pour permettre la manœuvre d'un Avagon, mais trop petit pour la machine.

l'ordre naturel i, 2, 3, t\, ... 8. La machine stationne sur la voie d'évitement. Les distances égales AB, EF sont telles qu'il est possible d'y loger 2 Avagons seulement quand les branchemenls B, E, aux extrémités de la voie d'évitement sont dégagés, cette voie peut recevoir 4 wagons et seulement [\. 11 n'est pas possible de loger plus de 8 wagons sur la voie AF.

Quand la rame entière des 8 wagons est sur AF, seul l'avant dernier wagon à chaque extrémité peut être déplacé et amené sur la voie d'évitement; quand il y a moins de 8 wagons sur la voie principale AF, les deux derniers véhicules, à chaque extrémité, peuvent être amenés sur la voie BGE.

Cela posé, le jeu consiste à déplacer les wagons sur la voie principale de manière à les disposer dans l'ordre inverse 8, 7, 6 .... i de A en F en effectuant le plus petit nombre possible de déplacements de la machine ou d'un wagon de la voie principale à la voie d'évitement et inversement.

Il n'est pas difficile avec les indications qui précèdent de construire soi même un petit modèle pour étudier la question.

Celui que nous avons pu nous procurer et qui est représenté par la figure 82 ci-après, présentait les dimensions suivantes : AF = 0,225, AB = EF = o,o46 AH = FK = BC = DE = o,oo5.

Les petits véhicules mesuraient 0,025 de long sur o,oo5 delarcje.

° On trouve bien

d'autres questions sur les garages, mais ces deux exemples suffiront pensons nous.

Problème du bateau. — Tout le monde connaît l'histoire de cet homme qui, voyageant avec un loup, une chèvre et un panier de choux arrive sur le bord d'une rivière dont il ne peut effectuer la traversée qu'au moyen d'un petit bateau juste assez grand pour y

QUESTIONS DE GfiOMETRTE 55

introduire avec lui l'un des deux animaux ou le panier de choux. Comme, pour des raisons faciles à comprendre, il ne lui est pas possible de laisser le loup seul avec la chèvre, ou la chèvre seule avec ses choux, on demande comment il va s'y prendre pour passer la rivière {*).

Un problème semblable présenté par Alcuin, Tartagliaet d'autres auteurs est le suivant (^) :

Trois jeunes dames fort aimables ont pour maris trois hommes très jaloux; dans une excursion faite en commun les trois couples rencontrent une rivière qu'ils se proposent de traverser, mais ils n'ont à leur disposition, à cet effet, qu'un petit bateau dans lequel deux personnes seulement peuvent trouver place. On demande comment s'effectuera le passage sachant qu'il est convenu entre les maris qu'aucune femme ne sera en compagnie d'un homme si son mari n'est pas présent.

La façon d'opérer dans ce cas est presque évidente et peut se montrer très simplement en se servant d% iix figures prises dans un jeu de cartes.

Un autre problème analogue au dernier mentionné est celui de n couples (hommes et femmes) qui se proposent de traverser une rivière au moyen d'un bateau manœuvré par une seule personne et ne contenant que n — i places, avec cette condition qu'aucune femme ne peut être sans son mari en société avec d'autres hommes. Le cas où n = 3 nous donne le problème d'Alcuin.

Désignons par y le nombre des traversées nécessaires d'une rive à l'autre. On démontre que pour

et que pour

« > 4, 7=7- La démonstration ne présente aucune difficulté.

(') OzANAM. — Edition de i8o3, vol. I, p. 171 ; édition de i84o, p. 77. (^) Bachet. — Appendice, problème IV, p. 212.

56 RKCRÉATIONS MATHÉMATIQUES

Le problème suivant toujours dans le môme ordre d'Idée est dû au défunt et regretté Lucas (^).

Trouver le plus petit nombre x de passagers qu'un bateau peut contenir pour permettre à n couples de personnes mariées de traverser une rivière, sachant qu'aucune femme ne peut être laissée en compagnie d'un autre homme si son mari n'est pas présent, et que le bateau n'est manœuvré que par une seule personne. Déterminer également le plus petit nombre y de traversées nécessaires d'une rive à l'autre.

M. Delannoy a montré que si

on

y= II,

n = li,

y= II,

et enfin

/i ;>• 5, x = II, y = 2 n — I .

M. de Fonteney a fait remarquer qu'en admettant l'cxislence d'une île au milieu de la rivière, le passage peut toujours s'effectuer avec un bateau ne contenant que deux personnes. S'il n'y a seulement que deux ou trois couples, l'île n'est pas nécessaire et le cas est compris dans ce qui précède. Mais si on suppose n >> 3, le plus petit nombre de passages à effectuer d'une rive à l'autre est

Voici sa solution : Les neuf premières traversées sont les mêmes quel que soit le nombre des couples en présence : le résultat est le transfert d'un couple sur la rive opposée. Les huit passages qui suivent ont pour effet de faire passer un couple de la première rive sur la rive opposée. Cette série de huit opérations doit être reprise autant de fois qu'il est nécessaire jusqu'à ce qu'on n'ait plus qu'un seul couple sur la première rive, un seul couple dans l'île et tous les autres couples sur la seconde rive. Les sept dernières traversées ont pour résultat d'amener les deux derniers couples sur la seconde rive.

(^) Lucas. • • Vol. I, pp. i5-i8, 287-238.

La solution pour le cas de qualre couples se résume dans un tableau : représentons les quatre couples par les lettres A, a; B, 6; G, c; D. d; les positions des hommes et des femmes après chaque manœuvre du bateau sont indiquées par la position respective des lettres dans les lignes verticales du tableau ci-après :

Position à l'origine

Apres le i''' passage.

jje

— II«

Sur la première rive

— B,b; — G,c; — D,cl.

ABGD..cd ABCD .bcd ABCD...d ABGD.xd .GD..cd . GD . .cd .GD..cd .GD..cd .GD,.cd BGD.xd BGD....

BGD...d D . . .d D . . .d D D D

.cd

Dans l'île

B G . .bc .

. . . .bcd . . . abc .

. . . .bo.

Dans la seconde rive

.ab..

. abc.

. ab. .

AB

. .ab..

VB

.ab..

/VB A .

. .bcd

. .bc.

ABG .

ABG .