CHAPITRE YI

QUESTIONS DE MÉGANIQUE

Nous allons passer maintenant à l'examen de quelques questions de mécanique conduisant à des résultats intéressants peut-être au point de vue historique mais dont quelques-uns paraîtront paradoxaux. Les problèmes de mécanique sont généralement plus difficiles que ceux d'arithmétique, d'algèbre ou de géométrie, et les explications que l'on donne de certains phénomènes — tels, par exemple, que le vol des oiseaux — sont encore bien incomplètes ; d'un autre côté, les théories sur lesquelles sont basées plusieurs autres questions présentant beaucoup d'intérêt sont trop ardues, trop scientifiques, pour trouver place dans un livre qui n'est pas purement technique. Nous nous bornerons donc ici, comme dans les chapitres qui précèdent, à traiter des questions absolument élémentaires et bien connues de tous ceux qui ont quelques notions de mécanique.

Nous supposons le lecteur familiarisé avec les principes fondamentaux de cinématique et de dynamique et ayant une parfaite connaissance des trois lois formulées par Newton que nous rappelons ci-après :

1° Tout corps qui est à l'état de repos ou qui se meut d'un mouvement uniforme suivant une ligne droite persiste dans cet état de repos ou de mouvement à moins qu'une cause extérieure n'agisse sur lui,

QUESTIONS DE MEC.iNlQUE ^I

2" Toute variation de mouvement Q) est proportionnelle à la force qui le produit et a lieu en li3ne droite suivant la direction de cette force.

3° L'action d'un corps sur un autre est égale en grandeur mais opposée en direction à la réaction du second corps sur le premier.

De la première et de la seconde de ces lois on déduit les principes sur lesquels on s'appuie pour résoudre toutes les questions relatives au mouvement d'un point matériel soumis à l'action de forces connues.

De la troisième loi découle le principe sur lequel on se base pour résoudre les problèmes dans lesquels on fait intervenir l'action combinée de deux ou de plusieurs points matériels l'un sur l'autre.

Mouvement. — L'idée de mouvement soulève des difficultés qui depuis longtemps ont été des sujets favoris de paradoxes et dont quelques uns sont du domaine de la philosophie des mathématiques.

Paradoxe de Zenon. — Un des plus anciens est cette remarque faite par Zenon : une flèche ne peut se mouvoir là où elle n'est pas, et puisque d'un autre côté elle ne peut se déplacer là où elle se trouve (c'est-à-dire dans l'espace qu'elle occupe exactement), il s'ensuit que la flèche ne peut être mise en mouvement.

La réponse que l'idée môme du mouvement de la flèche impliquait le passage de l'endroit occupé à un autre point de l'espace n'était pas valable pour Zenon, qui paraissait croire que l'apparence du mouvement d'un corps était un phénomène produit par les apparences successives d'un corps au repos mais dans dilTérentes positions.

(') Le mouvement s'entend ici comme mesure par ce qu'on appelle momimtum en Angleterre et qnanlité de mouvement en France.

Le mot momontum est usité par abréviation pour désigner le produit de la masse mise en mouvomeut par la vitesse.

Zenon avançait également que l'idée elle-même de mouvemgnt ne pouvait se concevoir : attendu que ce qui se déplace doit atteindre le milieu de sa course avant d'en atteindre l'extrémité. Par suite, la supposition du mouvement présuppose un autre mouvement, à son tour ce dernier en présuppose un autre, et ainsi de suite indéfiniment. Son objection était, en fait, analogue à la difficulté biologique que Swift a exposée ainsi.

« Ainsi que le remarque le naturaliste, une puce a des puces plus petites qui vivent sur elles. Celles-ci sont mordues à leur tour par de plus petites. Et cela continue ainsi indéfiniment. »

Ou comme de Morgan a préféré l'exprimer :

a Les grosses puces ont sur le dos des petites puces qui les piquent, « cl les petites puces en ont de plus petites et ainsi de suite indéfiniment. (( Mais les grosses puces elles-mêmes, peuvent aller, à leur tour, « sur de plus grosses encore, et ces dernières sur de plus grosses, « et encore de plus grosses et ainsi de suite. »

Achille et la tortue. — Le paradoxe de Zenon relatif à la course d'Achille et de la tortue est plus connu.

Achille marchant dix fois plus vite que la Tortue et celle-ci ayant une avance de i.ooo mètres (par exemple), Zenon prétendait que l'animal ne serait jamais atteint par le guerrier agile. Voici le raisonnement qu'il tenait : pendant qu'Achille parcourt les i ooo mètres d'avance, la tortue parcourt un chemin dix fois plus petit ou loo mètres; pendant qu'Achille parcourt ces loo mètres, la tortue en parcourt lo ; et ainsi de suite. Achille s'approche bien de plus en plus de la tortue, mais il reste toujours un certain espace qui les sépare, de sorte qu'en réalité la tortue n'est jamais atteinte.

Zenon estimait que ce raisonnement confirmait sa façon de voir : l'idée commune du mouvement étant selon lui contradictoire.

Paradoxe de Zenon sur le temps. — On fait généralement ressortir l'erreur commise dans le raisonnement de Zenon en re-

QUESTIONS DE MÉGA.NIQUE -y 3

marquant que si, comme on vient de l'expliquer, le temps mis par Achille pour atteindre la tortue, c'est-à-dire pour gagner se^ avances successives peut être divisé en un nombre infini de parties, ces parties deviennent de plus en plus petites et forment les termes d'une progression géométrique décroissante; la somme de tous ces termes donne le temps fini après lequel Achille atteindra la tortue.

Zenon aurait probablement répliqué à ce raisonnement qu'il est basé sur cette supposition que l'espace et le temps sont indéfiniment divisibles, et c'est ce qui fait précisément l'objet de la discussion ; ce philosophe avançait, en effet, que la division des grandeur^s était limitée.

11 parait de plus avoir soutenu que, de même qu'il n'était pas possible à un observateur judicieux d'admettre la divisibilité infinie du temps, de môme il lui était également impossible de concevoir une mesure minimum du temps.

Car, avançait-il, supposons que x représente le plus petit intervalle de temps qu'il soit possible de concevoir, et considérons trois lignes abc

horizontales abc, a' b' c', a" b" c", com- , ,, '" ,

posées chacune de trois longueurs | g ^ 3

consécutives égales p, disposées de telle a" b" c"

sorte que les longueurs a, a', a"; ■ «

6, 6' 6"; c, c', c", soient verticalement l'une au dessous de l'autre.

Imaginons maintenant que la seconde ligne se déplace vers la droite, en entier et d'une longueur^ dans le temps x, pendant que simultanément la 3" ligne se déplace vers la gauche.

Les trois longueurs 6, a', c" se trouveront au bout du temps t verticalement au-dessus Tune de l'autre, et pendant ce temps x (qui par hypothèse est indivisible), la longueur 0! est passée verticalement au-dessus des deux longueurs 6", et c". Donc le temps est divisible contrairement à Thypothcse faite.

lie paradoxe de Tristam Shandy. — M. RusscU a énoncé (*) un paradoxe à peu près semblable à celui d'Achille et de la Torluc, saut' que les intervalles de temps considérés vont en croissant de plus en plus avec le cours des événements.

Tristam Shandy a consacré, comme nous le savons, deux ans à écrire Thistoirc des deux premiers jours de sa vie et il se désespérait attendu qu'à ce compte, les événements devant s'accumuler plus rapidement qu'il ne lui était possible de les raconter, il ne pourrait jamais arriver à écrire l'histoire entière de sa vie, si longue que pût-être son existence. Cependant s'ilavait vécu assez longtemps, et ne s'était pas fatigué de son travail, il lui aurait été possible de faire sa biographie complète, quand bien même sa vie aurait toujours été aussi fertile en événements qu'au début. Car en passant la première année à composer le récit des événements survenus le premier jour de sa vie, ceux du n*^ jour auraient été décrits la if année, par suite, avec le temps, les événements d'un jour quelconque se trouveraient racontés et aucune partie de sa biographie n'aurait été inconnue.

Cette augmentation pourrait être mise sous forme de démonstration pour établir que la partie est égale au tout.

Les questions telles que celles dont nous venons de parler, et dans lesquelles intervient la notion du continu dans l'espace et dans le temps sont d'un ordre élevé.

Mouvement angulaire. — - L'idée du mouvement angulaire présente des difficultés à toute personne peu familiarisée avec les mathématiques.

Voici, par exemple, une proposition bien connue relative au mouvement sur une spirale logarithmique (et dont le résultat est exact avec les conventions ordinaires des mathématiques) qui montre qu'un corps qui se déplace avec une vitesse uniforme etaussi lentement

(*) B.-A.-W. RussELL, Priiiciplcs of Malliematics, Cambridge 1903. vol. I, p. 358.

QUESTIONS DE MÉGANIQUE 76

qu'on le désire, peut dans un temps fini, tourner autour d'un point un nombre infini de fois.

Une droite OP tourne autour d'un de ses points 0 et en môme temps un mobile P parcourt la droite de façon que si Tangle que fait OP avec une direction fixe OX croît en progression aritbmclique, la longueur OP croisse en progression géométrique, la courbe décrite par le point P est une spirale logarithmique. A chaque rotation de quatre droits du rayon vecteur OP correspond une spire.

Si l'on fait tourner OP en sens inverse, la longueur OP décroît au lieu de croître, et le point P décrit des spires de plus en plus rapprochées deO.

Toutes ces spires sont semblables et la longueur de chacune

d'elles est une fraction constante - , par exemple, de la longueur de

la spire précédente, et à l'intérieur d'une spire quelconque il y a un nombre infini de spires dont les longueurs diminuent de plus en plus à mesure qu'on se rapproche du pôleO.

Considérons maintenant un mobile Q qui se déplace d'une façon uniforme sur la spirale en marchant vers le pôle. S'il parcourt la

première spire en a secondes, il mettra - secondes pour parcourir la

deuxième spire, -g secondes pour parcourir la troisième spire, et

ainsi de suite. Il atteindra donc le pôle au bout de

la-i H -^ H- -3 -i- ... ) secondes,

c'est-à-dire en — secondes. La vitesse est uniforme et l'on voit

ainsi que dans un temps fini, le mobile Q aura parcouru un nombre infini de spires, c'est-à-dire aura tourné un nombre infini de fois autour du pôle 0 (^).

(') La proposition est présontoc sous colto forme flans l'ouvrage de ) J, UicHAHD, Phibsoplùe des MalU'tnaliques, Paris, loo'i, m. 119-120,

76 RÉGRÉATIOXS MATIIÉMM'IQUES

Dû mouvement relatif. — Bien que les discussions philosophiques soulevées par Zenon soient tranchées ou abandonnées, la notion élémentaire du mouvement relalif a souvent suggéré des objections et Zenon lui-même n'a pu donner l'explication d'un simple phénomène reposant sur cette notion.

Comme l'un des exemples les plus faciles du genre, nous pouvons citer cette question : combien de trains allant de B vers A un voyageur, se rendant de A en B, rançon trera-t-il et croisera-t-il en admettant que le voyage dure,' de toutes les manières, quatre heures et demie et que les trains partent toutes les heures de chaque extrémité? — La réponse est évidemment 9.

Ou encore : disposons en contact sur une table doux pièces de 10 centimes, les faces apparentes; supposons l'une de ces pièces fixe et faisons tourner l'autre autour mais sans qu'il y ait glissement, et de façon qu'elle revienne dans sa position initiale après une révolution complète. On demande combien la pièce mobile a fait de révolutions autour de son propre centre. La réponse est 2.

Lois du mouvement. — C'est maintenant le moment de faire quelques remarques sur certains points de la mécanique dépendant, ou conséquences, des lois du mouvement.

On a souvent dit que la première loi de Newton définissait ce qu'on devait entendre par l'expression «ybrce » mais ceci ne doit être entendu que dans le sens qualificatif.

Cette phrase de Clifford précise peut-être mieux le sens de la loi (( une force, dit-il, est la description d'un certain genre de mouvement )). En d'autres termes, ce n'est pas une entité mais bien simplement, une façon convenable de constater, sans circonlocution, que l'on observe une certaine nature de mouvement.

On montre facilement que toute autre interprétation conduit à de véritables difficultés. Ainsi certains auteurs, partant de cette loi, en déduisent cette définition. « On donne le nom de force à toute cause produisant ou tendant à produire le mouvement d'un corps ».

Or, plus loin ces mômes auteurs parlent de la machine à vapeur mettant un train en mouvement; il semblerait donc, d'après eux, que la locomotive est une force.

L'idée de force est difficile à saisir. Combien de personnes, par exemple, pourraient prévoir d'une façon certaine ce c[ui se produira dans la petite question suivante, cependant des plus simples? Une corde dont le poids est négligeable, passe sur la gorge d'une poulie ; à l'une de ses extrémités on fixe un poids de 70 kilogrammes et à l'autre on attache un homme (un marin) d'un poids égal. Le poids et l'homme suspendus dans les airs sont dans une position d'équilibre. Le marin grimpant le long de la corde, le poids sera-t-il mis en mouvement? Si oui, dans quel sens se déplacera-t-il ?

Il importe de bien remarquer, que d'après la première loi du mouvement, tout corps en mouvement, à moins d'être soumis à l'action d'une force extérieure, continue à se déplacer : 1° avec une vitesse uniforme, et 2° en ligne droite. La tendance que possède tout corps de rester à l'état de repos ou de continuer à se déplacer d'un mouvement uniforme a été appelée son inertie. Cette tendance donne l'explication d'une foule de phénomènes ou d'expériences dont le lecteur nous saura gré de citer quelques-unes.

Formons avec un certain nombre de dominos, ou de pions d'un jeu de dames, une pile verticale et donnons avec l'arcte d'une règle plate ou avec une lame de couteau, un coup sec sur l'un d'eux à la base de la colonne ; le domino ou le pion ainsi frappé est projeté hors de la pile en laissant un vide que la partie supérieure vient immédiatement combler en descendant d'un seul bloc et sans que les pions se séparent.

Le mouvement provoqué par le choc tend bien à se communiquer de proche en proche de façon à modifier la position relative des dominos ou des pions, mais l'effet ne se produit pas instantanément et exige plus de temps qu'il n'en faut à la partie supérieure de la colonne pour descendre.

Un grand nombre de tours dont on trouve la description dans les

78 nKCRK\TTONS MATHÉMATIQUES

collections de jeux mathématiques (*) repose sur le môme principe. G*est encore à l'aide du même principe qu'on explique qu'un corps lancé et animé d'un mouvement de rotation autour d'un axe principal passant par son centre de gravité continue h se mouvoir avec une vitesse angulaire uniforme en même temps que l'axe de rotation se maintient dans une direction fixe. La mesure du temps est basée sur le premier de ces faits et la théorie du déplacement d'un projectile dans un milieu résistant s'appuie sur le second.

On comprend ainsi pourquoi les canons des fusils, et en général des armes à feu sont rayés et pourquoi, lorsqu'on se propose de lancer dans une direction donnée un objet plat, léger (tel qu'une carte) ou de forme irrégulicre, il est nécessaire de lui imprimer en même temps un mouvement de rotation.

Nous trouvons de nombreuses et curieuses applications de ce dernier fait dans plusieurs tours ou exercices exécutés par les acrobates, mais leur explication complète s'appuie sur des considérations étrangères à notre sujet. Nous citerons cependant une expérience intéressante, reproduite dans tous les cirques, et due, croyons-nous, à des jongleurs japonais. On place sur la surface supérieure d'un parasol un disqtio mcfallique (une pièce do 5 francs par exemple) de façon qu'il se tienne verticalement en reposant par son bord. En imprimant alors au manche du parasol un rapide mouvement de rotation, le disque est forcé de rouler sur lui-même, mais comme le parasol se déplace en glissant sous lui, il demeure en apparence immobile, tandis qu'en diminuant ou en augmentant la vitesse angulaire du parasol, le disque avance ou recule sur la surface supérieure. Ce tour s'exécute sans difficulté (^).

(*) Voir les Récréations scientifiques de G. Tissaindieu où l'on trouvera plusieurs applications ingénieuses du l^rincipc de l'Inertie.

(-) Citons encore les applications suivantes : le grand danger qu'il y a de sauter d'une voiture dont le cheval est emporté ; le mouvement que doit faire le cavalier lancé au galop lorsque son cheval s'arrête subitement ; de même une personne qui descend d'une voiture en marche, doit imprimer à son corps un mouvement en sens contraire à l'instant oii elle touche le

La tendance que possède tout corps en mouvement de continuer à se déplacer en ligne droite est quelquefois appelée ybrce centrifuge. Par exemple, lorsqu'un train passe sur une partie de voie courbe, H tend à se mouvoir suivant une ligne droite et il est retenu dans la direction imposée par la résistance que lui opposent les rails de la courbe extérieure qui sont pressés d'autant plus fortement que la vitesse du train est plus grande. Cette pression peut être diminuée jusqu'à un certain point en surélevant le rail extérieur (*) et en posant à l'intérieur de la voie un contre-rail parallèle et près de la courbe intérieure {^), contre-rail contre lequel les boudins des roues de wagons viendront s'appuyer du côté du petit rayon.

Nous rapporterons h ce sujet un épisode peu connu de la guerre de sécession entre les deux Amériques (^). Dans le courant du printemps de l'année 1862 un parti de volontaires de Tarmée du Nord coupa la route à l'arricre-gardc des armées du Sud et s'empara d'un train avec l'intention de détruire (au moment de leur passage) la voie qui constituait la principale ligne de communication entre les différents corps confédérés et leur base d'opérations. Mais il fut découvert et poursuivi. Pour se sauver les volontaires s'arrrêtèrcnt sur une courbe prononcée et enlevèrent quelques rails dans le but do faire dérailler le train lancé à leur poursuite. Malheureusement pour eux, dans leur ignorance des principes de dynamique, ils enlevèrent les rails du côté du petit rayon de la voie et l'opération ne gêna en rien la poursuite de leurs adversaires (*).

sol; ce principe explique l'élan que l'on prend pour franchir im obstacle ; c'est l'inertie qui rend si terribles les accidents do chemin de fer. Les ouvriers utilisent le même principe pour emmanclicr leurs marteaux, etc., etc.

(') C'est le problème du devers.

(*) Ceci ne se fait pas en France, sauf pour de très faibles rayons.

(^) W. PiTTENGER. — Caplurhicj a Locomotive, Londres, 1882, p. iof\.

(*) Un pareil fait ne peut s'expliquer qu'en supposant la voie posée sur longrincs, et encore !

On peut citer d'autres applications de la force centrifuge : par exemple l'expérience de la coupe remplie d'eau et que l'on fait tourner après l'avoir attadiGû à une corde ; le jeu de la fronde ; l'explication de la position prise

La seconde loi nous donne le moyen de mesurer les masses, les forces et, par suite « le travail »,

Un agent mécanique donné ne peut produire dans un temps déterminé qu'une quantité finie de travail. S'il est théoriquement exact qu'avec un levier rigide et un point d'appui, une force, si petite qu'elle soit, puisse déplacer une masse quelconque, si grande qu'elle soit, il n'en est pas moins vrai que ce qui est gagné en puissance est perdu en chemin parcouru. C'est une vérité rendue universelle par l'expérience de tous les jours.

Montucla (^) a donné un exemple frappant de ce principe basé sur 'anecdote bien connue d'Archimède déclarant à Hiéron qu'il lui serait possible de soulever le monde si on lui donnait un point d'appui.

Montucla a calculé le poids du globe terrestre et partant de ce fait que le travail journalier d'un homme était de i5 kilogrammes par seconde (ce qui est une estimation très élevée) il est arrivé à ce résultat qu'il faudrait environ 3 milliards de siècles, c'est-à-dire 3 X 10^* années pour soulever de près de o™o3 une masse égale à celle du globe; pour déplacer de 3 centimètres une pareille masse sur un plan horizontal, il faudrait 74.000 siècles (').

par les écuyers dans un cirque ; la description du chemin de fer aérien de Glavière ; l'explication de la rupture de meules, do volants ; l'application aux essoreuses destinées à sécher mécaniquement le linge mouillé dans les lavoirs, etc., etc.

(1) OzAîîA.M. — Edition de i8o3. Vol. If, p. kS ; édition de i8'io, p. 202.

(^) La question peut être envisagée à un autre point de vue également intéressant.

La terre est un ellipsoïde de révolution dont le grand axe == 12754796 mètres

et le petit axe = 12 71 2 160 mètres.

Son volumes I ^ x ^^^^^ X l^i^ilA^!

= 1 079224648425 i3o i63855 mètres cubes.

Or, la densité moyenne de la terre = 5,5o, ce qui donne pour son poids

QUESTIONS DE MECANIQUE 8l

Equilibre. — Tous ceux qui ont la moindre notion de mécanique savent que lorsqu'un corps est en équilibre sous l'influence de son seul poids, la verticale du centre de gravité tombe à l'intérieur de la base de sustentation ou passe par l'axe de suspension, suivant que le corps repose sur un plan horizontal ou est soutenu par un axe horizontal.

On peut énoncer d'une manière générale les conditions pour qu'un système pesant soit en équilibre stable ou en équilibre instable. Dans le cas de l'équilibre stable la hauteur du centre de gravité est un minimam par rapport aux positions voisines que prend le système quand on le dérange un peu de l'équilibre, elle est un maximum dans le cas de l'équilibre instable. Cela tient à ce que le centre de gravité tend toujours à descendre. En d'autres termes, si, pour produire le déplacement d'un corps, on est obligé de développer un certain travail afin de contrebalancer l'action de la pesanteur, ce corps est dans un état d'équilibre stable, tandis que le corps est à l'état d'équilibre instable lorsque la pesanteur agit dans le même sens que la force tendant à le déplacer.

Enfin, si pour tout déplacement du corps reposant sur un plan

un nombre de kilogrammes représenté par 5 935 735566 338 215901 202 5oo; nous prendrons pour simplifier nos calculs 5935 X lo-^

Supposons maintenant que le point d'appui du levier soit seulement à I mètre de la terre et donnons k Aixhimède la force moyenne d'un homme, soit une force de 75 kilogrammes, en représentant par x la longueur du bras de levier à l'extrémité duquel il doit agir, on aura

X = ^ ^ ^935 >< l02t ^33 333 333 333 333 333 333 JJJ^.tj.gg^

Or, si l'on observe que la distance du soleil à la terre est de 1 53^91 2i5o64 mètres, on voit que x vaut plus de 5i5 milliards de fois cette distance.

Si Archimèdc avait voulu déplacer la terre de i millimètre seule-» ment, il aurait eu à déplacer l'extrémité de son bras de levier de 79133 333 333 333333 333 mètres, c'est-à-dire de plus de 19783333 milliards do lieues.

Récréations mathématiques, II, 6

horizontal la distance de son centre de gravité au-dessus de ce plan reste invariable, le corps est dit en équilibre indilTcrcnt.

Un grand nombre de jouets mécaniques des plus simples nous offrent des applications de ce principe.

Bouteille magique (i). — Un de ces jouets très répandu consiste en une petite bouteille qui se tient toujours debout et qui ne se renverse que lorsqu'elle en reçoit l'ordre.

La bouteille en verre très mince ou en carton vernis est coUcé sur la section plane d'une demi-sphère solide (ou d'un petit segment de sphère). La distance au centre de la sphère du centre de gravité d'un hémisphère homogène est égale au 3/8 du rayon, et la masse de l'appareil est si faible comparativement à celle de l'hémisphère formant la base que le centre de gravité de tout le système peut être considéré comme coïncidant sensiblement avec celui de la demi-sphère.

Soient alors c le centre de l'hémisphère et G le centre de gravité de l'ensemble, si la bouteille est posée sur un plan horizontal, la droite Gc étant verticale, tout déplacement de l'appanîil tend à élever G, et, par suite, l'équilibre est stable.

On peut aussi le montrer comme il suit : la bouteille légèrement inclinée est soumise à l'action de deux forces formant couple : la première qui est la réaction du plan d'appui est verticale, agit de bas en haut et passe par c ; la seconde également verticale appliquée en G est égale au poids du système et agit de haut en bas. Si G est situé au dessous de c, ce couple tend évidemment à ramener la bouteille dans sa position primitive.

Si maintenant on introduit dans la bouteille un grain de plomb où seulement un clou assez lourd pour amener le centre de gravité de l'ensemble au-dessus de c, l'équilibre devient instable et si peu qu'on incline l'appareil, il achève de basculer et se couche sur la table.

(1) OzA-NAM. — Édition de i8o3, vol. Il, p. i5 ; édition de i84o) p. 20i.

Monlucla raconte que de son temps on vendait un jouet d'enfant consistant en une boite remplie de soldats d'étain fixés sur des hémisphères en plomb ; aussitôt qu'on enlevait le couvercle de la boîte, on voyait les petits soldats se dresser verticalement et menaçants.

La manière de faire tenir un crayon par la pointe sur le bout du doigt et en équilibre dans une position verticale est une application du môme principe, l'expérience est décrite danspresque tous les livres de récréations (^). Voici comment on peut l'exécuter : on prend un canif dont on ouvre une lame de façon à former un angle assez grand (120° par exemple) et on pique la pointe de cette lame dans l'extrémité supérieure du crayon en disposant le manche en saillie en avant du doigt. Le centre de gravité de l'ensemble est alors audessous du point d'appui, et un petit déplacement du crayon ayant pour effet de l'élever, l'équilibre est stable.

Comme autre réaction du même genre, nous citerons (^), l'expérience du seau c[ue l'on peut faire tenir en équilibre à l'extrémité d'un bâton reposant, par une certaine longueur, à l'autre extrémité, sur le bord d'une table. On se sert à cet effet d'un second bâton disposé transversalement, s'appuyant par un bout sur le fond intérieur du seau et par l'autre sur l'extrémité en saillie du bâton horizontal, de façon à déplacer le centre de gravité et à l'amener verticalement au-dessous de la partie qui repose sur la table. Qui ne connaît la jolie petite expérience de la pièce de 5 francs se tenant horizontalement en équilibre sur le bord d'un verre au moyen de deux fourchettes disposées de façon à former avec la pièce un système dont le centre de gravité est verticalement au-dessous du point d'appui.

Un autre jouet représente un cavalier qui se tient en équilibre sur le bord d'une table dans une position telle qu'il semblerait qu'à

(') OuGHTRED. — Matheniatlcal Récréations, p. 24. Ozanam. — Édition de i8o3, vol. Il, p. ï/j l'édition de kS/jo, p. 200.

(2) OuGHTRED. — p. 3o. OzANAM. — Édition de i8o3, vol. II, p. i2 ; édition de iS/jo, p. 199.

chaque instant il va tomber. Un arc en fil de fer, fixe par l'une de ses extrémités aux pieds du cavalier, se termine à l'autre par une boule d'un certain poids. Lorsqu'on place le cheval de façon que ses pieds de derrière s'appuient sur le bord de la table, ses jambes de devant étant en l'air dans le vide, la petite masse pesante se trouve exactement au-dessous de la partie du bord de la table qui porte le coursier. Le tout constitue un ensemble dont le centre de gravité se trouve constamment au-dessous de la ligne d'appui et sur la verticale passant par cette ligne;

On vendait à Paris, en 1890, une élégante modification de ce jeu sous la forme d'un petit bonhomme en étain (*). Les cuisses étaient articulées au corps de façon à permettre le mouvement des jambes mais avec un arrêt en fd de fer pour limiterle déplacement; quant aux mains, elles étaient fixées à la partie supérieure d'un (| renversé en fil de fer assez lourd. Cette figure posée sur une planchette horizontale assez étroite pour passer entre les branches du balancier sera, comme tous les équilibristes du même genre, dans une position d'équilibre stable puisqu'un léger déplacement latéral aura pour effet d'élever le centre de gravité du système. Pour faire marcher Téquilibriste on le place à la partie supérieure de la planchette légèrement inclinée en lui imprimant une secousse imperceptible dans le sens latéral ; cette secousse amplifiée par l'oscillation du balancier, fait pencher la figure alternativement à droite et à gauche. Supposons qu'elle penche à droite à un moment donné. Tout le poids du corps, c'est-à-dire du buste et du balancier, portera sur la jambe droite, et, le pied gauche n'appuyant plus sur la planchette, la jambe gauche sera projetée en avant par l'effet de la pesanteur; elle tendra à prendre la position verticale. A cemoment, l'oscillation contraire se produit, fait pencher le corps à gauche, appuyer le pied gauche sur la planchette, et le pied droit étant libre à son tour, c'est la jambe droite qui fait nn pas en avant. En résumé, l'équilibriste descend le plan incliné d'un pas chancelant suivant les

(^) La Nature, Paris, janvier 1891.

oscillations latérales, ce cjiii produit un effet des plus curieux. La durée du mouvement est limitée parla longueur de la planchette. Peu après la publication de la troisième édition de cet ouvrage, ce jouet fut fabriqué en Angleterre sous une autre forme : a l'équilibriste on substitua un éléphant fait d'un métal assez lourd et il est bien probable que ce nouveau modèle est bien connu aujourd'hui de tous ceux qui s'intéressent aux jouets marcheurs.

L'œuf de Colomb. — Le jouet connu sous le nom de l'œuf de Colomb est basé sur le même principe que celui de la bouteille magique, bien que l'effet produit soit l'inverse. L'enveloppe de l'œuf qui ne peut s'ouvrir est constituée par une feuille d'étain, à l'intérieur et à la partie inférieure est fixé un petit cône tronqué, creux, également en étain, enfin une bille ou une boule en bois d'un certain poids peut se déplacer h l'intérieur de l'œuf. Quand on prend l'œuf d'une certaine manière, la bille s'introduit dans le tronc de cône, et on peut alors le placer en équilibre sur sa pointe, mais tant que la bille se déplace en dehors du cône, l'œuf roule sur la table.

Expérience du double cône remontant le plan incliné (*). — Cette expérience repose encore sur la tendance qu'éprouve tout système pesant à se placer de telle sorte que le centre de gravité soit le plus bas possible.

Voici comment on la présente le plus généralement. Avec deux tringles en bois on forme un V dont on place la pointe sur une table et les deux extrémités libres sur le dos d'un livre placé debout et de hauteur convenable. On réunit par les bases deux cônes égaux et on pose le double cône ainsi construit sur les tringles et dans le voisinage de la pointe du V, de façon à ce qu'il s'appuie par sa surface courbe, l'axe commun étant horizontal et parallèle au dos du livre. Si alors la hauteur du livre a été choisie convenablement par

(^) OzANAM. — Édition de i8o3, vol. II, p. 49; édition de i8/|0, p. 216,

86 RÉCRÉATIONS MATIIÉMA.TIQUES

rapport au diamètre de base des cônes, on voit le corps remonter entre les branches du V.

Le centre de gravité du système se déplace dans le plan vertical bissecteur de l'angle au sommet du V et la liauleiir du livre est choisie de telle sorte que plus les points de contact de la surface du double cône avec les branches s'écartent l'un de l'autre, plus le centre de gravité est bas, il en résulte nécessairement que le double cône fait l'ascension du plan incliné puisque le centre de gravité tend toujours à descendre.

Mouvement perpétuel. — L'idée de construire une machine qui, une fois mise en mouvement par une première impulsion, non seulement pourrait se mouvoir d'elle-mômc sans le secours d'aucune force extérieure, mais encore serait capable de produire un effet util n'est jamais sortie que du cerveau d'un mécanicien peu expérimenté et sans connaissances sérieuses, de même que la recherche de la quadrature du cercle a toujours dénoté peu de savoir chez un mathématicien.

Il faut observer que la signification évidente de la 3™° loi du mouvement est, que toute force n'est seulement qu'un aspect d'un ensemble d'efforts, et que chaque fois qu'une force entre en jeu, une autre égale et opposée prend naissance, pouvant bien entendu agir sur un corps différent et être ainsi sans importance pour le problème particulier considéré.

La loi est cependant susceptible d'une autre interprétation ('), à savoir, que l'intensité suivant laquelle un agent travaille (c'est-àdire son action), est égale à l'intensité de la résistance oiîerte au travail (c'est-à-dire la réaction). Si on est autorise à comprendre dans la réaction l'intensité suivant laquelle s'exerce l'énergie cinétique et si le travail comporte celui qui agit contre les forces moléculaires, alors il découle de cette interprétation que le travail exécuté par un agent sur un système est équivalent à l'accroissement total d'é-

(*) Principia de Newto:^, dernier paragraphe du scuolie aux lois du mouvement.

nergic, c'cst-à-dirc à la puissance de faire le travail. Il résulte de là que dans un système isolé le montant total d'énergie est constant.

Si ceci est admis, alors puisqu'on ne peut pas éliminer complètement le frottement, ni éviter quelques pertes moléculaires d'énergie, il est impossible de construire dans un système isolé une machine capable du mouvement perpétuel.

Nous n'avons pas l'intention de décrire toutes les machines imaginées pour produire le mouvement perpétuel, qu'il nous suffise de faire remarquer que la plupart d'entr'elles diffèrent peu de celle dont nous donnons une idée ci-après.

Cette machine consiste essentiellement en deux roues concentriques montées verticalement sur le même axe horizontal passant parle centre c. L'espace annulaire entre les circonférences des roues est divisé en un certain nombre de compartiments par des cloisons inclinées dans le même sens, et formant un angle constant avec les divers rayons aboutissant aux points d'où elles partent sur la circonférence intérieure.

Chacun de ces compartiments contient une petite boule pesante et le système, considéré sans les boules, est à l'état d'équilibre indifférent.

Les boules tendent à faire tourner les roues autour de l'axe commun, et cette tendance est mesurée par la somme algébrique des moments des diverses forces composantes, c'està-dire par le produit du poids constant d'une boule par la somme algébrique des distances de chacune d'elles à la verticale passant par le centre c.

L'idée qui guidait les constructeurs de cette machine était que, puisque dans chaque compartiment la boule roule, en vertu de son poids, vers le point le plus bas, les boules situées du côté droit delà figure seraient h un certain moment, plus éloignées de la yerticale

Fig. 39.

passant par le centre que celles du côté gauche. Par suite la somme des moments des premières serait à ce moment plus grande que celle des dernières et le système des deux roues tournerait constamment dans le sens des aiguilles d'une montre. L'erreur de raisonnement est trop manifeste pour que nous nous y arrêtions.

Un autre groupe de machines reposait sur l'emploi d'un aimant qui soulevait une masse pesante à une certainehauteur pour l'abandonner ensuite à l'action de son poids. On pensait ainsi qu'en fixant un aimant dans le voisinage du point le plus haut que peut atteindre un pendule dans ses oscillations, une lentille en fer adaptée à l'extrémité de la tige serait attirée jusqu'à ce point puis retomberait pour remonter et produire un mouvement perpétuel.

Ce n'est bien entendu que dans les systèmes isolés que la somme totale d'énergie est constante, et s'il est possible de trouver une source extérieure d'énergie au moyen de laquelle on introduit continuellement dans le système une certaine quantité d'énergie le mouvement perpétuel est, dans un sens, possible, abstraction faite, bien entendu, de l'usure inévitable des matériaux entrant dans la composition de la machine. La chaleur solaire et les cours d'eau sont des sources inépuisables d'énergie toutes trouvées.

Il existait à Paris, dans la dernière moitié du siècle passé, une horloge présentant une ingénieuse application d'un tel mouvement perpétuel (*).

Le mouvement du pendule était produit par la dilatation d'une tringle d'argent, dilatation provenant de l'élévation journalière de la température ambiante. Au moyen d'un système de leviers dépendant les uns des autres, l'horloge se trouvait montée. Un appareil spécial de désembrayage prévenait les effets produits par un abaissement de température et une disposition du même genre servait de cran d'arrêt. Nous pensons qu'une élévation de température de A à 5" (centigrades) était suffisante pour monter l'horloge pour vingtquatre heures.

(*) OzANAM. — Édition de i8o3, vol. H, p. io5 ; édition de i84o, p. 238.

Nous possédons une montre dans laquelle le même effet est porduit d'une laçon un peu différente. Dans le boîtier se trouve un petit poids d'acier et quand on met la montre dans la poche, ce poids s'e'lève et tombe h chaque pas que l'on fait, produisant ainsi à peu près l'effet d'un compteur. L'ascension du poids est produite par le mouvement de la personne en marche et en descendant il fait enrouler le ressort de la montre. Un petit cadran porte le nombre des heures pendant lesquelles la montre peut marcher. Aussitôt que 'aiguille ducadran marque cinquante-six heures, le système de levier qui fait marcher la montre desembraye automatiquement pour éviter de forcer le ressort et recommence à fonctionner quand la montre a marché pendant huit heures.

Cet appareil constitue un excellent chronomètre et une marche de 3 kilomètres environ suffit pour le monter pour vingt-quatre heures.

Modèle. — Nous ferons ici une observation, qui n'est certainement pas nouvelle pour les mathématiciens, mais qui est cependant une cause perpétuelle de désappointement pour beaucoup d'inventeurs peu instruits. Elle est relative à un fait se produisant souvent : un modèle de machine exécuté soigneusement peut fonctionner fort convenablement et la machine elle-même, construite d'après ce modèle, ne pas fonctionner.

En voici une des raisons : si toutes les dimensions linéaires du modèle sont agrandies dans la môme proportion, c'est-à-dire, sont rendues, par exemple, m fois plus grandes, les surfaces et les volumes de chacune de ces parties seront respectivement amplifiés dans le rapport m"^ h. i et de m^ h. i. En particulier, si on double le côté d'un cube, chaque surface devient quatre fois plus grande et le cube est rendu huit fois plus grand.

Or, par le fait de l'accroissement dans le rapport de m à i de tous les éléments linéaires du modèle, plusieurs forces agissant sur la machine (telles, par exemple, que le poids de certains organes) deviennent m^ fois plus grandes, tandis que d'autres qui dépendent

go RECREATIONS MATHEMATIQUES

de l'étendue superficielle des organes considérés ( comme, par exemple, la puissance d'un balancier) deviennent m^ fois plus grandes. Par suite, les forces qui agissent et c[ui entrent en jeu diiïéremment, suivant les parties de la machine, sont altérées dans des proportions variables; la machine est incapable de produire des résultats semblables à ceux qu'on en espérait d'après ceux obtenus avec le modèle.

Le môme raisonnement s'applique au cas des animaux pour expliquer la faiblesse que l'on observe chez des produits de chaque espèce ou de chaque race présentant un développement physique exagéré.

Par exemple, si les dimensions linéaires d'un oiseau étaient rendues/i fois plus grandes, le travail mécanique à développer, pour lui permettre de prendre son vol, devrait être rendu au moins iV fois plus grand (*). De même, si tous les éléments linéaires qui entrent dans la composition du corps d'unhommede 5 pieds lo pouces étaient augmentés seulement de -, sa hauteur deviendrait égale à 6 pieds 8 pouces, mais son poids serait augmenté dans le rapport de 5 12 à 3/i3 (c'est-à-dire deviendrait presque le double de ce qu'il était). Les sections transversales des jambes qui ont à supporter ce poids seraient accrues seulement dans le rapport de 6/j à /jq, de sorte qu'à un certain point de vue, cet homme transforme serait moins vigoureux que primitivement. Mais, bien entendu, l'accroissemcnt de certaines dimensions : longueur des membres ou volume des muscles, peut présenter des avantages plus grands que la perte relative de force.

En résumé, le problème, comme on le voit, est loin d'être simple, mais ces quelques explications suffisent pour justifier ce que nous avancions plus haut : que le travail d'une machine construite d'après un modèle n'est pas toujours identique à celui du modèle.

Abandonnons maintenant ces considérations élémentaires pour examiner quelques autres questions mécaniques.

(') Helmholtz. — Gesammelte Abhandhin(jen, Leipzig, i88i, vol. I, p. i65.

Naviguer plus vite que le vent. — Comme exemple de paradoxe cinématique nous rJlons montrer qu'il est possible de naviguer phu vite que le veni souffle, phénomène qui excitera certainement la curiosité de bien des personnes.

L'explication (^) repose évidemment sur le rapport qui doit exister entre la vitesse du vent et celle du navire ; elle sera rendue plus simple et plus claire en considérant : i° l'elTet de la pression du vent sur la voile (qui pousse le navire en avant) et 2° l'effet de la résistance que l'air oppose au passage de la voile.

Quand le vent vient frapper une voile plane, la pression résultante peut se décomposer en deux forces, l'une perpendiculaire au plan de la voile (qui, généralement, n'est pas fonction unique de la vitesse composante dans cette direction, bien que Tune ne puisse s'annuler sans l'autre) et l'autre parallèle au plan de la voile. Cette dernière n'influe en rien sur la marche du navire que la composante perpendiculaire à la voile tend au contraire à entraîner dans sa direction.

La pression normale à la voile peut à son tour se décomposer en deux forces, l'une agissant suivant la direction de la quille du navire et l'autre dans la direction des baux, c'est-à-dire perpendiculaire à la quille. La première pousse le navire en avant et la seconde l'entraîne sous le vent.

Les constructeurs de navires s'efforcent de leur donner des lignes telles que la résistance de l'eau au mouvement en avant soit la plus petite possible, et la résistance dans une direction perpendiculaire la plus grande possible; nous supposerons pour le moment que la première peut être négligée et que la seconde est suffisamment grande pour s'opposer à tout déplacement du navire dans cette direction.

Considérons maintenant le navire en mouvement, la pression de l'air sur la face avant de la voile tend à retarder la marche. Tant

(') Ozanàm. — Édition de i8o3, vol. Ill, pp. 359, 867 ; édition de 1840 pp. 540, 543.

que la composante de celte résistance normale à la voile demeure moindre que la composante normale de la presssion du vent sur la face arrière, la résultante de ces deux composantes est une force normale à la face arrière et qui, par suite, pousse le navire en avant.

Mais à mesure que la vitesse augmente, la résistance de l'air croît et il arrive un moment où la pression du vent qui se maintient constante est juste suffisante pour équilibrer la résistance que Fair oppose au mouvement en avant de la voile. A partir de ce moment la vitesse du navire se maintient constante et le mouvement devient uniforme.

Supposons que dans la figure ci-après, BAR représente la quille du navire, B étant l'avant, et SAL la voile. Le vent souffle dans la direction WA avec une vitesse «, en faisant avec la quille un angle 0, c'est-à-dire que l'on a WAR = 0. De plus, l'angle SAB formé par la voile avec la quille est égal à a, SAB = a, et par suite WAL = 0 4- a. Enfin v représente la vitesse du navire dans la direction AB.

Nous venons de

montrer que la solution de la question dépendait des directions et des vitesses relatives du vent et du navire ; dès lors, pour résoudre le problème nous immobiliserons le navire en le supposant soumis à

l'action d'une nouvelle force qui lui communique la vitesse v dans

la direction BA.

Si

u sin a

sm (a -4- 6)

ou