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ABGDabc.

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ABGDabcd

58 niîCRi^ATIONS MATHEMATIQUES

M. G. Tarry n imagine une généralisation qui complique encore plus la solution : il suppose que chaque homme voyage avec un harem composé de m femmes ou concubines ; de plus, comme les mahométanes élevées dans la retraite n'ont pas l'habitude du travail, il est raisonnable de supposer qu'elles seront incapables de manœuvrer le bateau sans l'aide d'un homme, d'où nouvelle difficulté.

Les chrétiens trouveront probablement qu'ils ont déjà eu assez de peine pour traverser la rivière avec une seule femme, et nous nous contenterons de signaler l'embarras des disciples du Coran qui, inspirés par le Prophète, trouveront certainement le moyen de sortir d'une situation si pénible.

Lignes géodésiques. — Les problèmes de géométrie relatifs à la recherche de la plus petite route possible d'un point h un autre sur une surface courbe présentent souvent des difficultés, mais la détermination des lignes géodésiques sur une surface plane ou sur des surfaces planes est en général aisée.

Nous allons en donner un exemple mais en faisant remarquer que nous aurions hésité à le citer si nous n'avions constaté, par expérience, que quelcjucs lecteurs ne saisissent pas exactement la solution de ces questions.

Une chambre mesure 3o pieds de longueur, 12 pieds de largeur et 12 pieds de hauteur. Sur la verticale passant par le milieu d'un des petits murs et à un pied du plafond se trouve une araignée (^), sur la verticale passant par le milieu du mur opposé età 1 1 pieds du plafond se trouve une mouche. L'araignée rejoint la mouche qui, paralysée par la peur, ne bouge pas.

Le problème consiste à déterminer la plus petite route que l'araignée peut suivre (^).

(') Le texte anglais porte « une guêpe ».

(') Nous avons entendu proposer une pareille question à Cambridge en 1903, mais la seule publication où nous l'avons trouvée est le Daily Mail, Londres, i^"" février 1905.

OUESTTOTîS DE GEOMETRIE

Pour obtenir une solution nous ferons observer que l'on peut découper une feuille de papier de telle sorte qu'en la pliant convenablement, on obtienne un modèle de la cbambre.

Cette opération peut se faire de plusieurs manières.

La feuille de papier une fois découpée est développée de nouveau sur une surface plane, et s'il est possible alors de joindre les deux points représentant l'araignée et la mouche par une droite située en entier sur la feuille, on a la ligne géodésique passant par ces deux points.

La question revient donc a déterminer la manière de découper le papier qui donne la plus petite route de cette nature.

Voici un diagramme correspondant h une solution de la question et dans lequel A représente le parquet, B et D les grands murs latéraux, G le plafond, et E et F les positions occupées à l'origine par l'araignée et la mouche sur les deux petits murs.

Sur cette figure, le carré de la distance EF est (Sa)^ + (24)^ et par suite EF = 4o pieds.

Problèmes avec des jetons disposés en lignes. — Un grand nombre de problèmes de positions et de jeux peuvent s'effectuer et sont rendus plus saisissables avec une boîte de jetons, principalement lorsqu'ils sont de deux couleurs. Des pièces de monnaie, des pions ou des cartes remplissent évidemment le môme but.

Premier problème avec des jetons. — La question suivante est certainement familière à plusieurs de nos lecteurs.

60 RÉÛRÉATÎOi^S MATHÉMATIQUES

Dix jetons (ou pièce de monnaie) sont disposés sur une même ligne à la suite les uns des autres et on peut faire sauter chacun d'eux par dessus les deux qui lui sont adjacents soit d'un côté, soit de l'autre, pour le déplacer sur le troisième jeton qui les suit immédiatement.

On demande de déplacer les jetons suivant cette règle de façon à obtenir cinq piles équidistantes.

Donnons aux jetons, pris dans leur positon initiale, des numéros d'ordre i, 2,3, 4» 5, 6, 7, 8, 9, 10 et procédons comme il suit :

Plaçons 7 sur 10, 5 sur 2, 3 sur 8, i sur 4 et enfin 9 sur 6.

Les jetons sont alors disposés par 2 comme l'indique la figure ciaprès.

De même en posant 4 sur i, 6 sur 9, 8 sur 3, 10 sur 7 et finalement 2 sur 5, les jetons se trouvent disposés par deux sur les emplacements occupés à l'origine par les n°^ i, 3, 5, 7 et 9 (').

On peut se proposer un jeu à peu près semblable avec huit jetons mais dans ce cas les quatre groupes formés en dernier lieu ne sont pas équidistants. Le déplacement s'opère en posant 5 sur 2, 3 sur 7, 4 sur 1 et enfin 6 sur 8.

Le jeu ainsi compris peut également s'effectuer avec (8 -4- 2/1) jetons, car si nous posons 4 sur 1 , nous laissons sur l'un des côtés du

(*) Dans les solutions données par' M. Ball un groupe de deux jetons superposés est compté pour deux, c'est-à-dire que le saut d'un jeton par dessus un tel groupe est considéré comme satisfaisant à la règle du jeu ; mais on peut se proposer d'exécuter la récréation en demandant qu'un pareil groupe ne soit com.pté que pour un, c'est-à-dire en se posant cette règle que le jeton déplacé doit être séparé du jeton sur lequel on veut le poser, d'une façon effective par deux pièces, simples ou doubles.

Nous donnons doux solutions du jeu dans ce cas :

On pose 7 sur 10, 5 sur 2, 9 sur 4. 3 sur 8 et enfin i sur 6, ou, solution symétrique : 4 sur i, 6 sur 9, 2 sur 7, 8 sur 3 et enfin 10 sur 5. Faute de jetons, on peut prendre des petits morceaux de bois d'égale longueur, dix allumettes par exemple, et on forme des croix équidistantes.

QUESTIONS DE GÉOMÉTRIE 6l

couple ainsi formé une ligne de (8 + 2n — 3) jetons. Cette ligne peut, à son tour, être réduite à (8 -i- 211 — 4) jetons et ainsi de suite jusqu'à ce que nous arrivions à une ligne de huit jetons sur lesquels nous pourrons opérer comme il est expliqué plus haut.

Une généralisation plus complète consisterait à examiner le cas de n jetons en se posant comme règle cjue chacun d'eux doit sauter par dessus /n jetons adjacents, soit d'un côté soit de l'autre.

Second problème avec des jetons. — On doit au professeur ïait (*) un autre problème d'une nature à peu près analogue.

On place sur une même ligne et en contact quatre pièces d'argent (ou quatre jetons blancs) alternées avec quatre pièces de cuivre (ou quatre jetons noirs) et l'on demande de disposer les quatre pièces de cuivre et à leur suite les cjuatre pièces d'argent en quatre mouvements distincts, en s'imposant comme condition que chaque mouvement comprendra le déplacement de deux pièces ; ou de deux jetons en contact (sans modifier la position relative des pièces du couple ainsi déplacé).

Voici sa solution : Désignons les pièces d'argent par a, les pièces de cuivre par h et marquons d'une * les espaces libres contigus ; les positions successives des pièces peuvent être ainsi représentées.

A l'origine **abababab

après le 1''"' mouvement baababa**b

— 2^ — baab**aabb

— 3° — b** baaaabb

— 4*^ — bbbbaaaa

L'opération se conduit d'après cette règle : on suppose les pièces disposées en cercle avec deux espaces libres et on déplace à chaque coup et simultanément les deux pièces qui précèdent les cases vides de un et de deux rangs.

(}) Philosophical Magazine, Londres, janvier i884, 5^ série, voL XVII, p. 39.

Il vient immédiatement à l'idée de généraliser celte question en opérant sur 211 jetons, dont n sont blancs et n noirs, et si n est plus grand que quatre, le problème peut se résoudre en n mouvements. Nous avouons cependant avoir échoué dans la recherche d'une règle comprenant tous les cas semblables. Mais M. Delannoy a donné des solutions (') pour les cas où n est de l'une des formes lim, l\m + 2, t\m -1- I ou l\m 4-3.

Dans les deux premiers cas, les - premiers mouvements s'effectuent en déplaçant des couples de jetons de deux couleurs, les - derniers

mouvements en déplaçant des couples de jetons de même couleur.

Dans les deux derniers cas, le premier mouvement est le même que celui qui a été indiqué plus haut, c'est-à-dire qu'il consiste à déplacer l'avant-dernier jeton et celui qui le précède au commencement de la lii^ne ; les mouvements suivants s'effectuent en

déplaçant couples de jetons de deux couleurs et dans les

derniers mouvements on fait mouvoir — ; — couples de jetons de

même couleur.

On pourrait également résoudre le problème en cherchant à disposer les pièces de chaque nature à chacune des extrémités de la ligne au lieu d'en former une suite continue.

M. Tait a introduit une variante en imposant, comme nouvelle condition, de renverser à chaque coup l'ordre des deux jetons du couple déplacé; dans ce cas on trouve qu'il est nécessaire d'effectuer cinq mouvements (ou d'une manière plus générale, n -h i mouvements).

Problèmes sur un échiquier avec des jetons ou des pions.

— Pour les trois problèmes suivants on se sert d'un échiquier et de

(') La Nature, juin 1887, p. 10.

QUESTIONS DE GÉOMÉTIUE 63

pièces de monnaie ou de jetons de deux couleurs, ou encore mieux de pions dont la manœuvre est bien plus facile que celle des jetons. Le premier de ces jeux est caractérisé par ce fait que chaque position des pièces ne comporte que deux mouvements possibles. Entre ces limites l'analyse est possible. Nous ne discuterons donc pas les problèmes de cette nature comportant un plus grand nombre de mouvements.

Premier problème avec des pions O- — Sur une rangée de sept cases d'un échiquier on place, sur 3 cases à une extrémité, trois pions blancs, représentés par la lettre a sur la figure ci-après, et sur 3 autres cases à l'autre extrémité, trois pions noirs désignés par la lettre b sur notre figure ; la case du milieu est libre. Chaque pièce peut se mouvoir dans une seule direction : les pions a marchent de gauche à droite et les pions b de droite à gauche. Si une case voisine de celle occupée par un pion est libre, ce pion peut venir l'occuper à la condition de se déplacer dans le sens imposé ; ou encore un pion peut sauter par-dessus un autre de couleur différente, dans le sens de son mouvement, pour venir se placer sur la case vide immédiatement voisine. Gela posé, la question consiste à faire passer les trois pions blancs à la place des trois pions noirs, et vice versa, en utilisant la case du milieu.

La solution exige quinze mouvements. Elle peut s'effectuer en déplaçant tout d'abord un pion blanc, puis successivement deux pions noirs, ensuite trois pions blancs, puis trois pions noirs, trois pions blancs deux Fig. 3/i.

pions noirs et enfin un pion blanc.

On peut résumer cette solution en numérotant les cases et en faisant remarquer que la case vide qui porte à l'origine le n° 4 prend successivement les n"' d'ordre 3, 5, 6, 4, 2, i, 3, 5, 7, 6, Zj. 2, 3, 5, 4. Six des mouvements sont simples et neuf se font avec sauts.

(») Lucas. — Vol. II, part. V, pp. i4i-i43.

De même si nous avions n pions blancs disposés sur n cases à l'extrémité d'une rangée comprenant (2/1 H- i) cases, et n pions noirs placés sur les n cases à l'autre extrémité de la ligne, on peut les faire changer de place en exécutant n [n -j- 2) mouvements, dont voici l'ordre successif :

Un pion, deux pions, trois pions..., (/i — i) pions, n pions, n pions, ai pions, (n — i) pions,.., deux pions et un pion; tous les pions d'un même groupe sont de la môme couleur et d'une couleur différente de celle des pions du groupe qui précède.

an des mouvements sont simples, c'est-à-dire consistent en de simples pas, et les n'^ autres se font avec sauts.

Second problème avec des pions (^). — Un jeu à peu près semblable peut encore s'exécuter sur une tablette rectangulaire ou carrée.

Nous allons donner une description de la récréation en considérant le cas d'un carré divisé en quarante-neuf cases dont quarante- huit sont couvertes d'un nombre égal de pions blancs et de pions noirs, la quarante-neuvième case, laissée vide, étant celle du milieu.

Les pions sont symétriquement disposés, noirs et blancs, par rapport au centre de l'échiquier et sont représentés par les lettres b (blanc) et a (noir) sur notre figure.

Les pions blancs peuvent se déplacer de gauche à droite et de haut en bas, tandis que les mouvements des pions noirs s'effectuent de droite à gauche et de bas en haut. Le jeu consiste à échanger les positions des pions blancs et des pions noirs en appliquant les règles du jeu précédent en ce qui concerne l'occupation d'une case vide voisine ou le saut par dessus un pion.

Fîs- 35.

(^) Lucas. — Vol. II, part. V, p. 147.

0LESTI0>'S DE GEOMETRIE

La solution se déduit de celle du problème précédent.

Les pièces dans la colonne médiane peuvent être échangées en quinze mouvements. Pendant que ces quinze rnouvcmcnts s'efTcctuent, chacune des sept cases de cette colonne devient libre à un moment donné et nous pouvons alors échanger les pièces de la rangée horizontale correspondante, ce qui exige encore quinze mouvements pour chaque rangée. Il résulte de là que le nombre total des mouvements à effectuer est égal à

En disposant de la même manière 2/1 (11 -+- 1) pions blancs et 2n(n -h i) pions noirs sur un échiquier de (2/1 -h i)' cases, on peut opérer l'échange des pièces en 211 (n-j- i) (n -[- 2) mouvements.

4n (n-h i) de ces mouvements sont simples, c'est-à-dire consistent en de simples pas et 211'^ (n -hi) s'effectuent par sauts.

Troisième problème avec des pions. — Le jeu suivant, un peu plus compliqué que les précédents, a été décrit pour la première fois, pensons, nous dans la première édition de cet ouvrage, mais comme il s'est répandu depuis dans le commerce il est probablement connu aujourd'hui de nos lecteurs.

Sur un échiquier de vingt-cinq cases, on place huit pions ou jetons blancs sur les huit cases marquées d'une lettre minuscule sur la figure 36, et huit pions ou jetons noirs sur les huit cases marquées d'une lettre majuscule ; la case centrale marquée d'une astérisque est libre. Les pions blancs et noirs peuvent se mouvoir suivant les règles déjà établies, c'est-à-dire, les pions blancs, horizontalement de gauche à droite et verticalement de haut en bas ; les pions noirs, horizontalement de droite h gauche et de bas en haut. Récréations mathématiques. 5

Fi"-. 3G.

Le jeu consiste h. faire passer tous les pions blancs à la place des pions noirs, et vice versa, sachant qu'aucun mouvement n'est permis ci> dehors de l'espace limite par les traits forts de la ligure. Puisqu'il n'y a qu'une seule case libre sur l'échiquier et puisque les mouvements en diagonale et en sens rétrograde ne sont pas permis, il s'ensuit qu'il n'est pas possible, à chaque mouvement, de déplacer plus de deux pièces de chaque couleur. Le nombre des solutions est très grand, nous en donnons une en quarante-huit mouvements délcnniués d'une façon empirique; les lettres indiquent les cases d'où les pions sont successivement déplacés,

hH */FEHG * cblujdfFG * /iHBAG * cnbUR • c/FDGHBG * ghefF * hli *

Il faut remarquer que les vingt-quatre premiers mouvements conduisent h une position symétrique pour chaque pièce et que les vingt-trois mouvements suivants peuvent être obtenus de suite en écrivant les vingt-trois premiers dans un ordre inverse et en intervertissant les lettres minuscules et majuscules.

La théorie mathématique des jeux analogues à celui que nous venons de décrire pourrait peut-être se faire en employant la notation de Vandermonde décrite plus [loin dans le chapitre Yl ou au moyen d'une méthode identique h celle usitée dans la théorie du solitaire (*), Nous ne pensons pas que celte théorie ait jamais fait l'objet d'une étude quelconque et même qu'elle conduise à des résultats intéressants.

Problèmes sur un échiquier avec des pièces du jeu.—

On connaît plusieurs autres récréations mathématiques semblables à celles que nous venons de décrire et qui s'exécutent avec les pièces d'un jeu d'échecs (autres que les pions). L'une d'elles con-

(') Pour la théorie du Solitaire voir Reiss. — Deilràge zur Théorie des SoUtàr-Spiels, Journal de Crclle, Uerlin, i858, vol. LIV, pp. 344"379 *, et LuGA.s. — Vol. I, partie V, pp. 89-141.

QUESTIONS DE GEOMETRTK 67

sîste h disposer huit reines de telle sorte qu'aucune d'entre elles ne soit en prise, nous la traitons plus loin. Dans une autre on se propose de déplacer un cavalier sur un échiquier de façon à le faire pa?ser une fois seulement sur toutes les cases, elle est examinée plus loin. Nous ne mentionnerons ici qu'un problème des plus simples qui ne présente de l'intérêt que parce qu'on le trouve dans un manuscrit de Guarini écrit en i5i2 ; il est rappelé par Lucas, mais si nos recherches sont complètes, n'a pas encore été publié ailleurs.

Problème de Guarini. — Sur une tablette divisée en neuf cases comme celle tracée ci-après, on place deux cavaliers blancs dans les cases des angles supérieurs, marquées et, d, et deux cavaliers noirs dans les cases des angles inférieurs marquées b, c ; les autres cases sont libres. Le problème consiste à déplacer les pièces de telle sorte que les cavaliers blancs viennent occuper les cases 6, c et les cavaliers noirs les cases a, d.

La solution est presque évidente. On déplace les pièces de a en A, de b en B, de c en C et de d en D. On va ensuite, de A en d, de B en a, de G en 6 et de D en c. L'effet de ces huit mouvements est le même que si on avait fait tourner la tablette de 90". On répète alors les mouvements, ^'^* ^7c'est-à-dire qu'on déplace successivement les pièces de a en A, de b en B, de c en G et de d en D ; puis de A en d, de B en a, de G en b, et de D en c. On obtient ainsi le résultat demandé.

Jeux géométriques divers. — Beaucoup de ces jouets que l'on trouve sous le nom de « questions » et qui sont faits avec des petites tiges métalliques, ou du fil de fer, constituent des récréations géométriques sur lesquelles nous n'avons pas l'intention de nous arrêter. Gependant quelques-unes de ces questions qui se vendent couramment dan* les rues pour •[lacl^iwe sous présentent des

68 RÉCUÉATIO>S MATIIiLmA TIQUES

exemples ingénieux de problèmes de géométrie de situation. Il serait difiicile d'en donner la description sans une figure, mais leur construction est peu coûteuse et en réalité on peut reproduire avec un couple de tiges rigides et une pelote de ficelle, ou même avec des allumettes une foule de ces récréations, On en trouvera plusieurs exemples dans l'appendice du quatrième volume de Tédition de 1728 de l'ouvrage d'Ozanam.

Les rubans paradromiques. — L'expérience connue des rubans paradromiques que l'on obtient en coupant une bande de papier disposée d'une certaine manière vient à l'appui de cette remarque qu'il est difficile de se rendre compte mentalement des effets qui peuvent être obtenus lorsqu'on modifie géométriquement certaines figures.

Prenons une bande de papier ou un ruban de un ou deux centimètres de largeur, par exemple, sur neuf ou dix de long et traçons au milieu, dans le sens de sa longueur, un trait continu AB, puis collons l'extrémilé A sur l'extrémité B; nous formons ainsi un ruban fermé analogue à une portion de surface cylindrique. Si maintenant, avec des ciseaux, nous coupons ce ruban suivant la ligne médiane AB, nous obtenons deux rubans fermes exactement semblables au premier mais ayant une largeur moitié moindre. Supposons maintenant qu'avant d'effectuer le collage, on ait fait tourner l'extrémité A de deux angles droits (ceci revient à dire, qu'au moment du collage on applique l'envers de l'extrémité A sur l'endroit de l'extrémité B), puis coupons encore suivant AB, nous obtenons un seul ruban cylindrique présentant un développement double du premier.

Autre supposition : avant de coller les extrémités A et B faisons une torsion entière, c'est-à-dire tournons l'une des extrémités de quatre angles droits, puis le collage une fois fait coupons suivant la ligne médiane ; on obtient cette fois-ci deux rubans entrelacés. Si le lecteur croit que ces résultats peuvent être prévus, nous lui conseillons comme problème intéressant, d'essayer d'annoncer

ceux qu'il obtiendrait en coupant suivant leurs lignes médianes, les rubans formés dans la seconde et la troisième expériences.

La théorie de celle question est due à J.-B. Listing (^) qui a examiné et discuté le cas où l'on ferait exécuter à l'extrémité A avant de la coller sur l'extrémité B, m demi-rotations.

Pour m pair nous avons une surface ayant deux faces (ou si l'on aime mieux ; endroit et envers) et deux bords, qui a été appelée paradromlqae; en coupant cette bande suivant la ligne médiane préalablement tracée, on obtient deux bandes présentant chacune m

demi- rotations, et qui sont entrelacées — fois.

Pour m impair, on a une surface ne présentantqu'une face (c'està-dire sans endroit, ni envers) et qu'un bord ; cette bande coupée suivant la ligne médiane nous donne un seul ruban présentant 2 m demi-rotations, et si m est plus grand que l'unité, ce ruban forme un nœud.

(*) Vorsludicn :iir Topologie, Die Studien, Gottingen, i847> P^'''- ■^'