ITO. 188.4I.II
on constatera que la diagonale montante est, pour ces trois carrés, constituée par les mêmes nombres dont l'ensemble a subi une simple permutation circulaire.
Ces trois nombres sont les seuls qui satisfont au problème. Les nombres, pris de trois en trois ou de cinq en cinq a partir de ceuxlà, ne fournissent pas de carrés magiques. Cela tient au fait que les paramètres de la diagonale montante ^ -+- v) = 3a; + 5j sont précisément les deux facteurs du module i5 et l'on peut en inférer à priori que les lignes magiques dans cette direction sont forcément en nombre très limité.
Le carré fourni par les équations précédentes est cavalier de marche (7^ -h ar;) et de degré (9$ — t)).
Les paramètres des deux directions principales étant premiers avec le module, le groupe naturel de module i5 fournit un grand nombre de*carrés obliques des degrés i, 7 et i3 et aussi des carrés cavaliers simples de marche ($ H- 77)) et (^ 4- i3r)).
L'indicateur i5 du module étant égal à 8, il y a huit valeurs positives et autant de valeurs négatives pour chacun des quatre paramètres ; mais la condition que (ab' — ba') soit premier avec le module, réduit notablement le nombre de combinaisons possibles.
Pour qu'un groupe du module i5 (ou de tout autre module composé) puisse fournir tous les carrés obliques et cavaliers coni' patibles avec le modale, il faut transformer le groupe de façon à ramener ses directions non magiques aux seules directions principales.
Dans tous les cas, un groupe naturel de module composé impair iif donnera toujours de nombreux carrés à ordonnance oblique des
degrés i , • et /i — a et aussi des carrés cavaliers de premier
degré dont l'ordonnance sera définie par
et ^ ~\- (n — 2) r].
Il fournira également d'autres carrés de marches et de degrés moins simples, que Ton pourra déterminer en partant de deux équations convenablement choisies pour les deux directions principales.
La première partie de ce travail devrait s'arrêter ici, car nous pensons avoir rempli le programme que nous nous étions imposé. Nous ne le terminerons pas cependant, sans mentionner encore deux méthodes générale» et relativement simples pour la constitution de carrés magiques de modules composés de types différents de ceux déjà décrits, les procédés exposés plus haut permettant d'ailleurs d'en multiplier considérablement le nombre.
Soit un module n = pq, p eiq étant supposés premiers. On commencera par former deux carrés ayant /) et 9 pour modules. On remplacera ensuite chacun des nombres de l'un de ces carrés, celui de module p par exemple, par son produit avec q^. Cette opération n'altérera évidemment pas la magie du carré. Ceci fait, on substituera au nombre contenu dans chacune des cases de ce nouveau carré, la somme de ce nombre avec chacun de» nombres du carré de module q déjà construit. Par cette opération, chacune des cases
du carré magique de module p contiendra g- nombres. Ce carré en aura donc p^q^ et il sera magique.
On remarquera qu'ainsi construit il sera constitué par les nombres de la série naturelle, dont le premier terme serait (i 4- q^). Il suffira par suite de retrancher q"^ de chacun de ces nombres pour avoir un carré constitué par les n^ = p^q^ premiers nombres naturels.
La méthode s'applique à un module composé de nombres premiers quelconques (^). Quand on aura construit un carré de module n = pq, on construira en appliquant la même règle, le carré de module pqr, et ainsi de suite pour un plus grand nombre de facteurs.
Ci-après deux carrés de modules 9 et i5 construits en appliquant cette méthode. Le premier est constitué au moyen de deux carrés identiques de module 3, et le second au moyen du même carré de 3 et d'un cavalier simple de module 5.
TO
Fig. 63,
(*) Il n'est même pas nécessaire de supposer des facteurs premiers. Il suffit, pour l'appliquer, de savoir construire un carré ayant pour module ehacun des facteurs;
Go
ii4
ii3
ii5
IIO
iG5
lOO
io5
io4
io3
lOI
ii8
lyo
KjO
Fig. G/
Cette méthode est donnée par M. Arnoux sous le nom de méthode des carres mineurs.
La suivante donne des carrés de composition différente ; afin d'en simplifier l'exposition, nous la spécialiserons pour un module ayant le nombre 3 comme facteur. Soit donc un module n = 3K. Pour pouvoir l'appliquer, il suffit do savoir construire un carré de module K.
On assemblera les lignes et les colonnes du groupe naturel en trois séries, sans en modiQcr l'ordre. Le groupe se trouvera ainsi divisé en neuf compartiments contenant chacun K lignes et K colonnes. Chacun de ces compartiments constitue un groupe fondamefttal do
module K, pouvant donner naissanee à de nombreux carrés. Les constantes de ces neuf groupes sont en progression arithmétique en ligne et en colonne (la raison étant d'ailleurs différente, suivant que l'on considère les lignes ou les colonnes). Ces constantes forment donc aussi un groupe fondamental de module 3. Construisons un carré magique déduit de ce dernier groupe et remplaçons ensuite le nombre occupant chacune de ses cases par un des carrés magiques ayant ce nombre pour constante. Le carré magique de module 3 K sera ainsi constitué.
Appliquons ceci aux groupes naturels de modules 9, 1 5 et 21.
Le premier de ces groupes divisé en neuf compartiments donne, avec les constantes relatives à chacun d'eux, le groupe fondamental auxiliaire.
ii4
Fig. 65
dont on déduira par la règle connue le carré magique fig. 66 dont la constante est 369.
