TROISIÈME PARTIE

DE L'ORDOMUAUCE: DESHOllBREî^ UJkmS LES CARRÉIS MAGIQUES» lAlPAlRiS

Par A. MARGOSSIAN

Ingénieur, ancien élève de l'École des Ponts et Chaussées

Le problème des carrés magiques consiste, on le sait, à disposer les n^ termes d'une progression arithmétique quelconque dans un carré uniformément divisé en /i^ cases de façon à obtenir une somme constante, suivant chacune des bandes horizontales et verticales, et aussi suivant chacune des deux diagonales. On pourrait aussi bien adopter /i progressions arithmétiques différentes de n termes chacune et obtenir également des carrés magiques. Nous ne considérerons dans ce travail que la progression arithmétique naturelle constituée par les nombres qui se suivent de i à n^. Le lecteur appliquera aisément ce qui sera indiqué à d'autres séries.

On appelle base, module ou racine d'un carré, le nombre de cases de chacune de ses bandes. Nous supposons que le carré est placé sur une ligne horizontale et nous désignerons simplement ses bandes horizontales et verticales par les expressions lignes et colonnes. Il ne peut y avoir aucune ambiguité à cet égard.

Soit donc n la base du carré ; celui-ci aura n^ cases dans lesquelles il s'agit, ainsi qu'il a été dit, de placer les nombres successifs de I à n^ de manière que la somme, dans chacune des lignes, Récréations mathématiques, III. t

chacune des colonnes et chacune des deux diagonales soit constante. Cette somme est désignée sous le nom de constante du

carré. La somme des n^ premiers nombres naturels est n^.

Comme il y a dans le carré n séries horizontales ou verticales, sa

/i^ -h I constante sera n»

Nous commencerons par les carrés magiques dont la base, module ou racine n est un nombre premier (supérieur à 2) et nous verrons ensuite les conditions qui régissent l'application de ces procédés aux modules non premiers.