V. Faisons AI =:. BP ; BP est l'arc de

VI. Construire un carré sur AB comme diagonale. Prenons Bï =. BC, ET == AH, AR ==. BR ^ Aï ; AR et BR sont deux côtés du carré demandé.

VII. Elever une perpendiculaire en un point Z d'une droite ZB. Du point quelconque A, on décrit une circonférence passant par B et on porte le rayon trois fois en BC, CD, DE ; E est le point cherché.

Fig. 03 Fig. O/i

VIII. Trouver le milieu de la droite AB (fig. 63). On prend BQ === EP = BE, EQ == ED = BP. PM = PB, EM = EQ.

Trouver le centre d'un cercle donné (fig, 64). Du point A, décrire la demi-circonférence BE, prendre BC := CD := DE = BA. Si M est l'intersection des deux cercles, des deux centrés E et A, avec une ouverture de compas égale à EM, tracer deux arcs qui se coupent en L ; de L, prendre LQ = LA ; des centres B et A, avec une ouverture de compas égale à BQ, décrire des arcs qui se coupent au point cherché 0(*).

(') Dcli^Ic a donné une autre solution en 18G0 dans les Noav, Ann,

2âo RÊCRÉATlO?iS MATHéMATiQUES

Ce qui précède fera suffisamment comprendre l'ingéniosité qu'il a fallu déployer à chaque instant pour aboutir à des solutions souvent très cachées. La liste suivante de la majeure partie des questions traitées le fera encore mieux voir.

Mener une parallèle à une droite donnée.

Diviser un arc donné en deux parties égales.

Elever à une droite, en un point donnée une perpendiculaire de longueur donnée.

Abaisser d'un point donné une perpendiculaire sur une droite donnée.

Porter une longueur sur une droite déterminée par deux points.

Construire un triangle dont les côtés soient donnés.

S'assurer que trois points sont en ligne droite, ou quils forment un triangle rectangle.

. Vérifier qu'une droite déterminée par deux points est perpendiculaire ou parallèle à une autre déterminée de la même manière.

Construire la troisième proportionnelle de deux longueurs a, 6

(c'est-à-dire la longueur égale à y j .

Construction des proportions, des moyennes proportionnelles, des partages proportionnels, de la moyenne et extrême raison.

Construction des racines carrées des nombres entiers ou fractionnaires.

Déterminer l'intersection de deux droites, ou d'une droite et d'une circonférence.

Par les points a et c, mener deux droites faisant un angle abc égal à un angle donné.

Doubler un angle donné; en prendre la moitié.

Sur une longueur donnée, construire un triangle semblable à un triangle donné, un pentagone, un octogone, un décagone réguliers^

Trouver le centre d'un cercle déterminé par trois points.

Circonscrire un carré ou un triangle équilatéral à un cercle donné.

Construire les faces d'un tétraèdre, trouver sa hauteur.

Inscrire un carré ou un hexagone régulier dans un triangle équilatéral.

Trouver les intersections des diagonales d'un pentagone.

GÉOMÉTRIE 23 i

Dans un cercle^ inscrire trois oa quatre cercles égaux tangents entre eux et avec le premier.

Dans an cercle donnéy inscrire sept hexagones égaux.

Poncelel et Sleiner ont montré à résoudre les problèmes de géométrie plane en n'employant que la règle et un cercle tracé une fois pour toutes dans le plan. Une géométrie moins féconde, mais plus intéressante est la géométrie de larègle^ basée sur la théorie des transversales : on sait par exemple, comment, à l'aide du théorème de Pascal, on mène en employant la règle seulènient, une tangente à une conique.

A ce propos, il est à remarquer que le premier tracé de ce genre a été donné par l'IIospital (1. cit.) : soit à mener la tangente en M (fig. 65) ; on mène les cordes quelconques MA, MB, et par A et B

Fig. Gû

les parallèles AD et BG h MB et MA : la tangente en M est parallèle à CD. Cela se prouve en remarquant que les segments AC, MB, compris entre les parallèles AM, CB, sont égaux; et qu'il en est de môme des segments AM et BD, ainsi que des triangles ACM, AJiM et DBM, d'où il suit que les scgmenls MC, MD sont égaux. Or si on joint les intersections K et L.des droites BM, CA, AM, DB, on peut s'assurer que KL est j)arallèle à Cl)(') : c'est donc un cas très particulier du théorème de Pascal.

(«) En cflcl 1«8 Irlaiiglcs KAD, BAD sont égaux, de môme quo les Irian-

M. de Coatpont {Noav. corresp. math. 1877) a montré à résoudre certains problèmes à l'aide de la double règle dite règle plate. Par exemple les fig. 66 et 67 indiquent le moyen de mener une perpendiculaire ou une parallèle, du point A, à une droite CB. Il traite de même les problèmes suivants : porter une longueur donnée à la suite d'une droite donnée; — trouver l'intersection dune droite et dhin

Fig. 66 Fig. 67

cercle déterminé par son centre et son rayon, ou de deux cercles déter^ minés de même.

Géométrie sur le terrain. — Cette géométrie emploie comme instruments le jalon, qui sert à tracer des droites et marquer des points ; le cordeau, qui sert à partager en deux parties égales une longueur donnée ou à la porter sur une autre ; le cordeau-jalon, dont l'office est de transporter un angle. On emploie aussi dans les opérations de précision, la Jausse-équerre, ïéquerre, le mètre et le goniomètre. Schooten, Mascheroni, Brianchon, Servoiset récemment

gles LBC, ABC. Donc il en est de môme des triangles KAP et BPD, LBQ et AQG ; et par suite on a : "

tri. KLD = quad. KLBA = tri. KLG.

Les triangles KDL, KLG étant égaux, c'est que KL est parallèle à CD.

G. de Longchamps ont successivement édifié cette curieuse théorie qui cependant n'a pas encore été traitée méthodiquement. On verra ci-dessous les problèmes les plus intéressants, soit comme énoncés, soit comme solutions ; on ne se préoccupera pas du côté pratique des solutions.

Mener une parallèle à une droite donnée AB, par un point G donné. Schooten prescrit de tirer AG, de prolonger cette ligne d'une longueur égale CD, de joindre D au point B et de prendre le milieu deDB.

Ou bien prolonger AB d'une longueur égale BD, joindre B à un point quelconque E de GD ; si AG coupe BE en F, le milieu de DF est sur la ligne cherchée.

; Mener la bissectrice d'un angle donné A. Solution de Schooten :

Fig. G8

Fig. 69

prendre sur un côté les longueurs AB, BG égales aux longueurs AD, DE prises sur l'autre. Les droites BE, GD se coupent sur la bissectrice cherchée.

Elever une perpendiculaire à une droite donnée. Solution de Schooten. Prendre les longueurs égales AB, BG, BD, AE (fig. 68), puis AF = AD : il ne reste plus qu'à doubler FE en EG. Comme vérification, on doit avoir AG = CD.

Dans cette construction comme dans les suivantes, les jalons sont placés dans l'ordre alphabétique des lettres qui les représentent.

Du point A (fin^. 69), abaisser une perpendiculaire sur une droite donnée BG. La solution suivante est beaucoup plus simple que celles qu'on donne habituellement. On prend BG = AB et AD = 2.AB ; on joint A au milieu E de BG, et G au point d'intersection de AE et de BD ; sur DG on prend DH — AG : Ali est la perpendiculaire cherchée.

Placer un jalon en Vujne droite entre deux points inaccessibles et

invisibles. La solution indiquée ci-dessous est due à G. de Longchamps (fig. 70) : elle ne demande que sept jalons.

Si les points X et Y sont accessibles et peu éloignés, on est ramené au premier problème.

Déterminer la distance d'un point accessible. Les fig. 71, 72 et 70 représentent les solutions de Schoolen : elles demandent un grand emplacement. Les deux suivantes nécessitent des mcsurages et un calcul, peu compliqué d'ailleurs.

Avec Garnot, on mène de part et d'autre de AX, les droites XEG, XDli ; puis GFD, qui coupe AX en F ; puis BFE ; ce (|ui donne