AD.AB OA.BG

BDT=^^^ AB *

On pourrait résoudre, par des moyens analogues, un grand nombre d'autres problèmes; mais en général, la complication des solutions leur ôte tout intérêt. On en jugera en essayant de résoudre ainsi les suivants ;

Trouver, sur une droite donnée, le point équidistant de deux points inaûceêtibles (Schooten).

Abaisser, d'un point donné, une perpendiculaire sur une droite inaccessible, et trouver la longueur de celte perpendiculaire (id.)

Prolonger une droite passant par les intersections inacessibles et invisibles de deux couples de droites (Servois).

Trouver la distance d'an point donné à Vintersection inaccessible de deux droites (de Longchamps).

Trouver l'angle de deux droites déterminées chacune par deux points inaccessibles (id.)

Trouver la distance d'un point inaccessible à une droite également inaccessible (id.)

Pour les tracés d'arcs circulaires tangents à deux droites données,

Fig. 8.

on indique habituellement, comme moyen d'exécution, la fausse cquerre. Mais on peut procéder plus élégamment ainsi.

Soit à raccorder les droites MS, NS, par un arc de cercle cpù leur soit langent en M et en^. On prend MP = NQ — MN (fig. 80) ; suf MQ et NP, on porte les longueurs égales Ma, ab, 6c,..., Pa, «e^, Py» ... Les droites My. Ne, par exemple, se coupent sur la courbe.

On peut prendre aussi N7 = Mp = NS, et agir de même sur Sry et S/i.

Le rayon étant donné, on peut aussi arriver au tracé, moyennant un calcul préliminaire. Soit à raccorder les deux droites 8M, SN (fig. 81) par un arc circulaire de rayon r. On prendra les trois Ion-

RÉCRÉATIOXS MATHEAf ATTQUES

gueurs égales et d'ailleurs quelconques, SA, SB, SC, puis SM = SN = r w p • ^^ joindra S au milieu V de MN et on prendra sur VS, la longueur Yï égale à

AC

Une transversale quelconque, tirée de S, rencontrera en P et Q C.^ .A

Fîg. 80

les droites NT et MT : les droites NQ et MP se coupent sur la courbe.

Géométrie des systèmes articulés. — On appelle compas composé, — d'après Peaucellier, qui a le premier attiré l'attention sur cette importante théorie, — un assemblage de tiges rigides articulées permettant une déformation de l'ensemble (*). Les points ou les lignes donnant les solutions sont indiqués par des pointes fines passant à travers des ouvertures ménagées dans les tiges, ou même dans les articulations. Quelque fois celles-ci peuvent être déplacées,

{*) Sylvester a remarqué que dans un système déformable, le nombre t des tiges et le nombre a des articulations sont liés par la relation 3t — 20 = 4, d'où il suit que les tiges sont toujours en nombre pair.

par le moyen de clés de serrage ; mais il ne sera pas parlé ici de ces questions relevant de la pratique, et on ne donnera que le schéma des appareils.

Transport cVune longueur donnée sur une droite donnée. On utilise le compas à deux branches.

Transport d'un angle. — Tracé par points de perpendiculaires élevées à une droite ou abaissées sur une droite. — Tracé par points de parallèles à une droite donnée. On se sert d'un X, assemblage de deux barres égales articulées en leurs milieux.

Symétrie polaire. On joint les milieux de deux côtés opposés d'un parallélogramme articulé par une bride dont le milieu reste fixe. Cet appareil peut servir aussi à prendre le milieu de la distance de deux points donnés.

Compas de proportion. Se compose de deux tiges égales articulées au moyen d'une clé mobile, et sert à réduire ou amplifier une longueur dans un rapport donné. «

Le pantographe se compose d'un parallélogramme articulé ABCD, dont le coté BC est prolongé. Le point A étant fixe, et en ligne droite avec deux points M, N, pris sur CD et BG, les trois points A, M, N seront toujours en ligne droite, dans toutes les déformations de l'instrument ; de plus, si M décrit une certaine courbe, le point N décrira son homothétique. Cet appareil a été inventé par Scheincr en 1601 et divulgué dans sa Pantographice (Rome i63i). Sylvester l'a généralisé et modifié de plusieurs manières, de manière à obtenir des homothéties obliques, et l'appelle, dans ce cas, plagiographe.

Transport d'an triangle. On pourrait employer un compas à trois branches (').

Dissection d'un angle. On se servira du rJiomboïde (fig. 82), élément important employé pour la première fois par Roberts en 1871, et qui, en outre, possède les propriétés suivantes :

(*) N'y aurait-il pas une dtude inlércssanto à faire do ce tétraèdre isocèle. M. E. Lemoine (A. F. 187.5) a étudié le létracdro dont les arôles opposées sont égales.

llécréalioDS matliéuuliquos, 111. l^

Dans toutes ses déformations, les diagonales restent perpendiculaires.

Il en est de même dans tout quadrilatère orlhodiagonal (J. Neuberg).

Un des côtés étant fixe, l'intersection des deux côtés adjacents décrit

une cassinienne (Manheim), et tout point du plan lié au côté opposé

décrit une inverse de conique (Roberts).

«Si A.B = 2, CD, et que CD soit fixe, le sommel B décrit un tour complet pendant que A en décrit deux (Galloway).

Division de la distance de deux points en n parties égales. Cette opération se fait aisément à l'aide du zig-zag, formé de /iX égaux articulés bout à bout (^).

Recherche du centre d'un cercle donné. A l'aide d'un double X, on obtiendra un losange concentrique au cercle. Un triple X déterminerait le centre lui-même. On pourrait aussi articuler, h deux des branches intérieures du double X, une bride dont le milieu donnerait le centre sans nouvelle opération.

Détermination d^un point défini par les angles sous lesquels il est vu de deux droites connues AB, BC. On se sert d'un compas plan à trois branches muni d'un limbe gradué, et appelé stigmographe.

Translateur de Kempe. Soit à transporter une longueur déterminée dans une position parallèle quelconque. On emploiera un système formé de deux parallélogrammes articulés ayant un côté commun. Inverseurs. Soient deux rhomboïdes symétriques articulés (fig. 83). Les deux expressions de cos BAC déduites de la considération des triangles MAA', BAC, donnent la relation

AA'.AC = ^^ (AM'2 — A'M'2) = const.

Donc le point A étant fixe, les points A' et G décriront deux courbes inverses l'une de l'autre.

(*) Le Katalog de Dyck (Munich, 1892), donne f)our ce môme problème, le dessin d'un appareil bien trop compliqué.

GEOMÉTHlË 2^3

Inverseur de Peaucellier. Supprimons les tiges inutiles M'H', B'C, CD', D'P', on aura une généralisation de l'inverseur de Peaucellier, lequel est représenté fig. 8A et comprend un losange articulé à deux brides égales AB, AD. On a ainsi AA'.AG =: const.

C'est la découverte de cet appareil, annoncée en i8G4 et divulguée en 1867, qui d'abord inaperçue, a attiré raltehtion de Sylvesler, lequel a commencé à faire connaître en 1878, les jDremières vues sur la théorie des systèmes articulés.

Inverseur de Hart. Prenons sur les tiges AM', A'M', CB (fig. 83),

Fig. 83 Fig. 84

trois points a, p, y, situés sur une parallèle à AC ; on aura de même a^.ay = const. et la figure sera un conire-parallélog ranime (Gg. 85). Celte propriété est due à Hart, mais le dispositif lui-même a été indiqué pour la première fois par Scliooten, qui a remarqué cjue les points M' et M étant fixes, Vintersec- g' g

tion des ticjes M'B, MB' décrit une ellipse ; /^^^N. cl que la tige M'B étant fixe, Vintersec- o^gi^.....-^N,\v tion des droites M'B', MB décrit une hyper- ^ ^ ^^^fr

hole. Fig. 85

On peut ajouter aux propriétés de celte remarquable figure, les suivantes : M'B' restant fixe, tout point de MB décrit une inverse de conique (Gayley).

Si M'B = y/a BM et que BM' reste fixe, le niilieii de MB' décrit Une lemniscate (Carbone!).

Extracteurs binômes quadratiques. Si, aux milieux de BG Ct de

CD (fîg. 82), on articule deux tiges de longueur - BC, s'articulant

elles-mêmes en 0, on a :

AO^ — 0C2 =zr. const.

On a une relation semblable en prolongeant de leurs longueurs deux côtes inégaux d'un rhomboïde (tig. S6), car on a :