PLIAGB ET DÉCOUPAGE DU PAPIER

tion. Il a fait observer que le problème est indéterminé et a donné ces deux énoncés :

Découper un carré en un nombre minimum de parties telles que.

Fig, 2a3 Fig. aa.'i Fig, 220

groupées convenablement, elles constituent un nombre quelconque de carrés égaux entre eux.

Partager un carré en segments qui puissent constituer un nombre donné de carrés égaux.

Décomposer un carré en huit parties de manière qu'en les assemblant convenablement on puisse former : i° deux carrés dont le plus grand soit double du plus petit ; 2* trois carrés dont les surfaces soient respectivement proportionnelles aux nombres 2, 3, ^f.

On prend sur l'un des côtés du carré, AB par exemple, la longueur AE égale a la moitié de la diagonale du carré, puis on trace J

Fig. aaG

Fig. 327

Fig. a 28

DE et dos sommets A et G on abaisse les perpendiculaires AF, CG sur DE.

hécréIattons mathématiques

Du point G on abaisse les perpendiculaires GH, GI sur les côtés CD, CB.

On prend HK = HG, FL = FA et en K et L on élève les perpendiculaires h CD et DE.

La ligure est alors décomposée en huit morceaux numérotés de I à 8 qui peuvent être assemblés comme le représentent l'une ou l'autre des figures ci-après.

Celte décomposition a été publiée darjs Idi Nouvelle Correspondance

Fig, 229 Fig. 280 Fig. -j'ii

mathématique (ï. II, p. 83). Elle est due à Paul Busschop.

Décomposition de l'hexagone régulier en cinq parties qui, assemblées convenablement forment un carré.

L'hexagone est divisé en deux parties égales par un diamètre et

l'on dispose les deux parties à côté l'une de l'autre de façon h ob-

PLUGF ET DéCOUPASE DU PAPIER

tenir un parallélogramme ABFE. Du point A comme centre avec un rayon égal à la moyenne proportionnelle entre la longueur AE et la hauteur du parallélogramme, on trace un arc de cercle qui coupe en G le côté BF du parallélogramme.

Du sommet E on abaisse la perpendiculaire EM sur la droite AG et on prend, sur cette même droite, la longueur MI égale a ME.

Enfin on trace la perpendiculaire IK à AM.

L'hexagone se trouve alors divisé en cinq parties qui peuvent élre découpées et assemblées de manière à former un carré comme le représente la figure.

Décomposition du pentagone régulier en sept parties qui assemblées convenablement forment un carré.

ABCDE étant le pentagone considéré, prolongeons la diagonale

CE d'une longueur EF égale au côté du pentagone et traçons A F,

360 RKCRiîATIONS MATHlhr\TTQUES

Les deux triangles DCE, FEA. sont égaux et on peut remplacer le pentagone par le trapèze équivalent RCFA.

Par le milieu G de AF menons la parallèle au côté BG jusqu'à sa rencontre en K avec GF, et en I avec le prolongement de BA.

On transforme ainsi le trapèze ABGF en un parallélogramme équivalent IBGK.

Du point I comme centre avec une ouverture de compas égale à la moyenne proportionnelle entre la base BI et la hauteur du parallélogramme décrivons un arc de cercle qui coupe GK en L, puis traçons IL. Gette droite détermine les /j parties numérotées 1,2, 6, 7, qui assemblées convenablement constituent le triangle GDE.

La perpendiculaire BM abaissée de B sur HL détermine les deux parties 3,4-

Le triangle IKL constitué par les trois parties 7, 6, 5 peut être 'rnnsportéen NPB comme le représente la figure et le quadrilatère I;' en IIIPN achève le carré HMBJN équivalent au pentagone.