II
sant par deux nombres arbitrairement choisis dans ce groupe, rencontre tout d'abord et dans un certain ordre n nombres différents (cinq dans l'exemple choisi), et ces n nombres se retrouvent ensuite sur cette ligne, indéfiniment reproduits dans le même ordre. En un mot, cette ligne ne rencontre dans le plan que n Fjg 2„ nombres différents. L'hypothèse de la ré-
pétition indéfinie du groupe n'a été adoptée que pour bien faire saisir ce point. Nous pourrons bientôt l'abandonner. En effet, lorsque la ligne en question aura dépassé les limites de notre premier groupe, elle rencontrera hors de ces limites un nombre que l'on retrouvera dans ce groupe. Il suffira alors de partir de ce dernier, parallèlement à la direction adoptée pour retrouver les nombres que la ligne indéfinie aurait coupés dans le plan. Quand cette parallèle aura dépassé aussi ces limites, on se retrouvera dans le même cas que précédemment et on continuera l'opération par une troisième parallèle h la direction donnée, et ainsi de suite. Notre groupe originel fournira donc ces n nombres et l'on retombera finalement sur le point de départ. Ainsi ce groupe suffit à lui seul pour représenter le plan uniforme que nous avons imaginé. On peut dire qu'il représente ce plan congruent de module n. Sauf pour les deux directions principales x et y (l'expression comprend toutes les parallèles à ces deux directions) qui ne jouissent pas de la propriété que nous allons indiquer, on peut vérifier que la somme des n nombres différents rencontrés par une direction quelconque est magique. Le groupe fondamental est donc magique pour toutes ses directions autres que les deux principales.
Adoptons donc deux directions quelconques partant de l'origine du groupe et différentes de celles des deux axes ; elles sont magiques. Inscrivons respectivement sur les axes ^ et rj du carré et dans l'ordre où ils se présentent, les nombres rencontrés par chacune de ces deux directions. Nous avons ainsi les éléments suffisants pour la formation d'un carré.
iG
Soient, par exemple, les deux directions déterminées par les nombres i et 8, d'une part et i et 12, d'autre part. Inscrivons (fig. 28) les nombres I, 8, 1 5, 17 et 24 rencontrés par la première direction sur l'axe ^ et 12, 23, 9 et 20 rencontrés par la seconde sur l'axe r^ du carré. Ceci fait, prenons dans le groupe une ligne partant du nombre 12 et parallèle à "la ligne (i, 8) de ce groupe; elle rencontrera Fig. 28
les nombres 19, 21, 3 et 10 que nous inscrirons dans le carré sur la bande horizontale à l'origine de laquelle le nombre 12 a été placé. Ces cinq nombres ont aussi une somme magique. Pour former la troisième ligne du carré, on tracera dans le groupe une nouvelle ligne parallèle à (i, 8) et partant du nombre 28 et ainsi de suite jusqu'à ce que le carré soit complètement rempli. Les nombres ainsi rencontrés par chacune des lignes sont tous différents ; ce seront donc les n^ nombres du groupe. Au lieu de construire le carré au moyen de lignes parallèles à(i, 8) dans le groupe, on aurait tout aussi bien pu le former en adoptant des lignes parallèles à(i, 12) et partant de chacun des nombres inscrits à la base du carré. L'ordonnance des nombres du carré n'en aurait pas été modifiée.
Les notations adoptées permettent de définir les lignes et colonnes de ce carré par les deux relations
$ = ax H- y, T) = ce H- 27,
La diagonale montante sera par suite représentée par
^ + TT) = Sx 4- 3/ et la diagonale descendante par
vj — $ = — ic -h y ;
ces deux lignes sont aussi magiques, puisqu'elles ne sont pas parallèles aux axes du groupe.
Le carré est donc magique. Il a pour marche 4^ H- 3'^< et pour degré (2$ 4- 2r)). Sa diagonale montante est constituée par les nombres de la diagonale montante du groupe, pris de 3 en 3.
Si l'on veut déterminer directement les nombres de la diagonale descendante, on constatera que l'on connaît deux nombres de cette diagonale; ce sont les nombres 24 et 20 occupant les cases extrêmes des deux axes du carré : on pourra donc partir de l'un d'eux pour retrouver tous les autres.
La méthode, on le voit, est des plus simples. La solution exacte du problème dépend du choix judicieux des paramètres des deux équations fondamentales.
En général pour que deux équations
^ = ax -h by et ri = a'x -\- h'y
puissent donner un carré magique, il faut que le déterminant (ah' — 6a') de leurs paramètres soit premier avec le module n du groupe adopté.
Nous savons que ces deux équations sont des congruences de module n ; mais on peut sans inconvénient substituer le signe = de l'égalité à celui ^ adopté pour les congruences, la confusion n'étant pas ici possible.
Les deux équations fondamentales ci-dessus permettent de résoudre un très-grand nombre de problèmes relatifs aux carrés magiques. Nous y reviendrons dans la seconde partie. Nous proposerons cependant, à titre d'exercice, les suivants dont la solution est aisée à trouver :
1° Etant donné un nombre du groupe fondamental naturel, quelle case occupera-t-il dans le carré ?
2° Inversement, un nombre occupant une case donnée du carré, quelle est sa situation dans ce groupe ?
3° Etant données deux directions déterminant un carré magique, quel est la nature de ce carré ; en d'autres termes, quelle est l'or-
donnance dans le carré, des nombres successifs d'une ligne ou d'une colonne du groupe fondamental et quel est son degré ?
4° Etant donné un type de carré régulier, déterminer les paramètres des deux directions principales qui correspondent à ce type.
Pour terminer ce chapitre, nous donnons ci-après quelques exemples de carres que le lecteur pourra multiplier à son gré. Nous devons toutefois le prévenir que si une erreur s'était glissée dans la transcription ou l'impression de quelques chiffres, il pourra, connaissant le mode de génération indiqué pour chacun de ces carrés, la rectifier facilement.
Carrés à ordonnance oblique de module 1 1 :
Nous en donnons quatre. Les trois premiers sont déduits du groupe naturel dont on a simplement transporté la ligne magique au premier rang. Le dernier, de degré 9 = « — 2 est déduit du même groupe dans lequel on a fait une permutation des lignes en en transportant les cinq premières au dernier rang.
Module 1 1 : Conslanle = 671
iiG
IIO
ii5
ii3
io8
Si]
lia
