B) TYPES DE CARRÉS A ORDONNANCE OU DISPOSITION CAVALIÈRE

Dans ces carrés, les nombres successifs d'une même ligne du groupe suivent une marche analogue à celle du cavalier au jeu des échecs. Dans une première série de carrés, un nombre 6 occupe par rapport à celui a qui le précède dans une ligne du groupe, la

CARRÉS MAGIQUES DE MODULES PREMIERS l3

position indiquée sur la figure i4. En d'autres termes, les coordon-

Fig. i4.

nées de 6 relativement à a dans le carré sont i suivant la direction horizontale et 2 suivant la direction verticale. En désignant ces deux directions par x et j, on peut représenter la situation de b relativement à a par (x -h 2j), étant bien entendu que a: et / n'ont aucune valeur quantitative. La position du nombre suivant c, de la môme ligne, sera (x -h 2/) par rapport à 6 et 2 (x H- 2j) ou 2X -+- [\y par rapport à a ; c'est-à-dire que pour trouver la situation de c à partir de a, il faut avancer de deux cases horizontalement et de quatre cases verticalement.

En général, la position dans un carré de deux nombres successifs du groupe peut être définie par l'expression {px -j- qy), p ci q désignant le nombre de cases dont on doit avancer suivant les directions principales, à partir du premier de ces points, pour trouver la position du second.

Si donc (px -h qy) définit l'ordonnance de deux nombres successifs d'une même ligne du groupe fondamental, il faudra multiplier cette expression par 2, 3, /|, etc., pour trouver la position dans le carré des nombres suivants de la même ligne. Gliacun de ces facteurs doit affecter en même temps les deux paramètres p et q, les lettres x et V étant seulement, nous le répétons, les symboles indicatifs des deux

l4 RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES

directions principahs . On pourrait à la rigueur s'en dispenser, en convenant que dans une expression binôme, le premier terme indique le nombre de cases dont on doit avancer horizontalement et le second, celui dont on doit avancer verticalement. Pour employer des notations très connues, on dira que l'expression est une quantité complexe que Ton peut tout aussi bien représenter par(p -\- qi), l'addition étant simplement géométrique.

Dans tout ce qui suivra, nous considérerons le sommet inférieur gauche du carré comme origine, les directions positives des x et des y étant celles des côtés qui partent de cette origine. Avec cette convention, toutes les cases qui occupent la première ligne du carré (soit sa base) ont pour ordonnées zéro et toutes celles qui occupent sa première colonne (celle de gauche) ont zéro pour abscisses.

Les coefficients de x et de j ne peuvent acquérir que des valeurs entières inférieures à (n — i). Sitôt qu'un de ces coefficients dépasse cette valeur, la position correspondante se trouve dans un des carrés auxiliaires des fig. a, 3 et 5. Reporter cette position dans le carré adopté équivaut à déduire n de la valeur de ce coefficient. En d'autres termes, les expressions (px -h qy) indicatives de la position d'un nombre dans un carré, sont des expressions congruenies de modale n.

Ces quelques indications familières d'ailleurs à tout lecteur au courant des plus simples notions mathémaliques, nous seront utiles plus loin.

Les nombres successifs d'une même ligne du groupe fondamental, suivent, dans le premier des types que nous étudions maintenant, la marche du cavalier de l'échiquier. Le premier nombre du groupe adopté sera placé dans une quelconque des cases du carré et les nombres qui suivent dans la même ligne, disposés comme il est dit (la marche doit toujours être dans le même sens ; celle que nous adoptons a ses deux coordonnées positives, c'est-à-dire vers la droite en montant). Si l'un de ces nombres dépasse les limites du carré et tombe dans l'un des carrés auxiliaires qui l'entourent, on le reportera dans la case identique du carré que l'on se propose de for-

mer, tout comme cela a été fait pour les carrés à ordonnance oblique. Les nombres de la première ligne étant épuisés, on placera sous le dernier nombre inscrit, le premier nombre de la ligne suivante et l'on continuera ainsi jusqu'à épuisement de tous les nombres du groupe. Le carré formé sera magique.

Dans les carrés du type qui vient d'être défini, l'ordre des lignes et colonnes du groupe fondamental n'a aucune importance. On peut permuter les lignes ou les colonnps, comme on le voudra, placer le premier nombre du groupe dans une case choisie à volonté, sans restriction, le carré à ordonnance cavalière que l'on en déduira sera toujours magique. Ci-après (fig. i5) un exemple tiré du groupe naturel et dont le premier nombre a été placé dans la case (2a: + 2j).

Fig. i5.

On peut, dans ces carrés, opérer une permutation circulaire quelconque des lignes et des colonnes, le carré résultant sera magique. Ceci permet de donner à un nombre quelconque du carré une situation relative déterminée. C'est une conséquence du fait que l'on peut placer le premier nombre du groupe dans une case quelconque arbitrairement choisie.

j6 récréations mathématiques •

De telles permutations ne peuvent, on le conçoit à priori, modifier la magie des lignes et des colonnes d'un carré déjà magique. Mais la magie des diagonales peut en être altérée. On vérifiera que dans les carrés du type ici défini, toutes les lignes parallèles aux deux directions diagonales du carré sont aussi magiques. En conséquence, une permutation circulaire des lignes ou des colonnes produira aussi toujours des diagonales magiques. C'est le caractère des carrés diaboliques.

Les nombres peuvent suivre aussi la marche du cavalier à gauche. On obtiendrait ainsi des carrés qui seraient l'image dans un miroir des précédents.

On peut également donner aux nombres la marche du cavalier descendant à droite ou à gauche. Dans ce cas le premier nombre d'une ligne sera placé au-dessus du dernier nombre de la ligne précédente. Ces derniers carrés seraient identiques aux précédents que l'on aurait fait tourner de -180° dans leur plan.

On obtiendra des nouvelles séries de carrés en donnant aux nombres une marche analogue à celle du cavalier, mais montant de 3, 4... (n — 2) pas, au lieu de 2 ; c'est-à-dire que ses marches seraient représentées par (x -h 3y), (x -h 4j), ... [x -h {n — 2)7]. Le pas {n — 2) constitue ici aussi une limite. Ces nouveaux carrés, sauf ceux de la dernière série, peuvent subir une permutation circulaire quelconque de leurs lignes ou de leurs colonnes, sans que leur caractère en soit altéré. En d'autres termes, ce sont aussi des carrés diaboliques.

Les carrés de (n — 2) pas présentent une particularité essentielle, analogue à celle des carrés obliques de la série limite. Les nombres de la colonne magique du groupe fondamental doivent occuper une des diagonales du carré. Etant données les directions adoptées pour l'ordonnance des nombres, cette colonne occupera toujours la diagonale descendante. Donc pour construire les carrés de ce type, il faudra placer dans la diagonale descendante, un nombre de la colonne magique du groupe fondamental.

Voici quelques exemples de carrés à ordonnance cavalière.

Fig. 16. — Carré de 3 pas. Fig. 17. — Carré de 4 pas.

Carrés de n — 2 = 3 pas

bli

Fig. 18.

Fig. Hj.

Carrés cavaliers de module 7 a n-2 = 5 pas

Te"

~fÏ8

Fig. 20 Récréations mathématiques, III.

Fig. 21

REGREATIO!VS MATHEMATIQUES

Afin d'aider le lecteur h reconstituer ces 4 derniers carrés, nous avons souligné les cases où l'on a placé le premier nombre du groupe.

La série des carrés à ordonnance cavalière est loin encore d'être épuisée. Dans les types plus haut définis, on peut placer le premier nombre d'une ligne, non pas immédiatement au-dessous, mais 2, 3.., etc., cases au-dessous duderniernombre delà ligne précédente. On obtient ainsi des carrés cavaliers de pas et de degrés divers.

Les carrés que l'on peut ainsi constituer sont ceux pour lesquels la somme du pas el du degré ne dépasse pas n — i(^) î et dans le cas où cette somme égale cette limite, les nombres de la colonne magique du groupe doivent occuper la diagonale descendante du carré.

p. ^^ Ci-dessous quelques exemples de carrés

.Carré limite cavaliers.

Tô

Fig. 23 Carré de 5 pas et de degré U \^)

iG

Fig. 24 Cavalier simple de degré 3

(*) En d'autres tûrmcs, cette «omme ne peut-être congrue à n, c'est-àdire égale à zéro.

(2) La régie de la limite n'est pas en défaut, puisque 5+4 = 9 = 2.

Si l'on divise un carré cavalier de (n — 2) pas et de degré un, en deux parties par sa diagonale descendante et si l'on transporte le petit triangle supérieur sous le grand triangle limité par cette diagonale, on obtient un parallélogramme qui, redressé, est un cavalier simple magique à deux pas. Une faudrait pas en conclure que la division, effectuée sur un carré cavalier simple, donnera toujours un carré cavalier de {n — 2) pas.

De nouvelles séries de carrés magiques -seront encore fournies par une ordonnance moins simple pour les nombres successifs d'une même ligne du groupe et aussi pour leur degré. Un choix judicieux des paramètres de marche et de ceux du degré donnera toujours un carré magique. Exemples :

/lO

Fig. 2 5 Cavalier simple de degré Bx

Fig. 26. — Cavalier de degré un et de marche {^aa -{- iy)

Ce dernier carré (fig. 26) est aussi cavalier de 5 pas et de degré h pour un groupe fondamental dans lequel l'ordre de colonne serait 1-5-2-6-3-7-4. Comparer ce carré à celui de la figure 28.

La variété des types dans la catégorie définie en dernier lieu paraît considérable ; mais ils peuvent être souvent ramenés à des types plus simples.

Ce qui précède montre qu'il existe deux séries de marches uni-

formes (oblique et cavalière) qui donnent toujours d'emblée des carés magiques.

Le fait seul que les nombres d'une ligne du groupe fondamental que l'on considère, ont dans le carré une ordonnance régulière implique également une ordonnance régulière pour les nombres d'une même colonne. Considérons par exemple les carrés cavaliers de {n — 2) pas. Nous savons que leur diagonale ^-^^ est occupée par les nombres de la colonne magique du groupe. Nous pouvons en conclure, ainsi que l'on peut le vérifier, que toute ligne parallèle à cette diagonale est constituée par des nombres appartenant à une même colonne du groupe fondamental.

La règle est générale. La distribution dans le carré des nombres d'une même colonne est étroitement liée à celle des nombres d'une même ligne. On peut, pour chaque type de carré, déterminer cette relation. On vérifiera que dans les carrés obliques, par exemple, les nombres d'une même colonne sont distribués suivant une marche cavalière qui ne varie pas pour toutes les colonnes du groupe ; mais cette marche est montante vers la gauche. Le pas du cavalier est égal à la diflérence entre {n — i) et le degré du carié oblique considéré.

Dans les carrés cavaliers non limites, les nombres d'une môme colonne suivent aussi une marche cavalière vers la gauche.

Le lecteur sait maintenant construire avec facilité une infinité de carrés magiques d'un module premier quelconque. Chacun de ces carrés donnera, par l'application des règles de Lucas et autres citées à l'occasion des carrés obliques, naissance à un grand nombre de carrés différents également magiques, mais dans lesquels l'ordonnance primitive des nombres se trouvera complètement bouleversée, au point que souvent il sera difficile sinon impossible de retrouver le carré dont ils ont été déduits.

Nous pensons que l'on peut appeler dérivés ou secondaires les carrés de cette nature par opposition aux premiers que l'on est justifié à qualifier de primitifs ou réguliers.

Quelles que soient les permutations que l'on fasse subir aux

lignes d'une part et aux colonnes d'autre part dans le groupe naturel, il est clair qu'une ligne ou une colonne quelconque des groupes résultants est toujours constituée par les mêmes nombres, dont l'ordre seul a varié par suite de ces permutations. Lorsqu'on se trouvera en présence d'un carré magique, il faudra y chercher la suite des nombres d'une même ligne et en étudier la disposition. Il suffira toujours de l'examen de quelques-uns d'entre eux pour en déduire immédiatement sa constitution et voir s'iLest primitif ou dérivé.

Il serait intéressant de calculer le nombre de carrés primitifs distincts que l'on peut construire pour chaque module. Nous ne nous arrêterons pas à cette recherche qui ne rentre pas dans le programme que nous nous sommes tracé.

Nous donnerons ici, sur la théorie des procédés décrits, les quelques notions qui nous sont strictement indispensables, pour faciliter l'exposition du chapitre qui suit relatif aux modules composés. Ces notions très simples seront un peu plus développées dans notre seconde partie. Nous engageons toutefois le lecteur qui voudrait les approfondir à consulter « Les Espaces Hypermagiques » de M. G. Arnoux auquel nous les avons empruntées.

Considérons un groupe naturel que nous écrirons en renversant l'ordre des lignes de façon à le lire de bas en haut.

Nous prendrons comme origine le nombre par lequel commence la première ligne. Celte première ligne ou ligne de base sera la direction des X positifs, la première colonne, celle de gauche sera la direction des j positifs. Ce renversement du groupe n'a été opéré que pour faire concorder ces axes avec ceux que nous avions adoptés pour les carrés ; on conçoit qu'il ne modifie nullement tout ce qui a été dit jusqu'ici. Nous désignerons par ^ et t), pour les distinguer, les deux directions principales des carrés.

Afin de préciser nos explications, nous étudierons le groupe de module 5 ; elles s'appliqueront entièrement à un module premier quelconque. Inscrivons donc ce groupe (fig. 27) et supposons-le indéfiniment répété de façon à couvrir uniformément tout le plan. On peut aisément constater qu'une ligne quelconque indéfinie, pas-