II. — Une femme revient et emmène la troisième

III. — Une femme revient, reste avec son mari, et les deux autres maris passent :

IV. — Un mari revient avec sa femme qu'il laisse, et emmène l'autre mari :

V. •— La femme passée revient chercher Tune des deux autres :

VI. — L'une des femmes passées revient chercher la dernière :

Au moyen de la réalisation du jeu par des cartes ou des jetons, il sera facile de comprendre le raisonnement de Bachet, que nous reproduisons ci-dessous : « Il semble que cette question ne soit fondée en aucune raison; mais toutefois la condition apposée qu'il ne faut point qu'aucune femme demeure accompagnée d'aucun des hommes si son mari n'est présent, nous peut guider

8 'Première récréation.

pour trouver la solution d'icelle par un discours infaillible. Car il est certain que pour passer deux à deux, il faut ou que deux hommes passent ensemble ou deux femmes, ou un homme avec sa femme. Or, au premier passage, on ne peut faire passer deux hommes (car alors un homme seul demeurerait avec les trois femmes, contre la condition) ; donc il est nécessaire que deux femmes passent, ou qu'il passe un homme avec sa femme; mais ces deux façons reviennent à une, d'autant que si deux femmes passent, il faut que Tune ramène le bateau ; partant une seule se treuve en l'autre rive; et si un homme passe avec sa femme, le même adviendra, d'autant que l'homme doit ramener le bateau (car si la femme le ramenait , elle se treuverait avec les deux autres hommes sans son mari).

« Au second passage, deux hommes ne peuvent passer, car l'un deux lairrait sa femme accompagnée d'un autre homme; un homme aussi avec sa femme ne peut passer (car, étant passé, il se trouverait seul avec deux femmes); il est donc nécessaire que les deux femmes passent: ainsi les trois femmes étant passées, il faut que Tune d'icelles ramène le bateau. Quoi fait, au troisième passage, où restent à passer les trois hommes et une femme, on voit bien que deux femmes ne peuvent passer, puisqu'il n'y en a qu'une; un homme aussi avec sa femme ne peut passer (car étant passé il se treuverait seul avec les trois femmes) ; donc, il faut que deux hommes passent et allent vers leurs deux femmes, laissant l'autre avec la sienne. Or, qui ramènera le bateau?

« Un homme ne peut le faire (car il lairrait sa femme accompagnée d'un autre homme); une femme (ou deux femmes) (*) ne

(*) Les mots en italique ne sont pas dans Bâche t; c'est un oubli.

Les traversées en bateau.

peut aussi (car elle irait vers un autre homme en laissant son mari) ; que si les deux hommes le ramenaient, ce serait ne rien faire, car ils retourneraient là d'où ils sont venus. Partant, ne restant autre moyen, il faut qu'un homme avec sa femme ramène le bateau.

« Au quatrième passage, où restent à passer deux hommes avec leurs deux femmes, il est certain qu'un homme avec sa femme ne doit passer (car ce serait ne rien faire) ; les deux femmes aussi ne peuvent passer (car alors les trois femmes seraient avec un seul homme) ; donc il faut que les deux hommes passent. Alors pour ramener le bateau, deux hommes ne peuvent être employés (car ce serait retourner là d'où ils sont venus); un homme seul aussi ne peut (car, cela fait, il se treuverait seul avec deux femmes) ; donc il faut que ce soit la femme qui, en deux fois, aille quérir les deux autres femmes qui restent à passer, et voilà le cinquième et le sixième passage. Partant, en six fois, ils sont tous passés sans enfreindre la condition ('). »

Le raisonnement qui précède nous montre que le problème proposé ne comporte qu'une seule solution en six passages, au plus.

l'erreur de tartaglia.

Tartaglia, illustre mathématicien italien, naquit à Brescia vers i5io, et mourut en 1559. Il a donné, avant Pascal, la

{* ) BachIst, Problèmes plaisants et délectables qui se font par les Nombres. Quatrième édition, revue, simplifiée et augmentée par A. Labosne. Paris, Gauthier-Villars, 1879, P» 1 48-i5o.

io 'Première récréation.

théorie du triangle arithmétique, et avant Cardan, la résolution de l'équation du troisième degré. Dans son Traité d'Arithmétique, il s'est proposé de résoudre le problème pour quatre ménages, en conservant les conditions de l'énoncé précédent; mais ce grand savant s'est trompé. Bachet, qui le fait remarquer, a reconnu que la chose est impossible, mais sans donner de démonstration.

Voici comment on peut démontrer l'impossibilité de ce problème, lorsqu'on ne peut faire passer plus de deux personnes à la fois. On observera d'abord que d'un passage au suivant le nombre des personnes passées, s'il augmente, ne peut augmenter que d'une unité. Par conséquent, supposons qu'on ait fait passer deux, puis trois, puis quatre personnes avec les conditions imposées, et voyons si Ton pourra faire passer cinq personnes. Ces cinq personnes peuvent être passées de Tune des quatre façons suivantes :

4 femmes, i homme.

3 femmes.

2 hommes.

2 femmes.

3 hommes.

i femme.

4 hommes.

Mais les deux premiers cas sont impossibles, d'après l'énoncé, puisque sur la seconde rive les femmes seraient en majorité, et, par suite, il y aurait quelque femme qui se trouverait avec un homme sans son mari; de même, le troisième cas est impossible, puisque sur la première rive les femmes seraient encore en majorité sur les hommes présents.

Quant au dernier cas, s'il peut avoir lieu, c'est que le dernier passage a amené deux hommes, ou un homme et une femme. Or il n'a pu amener deux hommes, car alors il y aurait eu sur la première rive deux hommes et trois femmes, ce qui est impos-

Les traversées en bateau. 1 1

sible comme dans le second cas; il n'a pu amener non plus un homme et une femme, car il y aurait eu sur la première rive un homme et quatre femmes, ce qui est impossible comme dans le premier cas.

Donc on ne peut faire passer cinq personnes, par suite des exigences de l'énoncé du problème.