LES ECARTS

Considérons une permutation quelconque des n premiers nombres

appelons écart d'un terme la différence entre sa valeur numérique et le rang qu'il occupe; désignons-le par e, nous aurons

e P = a p—P- Cela posé, on a le théorème suivant :

TnéoRÈME IV. — Si, dans une permutation des n premiers nombres, on supprime un terme quelconque, la variation du nombre des inversions est de même parité que l'écart du terme.

Soient a p le terme enlevé, c^ et s p le nombre des inversions commandées et subies par lui; la variation du nombre des inversions est évidemment c p -+- s p . Mais le nombre des termes qui précèdent a p est (p — 1), parmi lesquels s p sont plus grands que lui, et (p — 1— s p ) sont plus petits que lui. D'autre part, le nombre des termes plus petits qui le suivent est c^; en ajoutant les deux dernières expressions, on trouve le nombre total des nombres plus petits que a p , c'est-à-dire (a p — 1); on a donc

a p — 1 = p — 1 — s p 4- Cj,, ou bien

a p p zzi c p s p j

2o6 Huitième récréation.

par suite, en ajoutant le nombre pair 2s p , on a

e p = c p -+- s pj (Mod. 2). c. Q. F. D.