LA PRATIQUE DU TAQUIN

Reprenons la permutation des quinze nombre»

et admettons que l'on ait le droit de faire avancer un pion quelconque de deux rangs vers la gauche ou vers la droite ; il est facile de voir que l'on peut ranger tous les nurhéros dans l'ordre^si la permutation est de première classe* En effet, faisons avancer le numéro 1 de deux rangs vers la gauche, il arrive au second rang; puis, en déplaçant 8 de deux rangs vers la droite, on obtient

Le numéro 1 esta sa place; faisons avancer à son tour le numéro 2 de deux en deux rangs, il arrive au troisième, et en déplaçant 6 de deux rangs vers la droite, on obtient

Le jeu du taquin.

En déplaçant le numéro 3 de deux en deux rangs vers la gauche, puis le numéro 4, on obtient

Et ainsi de suite ; de cette façon on peut toujours placer dans Tordre les treize premiers pions ; les deux derniers se trouveront dans Tordre 14, 1 5, si la permutation est de première classe, et dans Tordre 1 5, 14, si la permutation est de seconde classe. Ainsi, par cette manœuvre, on peut ranger une permutation quelconque dans Tordre

ou dans Tordre

Cela posé, considérons le taquin dé forme suivante {fig. 48) :

Fig. 48.

Le taquin élémentaire.

dans laquelle la ligne pleine est une barrière infranchissable; en profitant de la case vide, on peut sans changer Tordre des termes dans le circuit AHIP, amener un numéro quelconque en B, puis la case vide en O; cela fait, si Ton glisse le cube de B en O, le terme B est avancé de deux rangs vers la gauche du circuit ; par le mouvement inverse on Tavance de deux rangs £. Lucas. — Récréations mathénu 14

Huitième récréation.

vers la droite ('). Par conséquent, il résulte des considérations exposées au commencement de ce paragraphe, que Ton peut toujours amener dans un ordre donné une permutation de même classe; et dans l'ordre donné, à Y exception des deux derniexs numéros, une permutation de classe différente.

Il est d'ailleurs parfaitement évident que le même procédé de raisonnement s'applique au taquin ordinaire, en restreignant la règle du jeu par l'emploi de barrières figurées par des lignes pleines; les cases forment alors un circuit fermé (fig. 49).

Fig. 49.

Le taquin gêné.

En résumé, par la considération des cycles, on détermine d'abord la classe de la position initiale donnée; pour plus de commodité, on mettra immédiatement la case vide en G. Cela fait, on rangera facilement les cubes des deux premières lignes ou des deux premières colonnes dans l'une des quatre positions directes ou des quatre positions inverses suivant que la position donnée est de première ou de seconde classe; il reste ensuite à

(') Cette démonstration, très simple, m'a été indiquée par M. Laisant.

Le jeu du taquin. 211

placer les sept autres cubes dans un taquin élémentaire de huit cases, par la manœuvre indiquée pour le taquin de la^/îg-. 48.

On peut encore résoudre le problème du taquin de la manière suivante. On détermine d'abord, par la méthode expéditive des cycles, la classe de la position donnée; si cette position est de première classe, on la ramène, comme il a été dit, à la position fondamentale; si cette position est de seconde classe, on échange deux éléments quelconques ; elle devient de première classe, et peut encore être ramenée, après cet échange, à la position fondamentale.

On peut remplacer cet échange par l'enlèvement d'un cube situé sur une case de même couleur que la case vide, en le plaçant sur cette case.