PROBLÈME DES FOUS

Le nombre des solutions du problème des fous est beaucoup plus grand et présente des développements bien plus difficiles ; en effet, on observera que, non seulement il est facile de placer 8 fous sur l'échiquier, mais que l'on peut en placer jusqu'à 14, sans qu'ils soient mutuellement en prise. Ainsi, par exemple, 8 sur les cases de la première colonne, et 6 sur celles de la dernière, en supprimant les deux cases extrêmes. Il est donc préférable de revenir sur les diverses solutions du problème des tours, pour ne conserver, parmi celles-ci, que les solutions qui conviennent au problème des reines.

Au point de vue arithmétique , le problème des huit tours se ramène, ainsi que nous l'avons vu, à effectuer toutes les permutations des huit premiers nombres; le problème des huit reines revient à choisir, parmi celles-ci, toutes les permutations dans lesquelles la différence absolue de deux chiffres quelconques n'est pas égale à la différence des rangs occupés par ces deux chiffres dans la permutation considérée.

Cette nouvelle condition revient, comme il est facile de s'en apercevoir, à la marche du fou, que Ton joint à celle de la tour pour obtenir celle de la reine.

Par conséquent, résoudre le problème des huit reines revient

Quatrième récréation.

à trouver tous les nombres de huit chiffres, formés des huit premiers chiffres, tous différents, mais dans un ordre quelconque, de telle sorte que la différence de deux d'entre eux soit distincte de la différence des rangs qu'ils occupent; c'est ainsi que le problème a été posé naguère par M. Lionnet dans les Nouvelles Annales de Mathématiques.

METHODE DE M. GtJNTHER.

Cette méthode se distingue peu, au fond, de la méthode arithmétique dont nous venons de parler; nous allons l'expliquer sur un échiquier de vingt-cinq cases, que nous représenterons ainsi qu'il suit :

d k c 6 bs a 1 f %

Chaque case est représentée par un élément composé d'une lettre et d'un indice; les éléments ayant la même lettre sont situés sur une parallèle à l'une des diagonales de l'échiquier, et correspondent à Tune des directions de la marche du fou ; les éléments ayant le même indice sont situés sur une parallèle à l'autre diagonale de l'échiquier, et correspondent à l'autre direction de la marche d'un fou. Supposons donc que l'on écrive, dans un ordre quelconque, tous les termes formés de cinq élé-

Le problème des huit reines. 71

ments, mais de telle sorte que ces termes ne puissent contenir deux éléments appartenant à une même ligne ou à une même colonne, nous aurons représenté de cette façon les 120 solutions du problème des cinq tours. Cela fait, supprimons parmi ces solutions toutes celles dans lesquelles deux éléments contiennent la même lettre ou le même indice, il ne restera plus que les dispositions qui conviennent au problème des cinq reines.

Il n'est pas nécessaire d'écrire toutes les solutions du problème des cinq tours, que l'on pourrait former au moyen des solutions du problème des quatre tours, ainsi que nous l'avons expliqué plus haut. On trouve de grandes simplifications dans l'application de cette méthode, en se servant des ressources d'une importante théorie d'algèbre, connue sous le nom de théorie des déterminants ; cependant, malgré toute l'habileté montrée par MM. Gûnther et Glaisher dans cette question, le problème des neuf reines ou des dix reines; sur les échiquiers de 81 et de 100 cases, semble presque inabordable par cette méthode.