MÉTHODE DE M. DE LA NOË
Cette méthode consiste dans la décomposition de l'échiquier en carrés concentriques; le premier forme un carré intérieur ou première bande de 4 cases, dont l'une est a; nous désignerons sous le nom de deuxième bande l'espace formé par les 1 2 cases qui entourent le premier carré; par troisième bande, l'espace formé par les 20 cases qui entourent la deuxième bande ; par quatrième bande, l'espace formé par les 28 cases qui entourent la troisième bande; on continuerait ainsi pour un échiquier pair de grandeur
7 2 Qyatriémt récréation.
quelconque, c'est-à-dire pour un échiquier dont le nombre des cases contenues sur le côté est un nombre pair; le nombre des cases de chaque bande augmente de 8 lorsque l'on passe à la
Fig. 19.
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bande suivante. Pour un échiquier impair, la première bande serait formée de 1 carré; la seconde bande, de 8 carrés, et les suivantes, de 16, 24, 3a, ... carrés.
Partons de la première bande, et plaçons une reine en a; on observera que cette reine peut occuper, après un seul déplacement, 28 cases de l'échiquier, nombre toujours égal au nombre des cases de la bande extérieure de l'échiquier ; dans la deuxième bande, une reine commande 26 cases; dans la troisième 24, et dans la quatrième 22. Maintenant, cherchons à placer le plus grand nombre de reines sur la seconde bande, de toutes les manières possibles. On voit que l'on peut placer deux reines sur la deuxième
Le problème des huit reines. 73
bande, en b etc, ou bien en V et c'\ il est inutile de conserver, pour l'instant, cette seconde disposition symétrique de la première. En effet, en se bornant à l'échiquier de 16 cases, la première disposition (abc) s'écrirait 0241; la solution renversée serait 1420, et en faisant faire à l'échiquier trois quarts de tour, on obtiendrait la disposition 4203, qui est précisément la même que (b'ac 1 ). Pour une raison semblable à la précédente, on voit qu'il n'est pas nécessaire de déplacer la reine a sur les autres cases de la première bande. >
En partant de {abc), on placera le plus de reines possible sur la troisième bande, en d et e, par exemple; il restera donc à placer trois reines sur la bande extérieure, et Ton constatera facilement que cela est impossible; donc, en plaçant les cinq reines (abcde), on n'arrive à aucune solution. On essayera alors de n'en conserver qu'une seule sur la troisième bande, soit en d, soit en e, et l'on verra qu'aucune de ces dispositions ne conduit à une solution; d'ailleurs on ne peut placer cinq reines sur une seule bande; par conséquent, le commencement (abc) ne peut conduire à aucune solution.
En conservant la reine a, on essayera successivement, tout en maintenant b ou c, de placer les six autres reines sur les deux dernières bandes ; mais on ne trouve aucune solution ; d'où l'on tire cette conclusion que les deux premières bandes ne peuvent être simultanément occupées par les reines; c'est là un fait observé sur tous les échiquiers, jusqu'à celui de 64 cases, par M. Parmentier; mais cela n'a plus lieu pour l'échiquier de 100 cases.
On conserve encore la reine a, et Ton cherche à placer le plus de reines sur la troisième bande; on peut en placer trois de
74 Quatrième récréation.
diverses manières ; puis, en excluant les solutions adjointes ou renversées, on place les quatre reines sur la quatrième bande; on trouve ainsi les quatre solutions simples irrégulières :
qui correspondent au type 1034. Les chiffres du type représentent successivement le nombre des reines placées dans chaque bande.
En supprimant la reine a, et plaçant trois reines, puis deux, puis une seule sur la seconde bande, on trouve les solutions simples irrégulières :
72631485; pour le type 0314,
Enfin, si Ton ne place aucune reine sur les deux premières bandes, on trouve la solution semi- régulière de la./îg*. 6, qui appartient au type 0044. Ainsi , en tout, le problème des huit reines comporte douze solutions simples dont onze irrégulières et une semi-régulière; au total, quatre-vingt-dou^e solutions distinctes.
Pour résumer le problème des huit reines, nous donnerons le tableau des douze solutions simples dans Tordre suivant :
Le problème des huit reines.
Tableau des solutions simples du problème des huit reines.
