I* LE TESTAMENT DU NABAB
Problème d'Arithmétique indienne.
Un nabab laisse à ses enfants un certain nombre de diamants d'égale valeur, dans les conditions suivantes : Le premier prend
Fig. i55. Fig. i56.
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un diamant et le 4- de ce qui reste ; le second prend deux diamants et le y de ce qui reste; le troisième prend trois diamants et le - de ce qui reste, et ainsi de suite. Après le partage de tous les diamants, toutes les parts se trouvent égales. On demande le nombre des diamants et celui des enfants.
Nous représenterons les diamants par des pions noirs ou blancs, afin de distinguer ceux sur lesquels nous porterons plus particulièrement notre attention. Considérons d'abord un carré de
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36 diamants [fig. i55), et portons au-dessous des pions blancs la colonne de pions noirs; nous formons ainsi la fig, i56.
En retirant d'abord le pion noir à droite, les pions noirs forment le septième de ce qui reste, puisque la figure se compose de sept rangées égales, et ainsi la part du premier enfant se compose de six diamants.
Considérons maintenant le reste, en désignant par des pions noirs les diamants contenus dans la colonne à droite; nous for-
Fig. 157. Fig. i58.
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mons la fig. 1 57 ; plaçons maintenant cette colonne de pions noirs au-dessous des pions blancs, nous formons la fig, i58. La dernière ligne se compose de deux diamants et encore du y du reste; telle
Fig. iSg. Fig. 160.
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est la part du second enfant, égale à six diamants, comme celle du premier enfant.
En continuant le même raisonnement, par une semblable manœuvre on forme les^^. 159 et 160, où Ton voit que la part des dia
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mants du troisième enfant est représentée par trois diamants et le septième du reste.
Et ainsi de suite. Le nombre des diamants est donc égal à 36, et les enfants sont au nombre de six, prenant chacun six diamants.
Il est facile de voir qu'il en est ainsi, lorsque Ton remplace la fraction un septième par une autre quelconque, un n'ème. alors le nombre des enfants est égal à (n— i), et le nombre des diamants, au carré de [n — i).
Remarqur. — On donne habituellement la solution du problême précédent au moyen de formules algébriques; on en trouve une de cette nature dans ï Algèbre d'EuLER; mais il nous paraît fort probable que la solution que nous venons de donner est l'origine même de ce problème. Dès le v® siècle de notre ère, les géomètres indiens représentaient les nombres par des briquettes, en forme de parallélépipèdes rectangles à base carrée, el dont la hauteur était égale à 2, 3, 4, 5, 6, ... fois le côté commun de toutes les bases. C'est ainsi que la lecture du Traité d'Arithmétique d'ARYABHATTA nous a permis de reconstituer la Table de multiplication dont il se servait dans son cours (à PATALI- PUTRA, la cité des fleurs, capitale historique des monarques de rinde), pour la démonstration des propriétés fondamentales de la théorie des nombres. Le lecteur trouvera un exemplaire de cette Table dans la collection des machines à calcul du Conservatoire national des Arts et Métiers, à Paris. En remplaçant les colonnes de pions par des réglettes de cette Table, la solution de ce curieux problème devient intuitive.
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