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tement au-dessous, on ne forme que des variations. Déplaçons d'un rang vers la droite tous les pions de la ligne inférieure, nous formons \2ifig. 167; alors on aperçoit sous chaque pion A, B, C, D, E, F, qui sert de commencement à une séquence, un pion de la même couleur.
Remarque. — Cest sur une observation de ce genre que repose la proposition connue sous le nom de Lemme de Segner, l'un des fondateurs de la Météorologie. Cette proposition sert de base au
.\ote II. 23;
Théorème de Descartes, dans la théorie des équations algébriques. Si Ton considère une équation algébrique quelconque dont le premier membre est ordonné et dont le second est nul, et si Ton fait le compte des variations des signes des coefficients, le nombre des racines positives de l'équation est au plus égal au nombre des variations, et s'il en diffère, il en diffère toujours d'un nombre pair.
4° LES ECHIQUIERS ANALLAGMATIQUES.
L'échiquier anallagmatique est un carré formé de cases noires et blanches, en nombre égal ou inégal, de telle sorte que, sur deux lignes (horizontales) ou sur deux colonnes (verticales) quelconques, le nombre des variations des couleurs soit toujours égal au nombre des permanences.
Nous représenterons les cases par des pions noirs et blancs. La
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Jig. 1 68 représente deux échiquiers anallagmatiques A et B que nous appellerons complémentaires, parce qu'aux cases noires de chacun d'eux correspondent des cases blanches dans l'autre.
Remplaçons chaque case noire de l'échiquier A par un échiquier A et chaque case blanche par un échiquier B, et opérons de même pour l'échiquier B; nous formons, dans Isi/ig. 169, les
Note III.
échiquiers anallagmatiques complémentaires C et D, ayant quatre cases de côté.
D'ailleurs, il est évident que l'on peut déduire d'un échiquier anallagmatique un certain nombre d'autres échiquiers anallagmatiques, soit en échangeant deux lignes ou deux colonnes quelconques autant de fois que Ton voudra, soit en changeant la
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couleur de toutes les cases d'une ou de plusieurs rangées quelconques. Il y aurait lieu d'étudier ainsi le nombre total des échiquiers anallagmatiques de 2, 4, 8, i6, ..., cases de côté. Lsi fig. 170 représente deux échiquiers anallagmatiques complé-
Fig. 170.
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mentaires, et que Ton peut considérer comme identiques, lorsque Ton fait tourner l'un d'eux d'un | de tour autour de son centre. Chacun d'eux contient le même nombre de cases blanches et de cases noires. Ces figures ont été indiquées pour la première fois par M. Sylvester et reproduites comme dallage en marbre blanc et rose dans un établissement public de Londres.
Note II. 239
Pour obtenir les carrés anallagmatiques de huit cases de côté, on part d*un échiquier anallagmatique quelconque de quatre cases de côté, et l'on y remplace chacune des cases noires par l'échiquier A et chacune des cases blanches par l'échiquier B; et de même pour les échiquiers de seize, trente-deux, soixantequatre, ... cases de côté, et ainsi en doublant indéfiniment.
Nous engageons le lecteur à reproduire les échiquiers obtenus en remplaçant chacune des cases noires de l'échiquier E par cet échiquier lui-même, et chacune des cases blanches par l'échiquier complémentaire F. On forme ainsi un joli dallage.
240 Note II f.
