DEUX PROBLÈMES DE FERMAT

La théorie des nombres polygonaux se trouve dans V Arithmétique de Diophante, et les formules qui servent à les calculer sont reproduites dans la Géométrie de Boèce, et dans un recueil encyclopédique du xv° siècle, ayant pour titre : Margaritaphilosophica. Cette théorie semble avoir été abandonnée à cause de son peu d'application pratique ; mais elle a occupé les plus grands géomètres et, en particulier, Fermât. Nous indiquerons la solution de deux problèmes fondamentaux; celte solution est beaucoup plus simple que toutes celles qui ont paru jusqu'ici dans les essais de restauration d'un passage obscur de Diophante. Ces deux problèmes sont les suivants : i** Étant donné un nombre ^ trouver de combien de manières ce nombre peut être polygonal; 2° Trouver un nombre qui soit polygonal autant de fois qu'on voudra et trouver le plus petit de ceux qui satisfont à la question.

Pour résoudre ces deux problèmes, nous aurons recours à la Table des nombres polygonaux (p. 42 ), que l'on consulte comme la Table de Pythagore.

A l'inspection de ce Tableau, on reconnaît facilement qu'il est plus simple de le calculer par colonnes, car, en passant dans chacune d'elles d'une ligne à la suivante, tous les nombres augmentent d'une même quantité, à savoir le triangulaire de la colonne précédente. Par suite, pour savoir de combien de manières

L'Arithmétique en bâtons. 45

uQ nombre donné est polygonal, il sutâi de le diviser par les triangulaires successifs en ne conservant que les divisions dans lesquelles le reste représente le triangulaire qui précède le diviseur. Le second problème se ramène de même à déterminer un nombre qui, divisé par des nombres donnés, fournisse des restes donnés; la solution en est connue.