LA TABLE DES QUARTS DE CARRES
Les Tables des carrés et des Quarts de carrés sont fort importantes pour les calculs exacts de l'Arithmétique théorique et de l'Arithmétique pratique. Dans la pratique, on trouve un procédé rapide de calcul qui remplace, comme dans le système des logarithmes, la multiplication par une addition. Dans la théorie, on trouve un procédé plus rapide encore pour la décomposition des grands nombres en facteurs premiers ; ce procédé fort expéditif était connu de Fermât.
En 1690, Ludolf publiait une Table des carrés des cent mille premiers nombres et expliquait, dans son introduction, que cette Table pouvait donner les produits de deux nombres a Qt b par la formule des quarts de carrés
ab = -[a-hb)' — -{a'-by-; 4 4
on a donc pour la multiplication une Table à simple entrée, tandis que celle de Pythagore est à double entrée, La première Table des quarts de carrés, que Ton construit comme celle des carrés, par additions successives, a été publiée par Voisin, sous
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le titre : Tables des multiplications, ou logarithmes des nombres entiers depuis i jusqu'à 20000, au moyen desquelles on peut multiplier tous les nombres qui ri excèdent pas 20000 (Paris, 1817). Par le mot logarithme, Voisin entend un quart de carré,
et ainsi -a* est le logarithme de a ; par suite, la formule précé-
dente s'énonce ainsi :
Le logarithme d'un produit est égal à la différence des logarithmes de la somme et de la différence des facteurs^
Il existe une Table des quarts de carrés jusqu'à looooo, publiée par Laundy, en Angleterre, et une Table manuscrite jusqu'à 200000 par le général Shortrede (*).
Sylvester a donné, dans le Philosophical Magasine de 1854, la généralisation de la formule des quarts de carrés en exprimant le produit de n quantités par une somme de puissances d'exposant n.
Lorsque la somme [a-\-b) des deux facteurs à multiplier dépasse les limites de la Table, on peut encore effectuer le produit, lorsque les facteurs a ol b sont contenus dans la Table, par la formule
mais alors il faut entrer trois fois dans la Table, et doubler ensuite le résultat.
Nous terminerons cette Récréation en indiquant quelques exercices de calcul qui se rapportent à notre sujet.
(*) J.-W.-L. Glaisher. On multiplication by a table of single entry, {Philos. Mag,, nov. 1878).
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Exercice i . -^ Le chiffre des dizaines d'un carré terminé par i ou par 9 est un nombre pair.
Le chiffre des dizaines d'un carré terminé par 5 est 2.
Le chiffre des dizaines d'un carré terminé par 4 est un nombre pair.
Le chiffre des dizaines d'un carré terminé par 6 est un nombre impair.
Un nombre n*est pas un carré parfait, si l'ensemble de ses deux derniers chiffres n'est pas l'un des vingt-deux nombres
Exercice 2. — Etendre les résultats précédents à un système quelconque de numération, et en particulier au système duodécimal.
Combien y a-t-il de nombres de deux, trois, ... chiffres qui terminent les carrés des nombres écrits dans un système de numération de base donnée?
Exercice 3. — Toute somme de deux carrés a un nonlbre pair de dizaines, si elle est terminée par i, par 5 ou par 9, et un nombre impair, si elle est terminée par 3 ou par 7.
Lorsqu'un carré est terminé par i ou par 9, la moitié du nombre de ses dizaines est de même parité que le nombre des centaines.
Exercice 4. — Le carré d'un nombre terminé par 8212 890 625 se termine de la même façon, ainsi que toutes ses puissances; et il n'y a qu'un seul autre nombre de dix chiffres, en exceptant dix zéros ou neuf zéros suivis de un, qui possède la même propriété : c'est le nombre i 787 109 376.
Les nombres de dix chiffres du système de base six, dont toutes les puissances se terminent par les mêmes dix chiffres, sont
3 22i35o2i3 et 2334205344.
De même, dans le système duodécimal où Ton désigne dix par a et onze par by ce sont les nombres
2x66x63 854 et 9^105^108369
Exercice 5. — Trouver les n derniers chiffres d'un nombre, connaissant les « derniers chiffres de son carré.
Par exemple, si les n derniers chiffres du carré d'un nombre sont
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224 466 889, les neuf derniers chiffres de ce nombre sont parmi les suivants:
265 8ioo83, 765 810083, 363 466 333, 863 466 333, 734 189 917, 234 189 917, 636 533 667, i36 533 667.
Exercice 6. — Connaissant le produit d'un nombre par le nombre renversé, retrouver les facteurs du produit.
Exercice 7. — Former les puissances successives de 2. — En doublant continuellement, on forme la suite des nombres
On vérifie les calculs par les résultats suivants :
La puissance de 2 d'exposant 196, égale à seize fois le cube de la précédente, se compose des soixante chiffres suivants :
10043 36277 66186 89222 13726 30771 32266 26576 37687 II 142 45522 06 336.
La notation des exposants est due à Nicolas Chuquet ; on la trouve dans son Ouvrage intitulé Triparty en la Science des nombres, écrit en 1484 et publié pour la première fois par M. Aristide Marre, en 1880, dans le Bullettino di Bibliografia (t. XIII) du prince B. Boncompagni.
Exercice 8. — Former les puissances successives de 5. — Le lecteur les trouvera dans l'intéressante préface de la Table des Logarithmes de Callet. — Démontrer que le chiffre des dizaines de mille d'une puissance quelconque de 5 ne peut être ni un 3, ni un 8. (Laisant. )
Exercice 9. — On considère le tableau des neuf quantités
;?' -t- ^' — 7-» — s', 2(^r-+-;75), 2(^5 — pr),
2{qr — ps)^ p* -Jrr* — q* — s*, i{rs-^pq),
^(qs-i-pr), 2 {rs — pq), p' -i- s* — q'—r'.
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Vérilier que la gomme des carrés des nombres contenus dans une même ligne ou dani one même colonne est égale au carré ds p" + q' -t- r' -t- s'.
Exercice 10.. — Trouver quatre nombres tels que leurs produits deux à deux, augmentés de l'unité, soient des carrés. (Diophante, LÎv. IV, Prob. XXr.) — Si l'on pose
d = 4lrs-\-ll (rs + r^i) (rj-H-rj + ïi-i-i), les carrés des six expressions
4r'ï>-i-6rî'
' + 4rj-i-4s + ir'i-i-8f
t égaux aux s
ix quant
ités
bc + 1,
bd + i'.
Cd-i-
E. Lucas. — Récréations matkém., EV.
