LES CARRÉS MAGIQUES DE FERMAT

ON appelle carré magique l'ensemble de nombres égaux ou inégaux placés dans les cases d*un carré de telle sorte que la somme des nombres renfermés dans chacune des lignes, des colonnes et des diagonales soit toujours la même et égale à un nombre fixe appelé la constante du carré.

Autrefois, on ne considérait que les carrés magiques formés par la suite des nombres entiers consécutifs ; mais on a dû amplifier cette définition à cause de la question des carrés dits à enceintes. Dans une lettre bien connue de Fermât à Mersenne, on trouve un carré incomplet de ce genre avec 144 cases remplies par Fermât ; mais « parce que le temps me manque, écrit-il, je diffère à vous envoyer les cinq enceintes qui manquent, pour parfaire le carré entier de 22, jusqu'au départ du prochain courrier. Après cela, vous devez croire que, dès que j'aurai le loisir, j'irai aussi avant sur ce sujet qu'il est possible. » Nous donnerons plus tard la restauration complète de ce carré ; cette restitution, qui portait sur la recherche de 340 nombres, a été faite d'une manière

go Cinquième récréation.

tbir remarquable par M. V. Coccoz, commandant d'artillerie en

retraite ; mais nous espérons plus et donner le nombre des solutions du problème d'après les indications de Fermât.

Nous ferons observer que la plupart des auteurs qui ont écrit sur les carrés magiques, et ils sont nombreux, paraissent s'être trompés en ne considérant la question qu'au point de vue arithmétique; c'est, avant tout, une question d'algèbre pure. 11 s'agit de trouver pour le carré de quatre, par exemple, seize nombres assujettis à dis conditions: quatre pour les lignes, quatre pour les colonnes, et deux pour les diagonales. On pourrait donc appliquer les mélhodes ordinaires de la discussion d'un système d'équations du premier degré et exprimer les inconnues en fonction de six d'entre elles. Mais on voit immédiatement que les conditions du problème ne sont pas distinctes, et que l'une d'elles est la conséquence des neuf autres. En effet, lorsque l'on a imposé aux seize nombres les conditions telles que la somme des quatre lignes et des trois premières colonnes soit la même, il est bien évident qu'il en est ainsi de la quatrième colonne. Mais, si l'on supprime cette condition, le problème devient dissymétrique, pour ainsi dire, et fort difficile à résoudre par les procédés ordinaires. SI l'on traite la question des carrés magiques par lu théorie des déterminants ou par la résolution algébrique des équations suivant la méthode ordinaire, on est conduit à d'énormes calculs, C'est peut-être la première marche suivie par Fermât lorsqu'il écrit dans une autre lettre à Mersenne que les inventions de Frénicle le ravissent, et qu'il désirerait connaître quelques-unes de ses méthodes, en avouant que les siennes, pour le sujet des carrés magiques, comme pour d'autres, conduisent à de grands calculs.

Les carrés magiques de Fermât^ 91

Quoi qu'il en soit, la théorie complète des carrés magiques paraissait une énigme dont on devait attendre longtemps encore la solution, lorsque nous avons eu le bonheur de mettre la main sur des manuscrits originaux et inédits de Fermât; ces manuscrits se composent de quatorze cahiers et de feuillets détachés. La présente Récréation a pour but de montrer la marche suivie par Fermât dans la formation des carrés pairs, d'après Tétude des dessins et des carrés du manuscrit. La méthode est loin d'être développée ; chaque page contient quelques dessins faits d*un trait de plume et des carrés magiques avec des lettres^ presque toujours, et quelquefois des chiffres. Au-dessous, une ou deux lignes indiquant par le signe 00 ou œq l'égalité de nombres compris dans les cases indiquées et réunies par un trait sur le dessin; puis le nombre des solutions pour chaque dessin et pour chaque carré. Nous avons cherché à reproduire aussi fidèlement que possible la pensée de notre auteur favori ; mais, pour la rendre intelligible à tous ceux qui s'occupent, aux heures de loisir, des questions de cette nature, nous Tavons rendue aussi élémentaire que possible, puisqu'il suffit, pour la comprendre, de connaître les quatre premières règles de TArithmétique. Le lecteur admirera l'art merveilleux et incomparable avec lequel l'illustre génie qui surpassa tous les géomètres de l'antiquité et que nul n'a surpassé depuis, a su se débarrasser de tous les calculs.

Cinquième récréation.