LES NEUF TYPES DES CARRES A QUARTIERS

Nous appellerons conjuguésles nombres d'une Table d'addition symétriquement placés par rapport au centre de la Table; ainsi, dans la Table de lafig. 68, op et ds sont conjugués, ainsi que aq et dr. Dans le carré fondamental, les nombres conjugués sont encore placés deux par deux, symétriquement par rapport au centre du carré. Si Ton joint ces nombres par des lignes, on obtient la figure que nous appellerons le type A ou carré conjugué

Les carrés magiques de Fermât.

I ly

par rapport au centre. Par des échanges successifs, qui s'appliquent à tous les carrés à quartiers égaux, nous allons en obtenir

Fig. 69.

Fig. 70 (Type A).

Of,^

d'autres; et les divers traits réunissant les nombres conjugués proviennent des huit égalités des groupes de deux boules opposées de la Table d'addition.

Par l'échange des deux dernières lignes, puis des deux dernières

Fig. 71.

Fig. 72 (Type B).

colonnes, nous obtenons le type B que nous appellerons conjugué par diagonales des carrés de trois.

L'échange des quartiers opposés conserve les types AetB; réchange des rangées intérieures conserve le type A, mais

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Cinquième récréation.

transforme le type B dans le type C que nous appellerons co/yw gué par diagonales de quartiers.

Fîg. 7?.

Fîg-74 (Type C).

br ej

cq dt ar bp

df ^ à^

bs aq àp en

Echangeons dans chacun des quartiers du carré C les nombres des secondes lignes; puis échangeons, sans les tourner, les quar-

Fig. 76. (TypeD).

Fig. 75.

de,

axf

tiers inférieurs : nous obtenons le type D ou carré conjugué par lignes voisines [fig. y 5 et 76).

En opérant par colonnes sur le type C, comme nous avons opéré par lignes, c'est-à-dire en échangeant, dans chacun des quartiers du carré C, les nombres des secondes colonnes; puis, sans les tourner, les deux quartiers de droite, nous obtenons le

Les carrés magiques de Fermât,

type D' ou carré conjugué par colonnes voisines [fig. 77 et 78).

Fig. 78 (Type I>').

flP

tu*

Bien que les figures des types D et D' soient symétriques Tune

Fig.

ér

àq

Fig. 80 (Type E).

Fig.

tUf

Fig. 82 (TypeE').

de l'autre par rapport à la première diagonale, les carrés obtenus

ii8

Cinquième récréation.

sont bien distincts, car, si la première ligne de D' est identique à la première colonne de D, il n*en est plus de même pour les secondes rangées.

Si, dans le type D, on fait l'échange des rangées intérieures, on obtient le type E ou carré conjugué par lignes alternées [fig. 79 et 80); de même du type D' on déduit le type E' ou carré conjugué par colonnes alternées (fig, 81 et 82).

Enfin, si dans les types E et E' on échange les deux dernières

Fig. 83.

hr-

tuj

àp

Fig. 84 (Type F}.

Fig.

Fig. 86 (Type F').

lignes, puis les deux dernières colonnes, on obtient le type F {fig. 83 et 84) ou carré conjugué par lignes opposées, et le type F' conjugué par colonnes opposées {Jig. 85 et 86).

En se reportant à la Table d'addition et à toutes ses trans-

Les carrés magiques de Fermât, 119

formations, on obtient ce théorème : Les carrés à quartiers égaux se partagent également en neuf types distincts; en imr posant à un élément quelconque une case déterminée, le nombre des solutions pour chaque type est égal ^ 1 28 .

l'addition d'équidifférences.

Reprenons la Table d'addition de seize nombres; nous supposerons a, b^ c, d et py qj r, s rangés dans Tordre croissant et de

plus

de telle sorte que ap et bp sont les deux plus petits nombres de la Table.

Si l'on échange la première ligne des quartiers de droite avec la seconde ligne des quartiers de gauche, on obtient la Table II ; mais, pour que cette nouvelle figure représente une Table d'addition, il faut et il suffit que Ton ait les deux relations

a-\-d=:b -i- c et j^n-^^ir-h^.

Si, dans la Table II, on échange deux quartiers opposés, par exemple, le quartier supérieur de droite avec le quartier inférieur de gauche, on obtient une nouvelle Table d'addition. D'ailleurs, il ne saurait exister plus de trois Tables distinctes; on observera, en outre, que les nombres conjugués se trouvent toujours accouplés deux par deux, comme dans la première, et que les nombres placés sur les deux diagonales sont les mêmes dans les trois Tables.

120 Cinquième récréation.

Chacune des Tables d'addition fournit un nombre égal de carrés à quartiers; on a ainsi

carrés qui correspondent aux carrés a, p, y des Tables de Frénicle.

On a, en résumé, les théorèmes suivants :

Si l^ on forme avec deux équidifférences

a.b : c.d et p.q : r.s

c'est-à-dire avec huit nombres différents^ mais tels que

a-^dzzz b -^c et p -i-s = q-\-r^

trois Tables d'addition; d'après les Tables I, II, III ^ on pourra former ensuite 3456 carrés magiques à quartiers égaux.

La somme des huit nombres placés dans les deux diagonales égale la somme des huit autres nombres.

Il en est de même de la somme des carrés et de la somme des cubes,