LE CARRE MAGICO-MAGIQUE

Prenons l'une quelconque des Tables d'addition, échangeons entre eux les nombres opposés par rapport au centre du carré, en exceptant ceux des diagonales ; puis, échangeons le quartier supérieur de droite avec le quartier inférieur de gauche; nous obtenons le carré fondamental magico-magique de Fermât. Ce carré a ses quartiers égaux. A toute Table d'addition correspond un carré à quartiers égaux, les vingt-quatre égalités à la constante donnent les vingt-quatre égalités à quatre boules que nous avons démontrées plus haut; il en est de même pour les trente-six égalités à deux boules. Réciproquement, tout carré à quartiers égaux donne naissance à une Table d'addition, puisque, par la transformation inverse, les trente-six égalités à deux boules sont les con-

Les carrés magiques de Fermât. 1 1 3

ditions d'existence d'une Table d'addition. On a donc le théorème suivant:

Pour former avec sei:{e nombres pris au hasard un carré

magique à quartiers égaux, il faut et il suffit que Von puisse

former avec ces sei\e nombres une Table d* addition ; et si tous les

nombres sont distincts, le nombre des carrés est égal à ii52

ou S X 144.

Il résulte encore de la remarque qui termine le paragraphe précédent que Ton peut construire des carrés magiques tels que les sommes soient remplacées par des produits ; il suffit de remplacer la Table d'addition par une Table de multiplication correspondante, ap désignant alors le produit et non la somme de a et ^.

ytXtSft

FORMULES d'arithmétique.

Reprenons le carré fondamental; considérons ap, bq, ..., comme des produits ; faisons la somme des nombres de chaque ligne en donnant le signe — aux nombres de la première diagonale, et faisons le carré des sommes obtenues; nous avons

[ — ap -h es -{- dq -h br]^ + [ -h ^r — bq-\- as -h cpY -4- [ -h fo -h rfjp — cr -t- aqY -f- [ -r cj -h ^r + ^jP — dsf

En faisant la somme, les doubles produits disparaissent à

E. Lucas. — Récréations mathcm.^ IV. '8

114 Cinquième récréation.

cause des égalités à deux boules ; il ne reste que des carrés dont la somme représente le produit des deux sommes de quatre

carrés

[a^ -i-b' -h c^-hd^) (;72 H- g2 -h r« 4- s-).

Le procédé que nous venons d'exposer est plus simple que tous ceux qui ont été donnés jusqu'ici pour obtenir cette formule. Si, sans changer a, b, c, d, on permute de toutes les manières possibles les nombres p, q, r,* s, on obtient ainsi vingt-quatre formules, et d'ailleurs on ne peut en obtenir davantage avec un seul terme négatif dans chaque parenthèse. Si Ton change ensuite le signe des termes contenant j? dans ces formules, on en obtient vingt-quatre autres dans lesquelles chaque somme contient deux signes — ou n'en contient aucun.

Ainsi, la question de la décomposition du produit des sommes de quatre carrés en quatre carrés est inséparable de la théorie des carrés magiques à quartiers égaux.