DU TRACÉ DES RÉSEAUX

La question de décrire d'un seul trait, sans omission ni répétition, un réseau géométrique a été exposée pour la première fois, par Euler, dans son Mémoire des Ponts de la Pregel, Plus récemment, cette question a été développée par M. Emile Lemoine, au congrès d'Alger ( 1881 ), et par M. l'abbé Lecointe, dans le Cosmos. Les résultats obtenus se réduisent aux théorèmes suivants dont on trouvera les démonstrations dans le premier Volume de nos Récréations (t. 1, p. 47 et 239).

Théorème 1. — Tout réseau continu qui ne contient que des carrefours pairs peut être décrit d'un seul trait formant un circuit fermé, sans omission ni répétition, quel que soit le point de départ qui coïncide avec le point d'arrivée. (Euler.)

Théorème 11. — Tout réseau continu à 2n points impairs peut être décrit en n traits continus, sans omission ni répétition, et non en un moindre nombre. (Clausen. )

Théorème III. — Tout réseau continu peut être décrit d'un seul traita en passant deux fois sur les lignes du réseau sans qu'il soit nécessaire d'en connaître le dessin. (Trémaux.)

Mais les théorèmes précédents ne portent que sur la possibilité ou l'impossibilité de la description des réseaux en un ou plusieurs traits, et non pas sur le nombre des tracés différents. Le théorème de M. Tarry sur la suppression successive des carrefours, et le

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théorème que nous avons ajouté sur la suppression des impasses permettent de résoudre la question dans les cas les plus simples.