pq — 3p—3q

Sur l'échiquier de jj' cases, la tour peut être considérée comme l'ensemble de cavaliers dont l'un des pas est nul, et dont l'autre est l'un quelconque des entiers plus petits que p. On trouve ainsi que le nombre des déplacements de la tour sur l'échiquier de p* cases est le double de

Sur l'échiquier de p^ cases, le système des deux/ous peut être considéré comme l'ensemble de cavaliers dont les pas égaux sont tous les nombres entiers plus petits que p . On trouve ainsi que le nombre des déplacements des fous sur l'échiquier de p* cases esc le double de

'-p{p—i) (ap — i).

Enfin la reine peut être considérée, dans son mouvement, comme l'ensemble d'une tour et des deux fous; par suite, le nombre de ses déplacements est le double de

ExERacE II. — Le nombre des manières de placer deux reines sur l'échiquier de^' cases, de telle sorte qu'elles ne soient pas en prise, c'est-à-dire qu'elles ne soient pas situées sur une même

i32 Sixième récréation.

ligne parallèle aux bords et aux diagonales de l'échiquier, esc

En effet, ce nombre est égal à l'excès du nombre des combinaisons desp^ cases prises deux à deux sur la moitié du nombre des déplacements possibles de la reine, ou

pUv'"-i) p{p—i] (3y —

Le même calcul peut s'appliquer a d'autres pièces de Téchiquier, et Ton trouve pour deux rois

(i?— (jP — 2) (;?« -h 3i7 — 2),

et pour deux cavaliers

-^{p-i)(p^-p'—Sp + i6).

Exercice III. Le problème des reines. — Ce problème est traité complètement jusqu'aux échiquiers de 1 1 cases de côté dans nos Récréations mathématiques (t. I, 2® édition).

Le lecteur trouvera, dans la Récréation sur le Saut du Cavalier au Jeu des Echecs^ d'autres exercices du même genre (^ ).

[ ' ) Nous avons trouvé, dans les manuscrits de notre ami si regretté, trente à quarante pages de notes sur cette Récréation; mais les lacunes étaient trop nombreuses pour que nous ayons osé nous permettre de rédiger la récréation sur le Saut du Cavalier. ( Voir la Note 1.) D.

La Géométrie des réseaux et le problème des dominos. 1 33