THÉORÈMES DES IMPASSES

Nous venons de traiter le cas d'une impasse simple, formée d'un seul chemin dont les extrémités aboutissent à un même carrefour. Plus généralement, nous appellerons impasse toute fraction d'un réseau qui n'a d'autres points communs avec le reste du réseau que les extrémités de deux chemins, de telle sorte que la suppression de l'extrémité de chaque chemin détermine la séparation du réseau en deux autres ; le réseau total se compose alors de deux réseaux partiels, dont le plus simple est l'impasse. Mais deux cas peuvent se présenter, suivant que les deux chemins de l'impasse aboutissent à un même carrefour du réseau partiel ou à deux carrefours différents. Le premier cas a été étudié par M. Tarry; nous y avons ajouté le second cas.

Premier cas. — Supposons que les deux chemins ^ et ^ de l'impasse aboutissent à un carrefour A du réseau partiel [Jig. gS );

Fig. 93.

Impasse aboutissant à un seul carrefour.

désignons par I et R les nombres de circuits de l'impasse et du réseau partiel, et par 2/7 le nombre des chemins du réseau

Sixième récréation.

restant qui aboutissent au carrefour A, sans compter les deux chemins a et b. Dans un circuit du réseau partiel, on passe p fois au carrefour A, et à Tun quelconque des passages il faut nécessairement décrire complètement Tun des circuits de l'impasse; par suite, le nombre des circuits du réseau total est/7lR. Si le point A était un point simple du réseau restant, on ferait j7 = 2 ; si rimpasse était formée d'un seul chemin dont les extrémités viendraient aboutir au carrefour A, on ferait I :== 2. Enfin, si q impasses indépendantes les unes des autres aboutissent au carrefour A, et si Ton distingue par des indices les nombres de leurs circuits séparés, on trouve, par la suppression successive des impasses, que le nombre des circuits du réseau total est égal au produit

p {p-h i) ... (p-hq— i) liUli...lqR.

Deuxième cas. — Supposons que les deux chemins a ai b de

Fis- 94-

Impasse aboutissant à deux carrefours.

rimpasse I aboutissent à deux carrefours A et B du réseau restant (Jig. 94) ; alors ces carrefours sont impairs, ainsi que les premiers

La Géométrie des réseaux et le problème des dominos. 148

carrefours G et D de l'impasse que l'on rencontre immédiatement par les chemins a et b. Pour évaluer le nombre des circuits du réseau total, partons du point a de AC; nous avons deux sens; en partant suivant <aA, nous décrivons le réseau partiel augmenté du chemin ab dans un seul sens; puis nous arrivons en b et, au lieu de décrire ba^ nous suivons le chemin ^DC et nous parcourons l'impasse dans un seul sens pour revenir en a\ par conséquent, le nombre total des parcours dans les 'deux sens est la moitié du produit des nombres de circuits de l'impasse et du réseau partiel.

On observera, d'ailleurs, que l'application de ce théorème est illusoire, si l'impasse I se compose d'un seul chemin.