THÉORÈME DES CARREFOURS

Pour évaluer le nombre des tracés d'un réseau quelconque, on ramène, ainsi que nous l'avons vu, les réseaux à carrefours impairs à des réseaux à carrefours tous pairs. Cela fait, on commence par supprimer toutes les impasses qui peuvent exister, en remplaçant le réseau total par des réseaux partiels. Considérons donc un réseau n'ayant plus aucune impasse; pour déterminer le nombre de ses circuits, on le remplace par d'autres ayant un carrefour de moins, et ainsi de suite, jusqu'à ce que tous les réseaux obtenus ne contiennent plus que deux carrefours; on revient alors aux pérégrinations de la fourmi.

Si 2n chemins a^ b, c, d^ . . ., aboutissent à un même carrefour, on décompose le réseau en N autres réseaux obtenus en sou-

144 Sixième récréation.

dant deux par deux, de toutes les manières possibles, les 2n chemins a, b, c, ^, . . . . D'ailleurs, en soudant un premier chemia avec un autre, on a le choix entre (2n — i) chemins; puis, en soudant un autre chemin avec un autre, on a le choix entre (2n — 3) chemins, et ainsi de suite. On a donc

N = I.3.5...2W — in: — — '- ;

c'est le nombre des manières de remplacer un produit de 2« facteurs, premiers entre eux deux à deux, par un produit de n facteurs, en groupant les facteurs deux par deux.

C'est encore le nombre que nous avons trouvé pour ramener à un réseau à carrefours tous pairs^ un réseau ayant 2n points impairs.

Dans l'application de ce théorème, on doit faire les deux remarques suivantes : i*" Si la suppression d'un carrefour amenait la désagrégation du réseau, on recommencerait l'opération en appliquant d'abord le théorème des impasses; cette observation s'applique aussi bien aux réseaux partiels qui remplacent le réseau primitif; 2^ les N labyrinthes obtenus par la suppression d'un carrefour ne sont pas toujours tous distincts; deux réseaux sont équivalents lorsqu'ils possèdent le même nombre de carrefours, et que deux carrefours quelconques sont réunis parle même nombre de chemins.

La Géométrie des réseaux et le problème des dominos.