LES RÉGIONS

Un point placé sur une droite indéfinie dans les deux sens la divise en deux fragments indéfinis ; deux points d'une droite la divisent en deux fragments indéfinis et un segment fini ; en gé-

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néral, n points d'une droite la divisent en deux fragments indéfinis et (n— i) fragments finis; donc, si l'on désigne par A le nombre des segments 6nis ou infinis, par a le nombre des segments finis, par a. le nombre des segments infinis, et enfin par S le nombre des points considérés sur cette droite, on a les formules

Une droite illimitée tracée dans un plan le divise en deux régions indéfinies, c'est-à-dire en deux parties telles qu'on ne peut aller d'un point de l'une à un point de l'autre sans rencontrer la droite, à la condition de ne pas sortir du plan. De même, des droites parallèles {Jig: 109) divisent le plan en régions indéfinies

Fig. 109.

dont le nombre surpasse de l'unité le nombre des parallèles ; ces régions peuvent être garnies de deux couleurs, de telle sorte que deux régions voisines aient des couleurs différentes.

Un système de droites concourantes [Jig. 1 10) divise le phn en régions indéfinies dont le nombre est égal au double du nombre des droites concourantes ; ces régions peuvent être recouvertes de deux couleurs , de telle sorte que de part et d'autre

La Géométrie des régions. (57

de chaque ligne de séparalion, les couleurs soient différentes.

Des droites parallèles en nombre p et une transversale divisent le plan (fig. 1 1 1 ) en ( 2p -f- 1 ) régions illimitées.

Un système de p droites parallèles et un second système de j droites parallèles divisent le plan en (p + i) (? + i) régions,

parmi lesquelles î{p + q) d'entre elles sont illimitées ; on peut encore les recouvrir de deux couleurs, de telle sorte que de part et d'autre de chaque ligne de séparation les couleurs soient différentes [Jig. 112).

Si l'on prolonge les côtés d'un triangle \fig. 1 13), le plan est

Fig. ii3. Fig. 114

divisé par les trois droites en sept régions dont six sont illimitées

i58 Septième récréation.

et une seule finie, qui est l'intérieur du triangle. Si Ton prolonge les côtés d'un quadrilatère quelconque, on forme onze régions dont huit sont illimitées [Jig. 114). Lorsque Ton considère un plus grand nombre de droites, il faut tenir compte, en même temps, des points de concours et des segments ; pour évaluer les divers éléments de la figure^ nous prendrons les notations suivantes :

Nombre des points de concours S.

finis a.

Nombre des segments ] infinis «.

finis et infinis A.

finies /.

Nombre des régions. . ] infinies ç.

finies et infinies F.

On a d'abord, par définition,

A=ia-ha, F=/4-cp;

Cela posé, si Ton considère n droites d'un plan, non parallèles deux à deux, et telles que trois quelconques d'entre elles ne concourent pas en un même point, on a, en désignant par Ci le nombre des combinaisons de n objets pris deux à deux,

S=CJ, A — n*, a = 2/ï,

F=Cî4-w-hi, ^—2n.

En effet, supposons ces formules vérifiées pour un système de n droites, et, par exemple, pour w = 3 et pour w = 4 ; nous allons démontrer que ces formules s'appliquent encore lorsque l'on trace une nouvelle droite XY non parallèle à l'une quelconque des précédentes et ne passant par aucun point de concoursv Nous

La Géométrie des régions. iSg

supposerons d'abord que la droite XY a été tracée, de telle sorte que tous les points d'intersection des premières droites soient au-dessous de XY [fig. ii5). Nous calculerons les accroissements des cinq quantités S, A, a, F, «p ; on voit d'abord que S augmente du nombre n des points situés sur XY, que a augmente des deux segments indéfinis de cette droite, que A augmente des (w4- i) segments de XY et des n segments finis des

Fig. ii5.

n droites qui aboutissent à XY, ou au total de (2n -h i ). Enfin, on constate que cp augmente des deux régions infinies au-dessous de X Y, et que F augmente de ces deux régions et, en outre, des (w— i) régions finies au-dessous de XY. Ce sont précisément les nombres dont augmentent les seconds membres des formules précédentes, lorsqu'on y remplace n par (w-+- 1) ; ces formules sont donc générales.

On voit, de plus, que l'adjonction de XY permet encore de recouvrir les régions situées au-dessus de XY de deux couleurs seulement et de telle sorte que deux régions adjacentes à un même segment soient garnies de couleurs différentes. En outre, il est facile de voir que les résultats précédents subsistent, lorsque la droite XY se déplace parallèlement à elle-même et traverse le point de concours de deux droites. Nous ferons d'ailleurs observer que ces résultats s'étendent à^des figures tracées sur le plan,

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dans lesquelles les droites sont remplacées par des traits indéfinis dans les deux sens, tels que chacun d'eux ne se recourbe pas sur lui-même ; deux traits indéfinis qui ne se rencontrent- pas seront considérés comme des droites parallèles ; de plus, deux traits indéfinis quelconques sont censés ne se rencontrer qu'en un seul point, en se traversant mutuellement. On peut aussi remplacer le plan par une surface simple indéfinie dans tous les sens, comme le plan gauche ou paraboloïde hyperbolique.