LES POINTS MULTIPLES

Nous allons étudier les modifications qu*il faut apporter aux formules précédentes, lorsque p droites viennent concourir en un même point ou lorsque p droites deviennent parallèles.

1° Lorsque |7 droites viennent concourir en un même point, le nombre des points de concours diminue de C^ — i , puisque le nombre des points d'intersection de ces j? droites ne compte plus que pour un seul point. Le nombre a des segments infinis et le nombre <p des régions infinies ne changent pas. Le nombre A des segments finis et infinis diminue de (p* — 2/7) et le nombre F des régions finies et infinies diminue de (C^ — p -\- i ).

2^ Lorsque p droites deviennent parallèles, le nombre des points de concours diminue de C^ ; le nombre F des régions finies et infinies diminue aussi de C* et le nombre À des segments finis et infinis diminue de (p^ — p).

Par conséquent, si Ton désigne par c^ le nombre des droites de

La Géométrie des régions. i6i

direction unique, parap le nombre des groupes contenant^ droites parallèles, par Sp le nombre des points de concours dtp droites, on a

( I ) >I = «Il 4- 2 (Jj H- 3 (T3 -H . . . -H J7 a,, -+- . . . ,

Si toutes les droites avaient des directions différentes, on aurait S = Cj^ , ainsi que nous l'avons vu ; donc, en tenant compte des diminutions, on a

( 3 ) C«,^ ^ 5j H- 3 53 H- ... -h i^p Sp -\- ...

-h <Tj -h 3 'Tj -h ... -h C^ ffp -h . . . ;

on trouve de même

(4) A = 2Si-^3s3-h , , , -\- pSp-\- .. ,