CARREFOUR DE CINQ FRONTIERES

Il en est de même au point de concours de cinq lignes de dé-

Fig. 12 3.

marcation. Lorsque cinq districts ont un point commun, on peut les colorier avec trois couleurs seulement ; mais ils peuvent l'être avec quatre. Dans ce dernier cas, la fig. i23 montre la seule forme que le coloriage puisse prendre, Tune des couleurs se pré-

176 Septième récréation.

sentant nécessairement deux fois, i® Si les districts a et c appartiennent à des régions jaune et rouge différentes, on pourra faire une modification du coloris, de telle sorte que a et ^ soient tous deux jaunes ou tous deux rouges; 2® si les districts a et c appartiennent à la même région jaune et rouge, et si a Ql d appartiennent à des régions rouge et verte différentes, on modifiera le coloriage sur Tune d*elles, de telle sorte que aet d soient tous deux rouges ou tous deux verts; 3^ si les districts a cl c appartiennent à la même région jaune et rouge^ et si les districts a et d appartiennent à la même région verte et rouge, ces deux régions sépareront b de c, de telle sorte que les régions verte et bleue auxquelles appartiennent le district b d'une part et les districts d et e d'autre part soient nécessairement différentes, et que les régions jaune et bleue auxquelles appartiennent le district e d*une part, et £ et c d'autre part soient aussi différentes. Donc^ si Ton échange le bleu et le vert dans la région b, et le jaune et le bleu dans la région e, b deviendra vert, e deviendra jaune, a, c, d ne changeront pas de couleur. Dans chacun des trois cas, les trois districts n'auront que trois couleurs.

Ainsi^ lorsqu'une carte peut être coloriée en quatre couleurs, on peut toujours en modifier convenablement le coloriage, de telle sorte que si quatre ou cinq districts, et non plus, ont un point commun, ces districts peuvent être recouverts^ au plus, de trois couleurs différentes. Nous démontrerons, plus loin, que Ton peut toujours disposer le coloriage avec cette condition restrictive, pour une carte quelconque.

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La Géométrie des régions.