CARREFOUR DE QUATRE FRONTIERES

Examinons maintenant ce qui se passe lorsque les lignes de démarcation de trois districts, ou plus, se rencontrent en un même point que nous appellerons point de concours.

Si trois districts ont un point commun, il faut évidemment

Ig. 122.

trois couleurs différentes pour les colorier. Si quatre districts se réunissent en un même point, on peut, s'il n'y en pas d'autres, les colorier avec deux ou trois couleurs seulement; mais quelquefois on pourra se trouver amené à les colorier avec quatre couleurs; supposons qu'il en soit ainsi, comme dans Idifig, 122. Nous allons montrer qu'en modifiant le coloriage des districts voisins, on peut n'employer que trois couleurs. En effet : 1** si les districts a et c appartiennent à des régions (rouge et vert) différentes, nous pouvons échanger les couleurs rouge et

La Géométrie des régions, 175

verte dans l'une de ces régions, sans les échanger dans l'autre; il en résultera que les districts a et c seront de la même couleur, tous deux rouges ou tous deux verts ; 2® si les districts a et c appartiennent à une même région (rouge et vert), celle-ci formera un anneau comme dans Isijig, 121; par suite, les districts ^ et ^ se trouveront dans des régions (bleu et jaune) différentes, de telle sorte que l'on pourra échanger les couleurs bleue et jaune dans Tune de ces régions sans les échanger dans l'autre; il en résultera que les districts b et d seront de la même couleur, tous deux jaunes ou tous deux bleus. Ainsi l'on peut toujours réduire à trois le nombre des couleurs de quatre districts ayant un point commun.