LES RÉSEAUX A POINTS TRIPLES

Nous ajouterons ici quelques considérations fort ingénieuses qui ont été indiquées à diverses reprises par M. Tait, Téminent professeur de l'Université d'Edimbourg (^).

(•) Tait, Note on a theorem in geometry of position {Transactions o/ the Royal Society),, p. 657. Edimbourg, i88o. — Listing's Topologie, by Prof. Tait. — Introduciory address to the Edinbiirgh maihematical Society^ nov. i883 [Philos, Mag.^ janv. 1884).

La Géométrie des régions.

THEOREMES DE TAIT.

Considérons un réseau dont les carrefours ne contiennent que des points triples ; ces points tous impairs, sont en nombre pair; nous désignerons par 2 « le nombre des points; le nombre des chemins est égal à 3w. Nous dirons que le réseau possède un isthme t/îg'.iSS), lorsque la suppression du chemin correspon-

Fig. i33.

Fig. 134.

Fig. i35.

dant formé par Tisthme désagrège le réseau. Cela posé, on a le théorème suivant : Dans un réseau à points triples, sans isthmes, on peut partager les 3n chemins en trois groupes de n chemins, de telle sorte que les trois chemins qui aboutissent à un même carrefour ou trivium quelconque appartiennent à trois groupes différents. En d'autres termes, les n chemins de chaque groupe aboutissent aux 2 w points donnés.

Nous désignerons ces groupes par O, I, M, ainsi que nous l'avons fait [fig, i34 et i33). Le théorème n'a pas lieu lorsqu'un réseau partiel contenant un nombre impair de points est relié par un isthme au reste du réseau.

iQo Septième récréation.

On peut encore énoncer le théorème précédent sous la forme suivante : Les arêtes d'un polyèdre rCayant pour sommets que des angles trièdres peuvent être divisées en trois groupes de telle sorte qu'une arête de chaque groupe aboutisse à chacun des sommets. Il en est ainsi pour Iç tétraèdre, pour le cube et pour le dodécaèdre; mais on doit encore observer avec l'auteur que, sous cette seconde forme, le nouvel énoncé est plus particulier que le précédent,et ne s'appliquerait à la^^. 1 35 pour laquelle le premier énoncé se vérifie. Cette figure ne peut être, en effet, considérée comme la déformation ou la représentation d'un polyèdre, à moins d'étendre le nom de polyèdre à des solides tels qu'une lentille biconvexe, par exemple.

THEOREME DE KIRKMANN.

Le Jeu icosien d'Hamilton (t. II. p. 211) est une application particulière de ce théorème, car la figure correspondante est la représentation d'un dodécaèdre pentagonal. L'idée de ce Jeu lui a été suggérée par cette remarque de M. Kirkmann que, évidemment, un circuit d'arêtes, d'un type unique, passe par tous les sommets de ce polyèdre (*). Hamilton s'est emparé de ce résultat et en a fait la base de son Jeu, ainsi que d'un nouveau calcul d'espèce très singulière. Les fig, i36 représentent trois circuits sur des diagrammes équivalant à la représentation plane d'un dodécaèdre pentagonal. En chacun des sommets du polyèdre, nous

(*) Kirkmann, On the polyhedra [Phil. Trans., i858, p. 160).

La Géométrie des régions.

pouvons nous diriger à main droite ou à main gauche (dans le diagramme, il faut inverser la droite et la gauche pour le contour extérieur); désignons ces opérations respectivement par 1 et par [X. Si l'on commence en un sommet quelconque du dodécaèdre, la répétition quintuple de l'opération X ou de l'opération |JL nous ramène au point de départ, après avoir décrit les

cinq côtés de l'une des faces, de sorte que Ton peut considérer le symbole X ou {x comme une racine cinquième de Tunité. Dans cette notation, le théorème de Kirkmann est représenté par l'expression

XfJt.XuLXXX{Jt.|JLaXjJLXtJLXXX[j(JL|Jt. zz: I,

ou, d'une manière plus abrégée, en observant qu'on n'a pas le droit de renverser Tordre des opérations, ni celui de leurs symboles.

Cette expression peut être mise sous un grand nombre de formes qui paraissent différentes, mais équivalentes en réalité; ainsi l'on peut permuter circulairement les facteurs, c'est-à-dire que l'on peut commencer le cycle à un facteur quelconque. On peut aussi échanger les symboles X et (x à cause de la symétrie

Septième récréation.

de la figure. Il est intéressant d'étudier, dans ce cas particulier des réseaux à points triples, la nature des diverses espèces d'essais nécessairement infructueux pour sortir d'un pareil labyrinthe. Si, par exemple, nous choisissons des routes telles que

(A|jt.)-X|Jt.X', OU X'(Jl.X^

qui ne se rencontrent pas dans le circuit complet que nous avons formulé plus haut, le pas suivant nous ramène forcément à un carrefour déjà traversé. Nous obtenons ainsi d'autres relations en ire les symboles X et u, et renfermant des facteurs dont le nombre peut varier de 7 à 19. C'est, sous une autre forme, leproblèmedesimpasses, dans leJeuicosien d'Hamilton(t. II, p. 221). Nous donnons enfin {Jïg. iSj) un autre diagramme pour l'é-

tude du Jeu icosien; on peut le reproduire sur une planchette en fixant des clous aux sommets de l'icosagone. Les lettres du diagramme sont en concordance avec celles de Isijîg, 97 du tome II, page 211.

La Géométrie des régions. 193