LE PROBLEME DES LIAISONS

A la fin du Mémoire cité, M. Kempe ajoute encore les considérations suivantes : Si l'on place sur une carte une feuille de papier à calquer, si Ton marque un point à l'intérieur de chacun des districts et si l'on joint par des lignes les points qui correspondent aux districts ayant une frontière commune, on obtient un diagramme de jonction ou de liaison. On peut alors se proposer le problème demaïquerles points du diagramme parle plus petit nombre possible de lettres, mais de telle sorte que les deux points placés aux extrémités d'une ligne de jonction ne soient pas

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afifectés de la même lettre. La classification des diagrammes d'après la valeur de w a une importance considérable sur laquelle nous reviendrons plus tard. Nous nous bornerons à faire observer, pour rinstant, que le diagramme de liaison d'une carte et cette carte elle-même peuvent être considérés comme les représentations de deux polyèdres polaires réciproques.

Enfin M. Kempe termine par l'énoncé d'un théorème qui est une conséquence du théorème du coloriage; j'en ai longtemps cherché, dit-il, une démonstration directe pour en déduire la solution du problème des quatre couleurs. Ce théorème est le suivant : Un polyèdre quelconque étant donné, on peut ajouter aux Jaces de ce polyèdre d'autres polyèdres, de telle sorte que, dans le polyèdre résultant : i^ toutes les faces soient des triangles; 2° les nombres des arêtes aboutissant à chaque sommet soient des multiples de trois.