LA. COURSE ET LE CIRCUIT

« Un jour, dit Euler (^), je me trouvais dans une compagnie oîi, à l'occasion du jeu d'échecs, quelqu'un proposa cette question de parcourir avec un cavalier toutes les cases d'un échiquier sans revenir jamais deux fois à la même, et en commençant par une case donnée. On mettait, pour cette fin, des jetons sur toutes les

(M Mémoires de V Académie des Sciences de Berlin pour Tannée 1759. Ce Mémoire est reproduit en français sous le titre : Solution d'une question ingénieuse qui ne paraît soumise à aucune analyse^ dans les Commentationes arithmeticœ collectce (PetropoVi y 1849, t- '» P- ^^7 à 355).

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soixante-quatre cases de l'échiquier, à rexception de celle où le cavalier devait commencer sa route, et de chaque case oCi le cavalier passait conformément à sa marche, on ôtait le jeton, de sorte qu'il s'agissait d'enlever de cette façon successivement tous les jetons. Il fallait donc éviter, d'un côté, que le cavalier ne revînt à une case vide, et, d'un autre côté, il fallait diriger sa course en sorte qu'il parcourût enfin toutes les cases. » Pour exécuter ce problème, et pour conserverie souvenir de la

marche du cavalier, il est préférable de se servir des soixantequatre premiers numéros d'un jeu de loto, que l'on place successivement sur les cases dans l'ordre numérique, à partir de la case désignée, conformément à la marche du cavalier. Ce problème a été proposé et résolu pour la première fois dans un cas particulier [Jig, i52) par le chevalier de Montmort, diXiituv àtV Essai d'analyse sur les jeux de hasard (Paris, 1708 et 1714). Deux autres solutions du problème ont été obtenues, peu de temps après, par Moivre et de Mairan ( 1722).

D'après V Encyclopédie de d'Alembert et de Diderot, ce problème aurait été connu très anciennement dans l'Inde. En Eu-

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rope, on en a trouvé la première mention dans le manuscrit de Guarini (n* 74), puis dans l'Ouvrage intitulé : S'EN SUIT JEUX, par//5 des Esche\, compose:^ nouvellement pour récréer tous nobles cueurs et pour éviter oysivetê à ceux qui ont voulonté, désir et affection de le scavoir et apprendre, et est appelle ce Livre, le jeu des Princes et Damoiselles (Paris, vers i53o).

Fig. i53-

On y trouve ce passage : a C'est pour lever tous leseschezau traict du chevalier en A et ensuy la + de par Dieu; ton chevalier doit estre au coing destre devers ton loueur et se doit rendre à l'oposite. D Les développements de Fauteur conduisent à une course sur le demi-échiquier de trente-deux cases que nous avons représentée dans la fig. i53.

On rencontre une autre course sur le demi-échiquier dans l'Ouvrage Libro nel quale si tratta délia maniera di giuocar a Scacchi, con alcuni sottilissimi partiti, nuovamente composto da HoRATio GiANUTio DELLA Mantia (Torino, 1597). Nous avons représenté cette course dans le demi-échiquier supérieur {/ig, 154). Faisons tourner l'échiquier d'un demi-tour autour de son centre et reproduisons cette course dans l'autre moitié de

Note L

réchiquier; nous pouvons réunir ces deux courses partielles par deux traits pointillés dans la figure et conformes à la marche du cavalier. On obtient ainsi un polygone fermé de soixante-quatre

Fig.

côtés, représentant une course rentrante ou un circuit sur les soixante-quatre cases de l'échiquier (fig, iS^). Cette solution a été donnée par Euler dans le Mémoire cité; il est curieux de rapprocher ces deux solutions de Gianutio et d'Euler, obtenues à près de deux siècles d'intervalle, car nous démontrerons plus loin que le nombre des circuits de cette nature, tracés en soudant deux courses partielles identiques sur les demi-échiquiers, est égal à 3872.

314 Note J.